精品解析：内蒙古赤峰市元宝山区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

元宝山区第一中学高二上学期数学期中考试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：统计、概率、空间向量、直线和圆） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 2. 已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可得． 【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D， 则，，，，又， ，故与垂直， 即A点在平面内，故A错误； ，故与垂直， 即B点在平面内，故B错误； ，故与不垂直， 即C点不在平面内，故C正确； ，故与垂直， 即D点在平面内，故D错误. 故选：C. 3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最低气温与最高气温为正相关 B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 C. 最低气温低于的月份有4个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 【答案】C 【解析】 【分析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：的数据的折线图，得最低气温低于的月份有3个． 【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：的数据的折线图，得： 在中，最低气温与最高气温为正相关，故正确； 在中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故正确； 在中，最低气温低于的月份有3个，故错误． 在中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故正确； 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解. 【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，， 则中位数 ，众数为， 由题意知，解得， 所以这组数据的平均数为， 则这组数据的方差是， 因为，所以这组数据的第百分位数是； 故选：C. 6. 如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，表示出、，由解出，得到线段的长度. 【详解】在直三棱柱中，， 以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则． 由于，所以，解得， 所以线段的长度为． 故选：A． 7. 方程表示的曲线是（ ） A. 轴上方的半圆 B. 轴下方的半圆 C. 轴左侧的半圆 D. 轴右侧的半圆 【答案】B 【解析】 【分析】将方程两边平方可知是圆，再结合的取值范围即可判断． 【详解】， 表示的是以为圆心，为半径的圆， 又 ， 故方程表示的曲线是轴下方的半圆， 故选：B． 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合，化简的得到，即可求解. 【详解】以为原点，分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 设，正方形边长为，则， 则， 由，即，整理得到， 所以点在正方形内的轨迹为一条直线的一部分 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断. 【详解】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 10. （多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上存在一点，使得平面 D. 若，则平面与平面不平行 【答案】CD 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量坐标表示公式、空间向量模公式，结合平面向量的法向量逐一判断即可. 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，所以，A错误； 若，则，所以，B错误； 当为中点时，平面平面， 所以平面，C正确； 若，，则， 所以． 设平面的法向量， 平面的法向量， 则，即， 令，则，又， 则，即，令，则， 所以与不平行，D正确． 故选：CD 11. 若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 线段的最小值为 C. 的最小值为 D. 当最小时，直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知先求出曲线的方程，作出图像，分析可知的最小时，三点共线，且，即可判断选项A；设，表示出的方程，以及以为圆心，以为半径的圆的方程，再联立曲线即可得到直线的定点，即可判断选项B；最小时，也就最小，结合数量积公式即可判断选项C；结合面积之间的关系可以得到四边形为正方形，即可判断选项D. 【详解】由题知，设， 因为， 所以， 即， 所以曲线是以为圆点，半径为的圆， 如图所示，因为为上的动点，是曲线上动点， 则最小时，三点共线，且， 因为，， 所以的最小值为，故A正确； 对于B，设，则， 又， 所以， 则以为圆心， 以为半径的圆的方程为①， 又曲线为②， 由①②相减， 得直线：，即， 由，得， 所以直线恒过定点， 所以线段的最小时，过， 则此时与定点距离为， 此时，故B错误； 对于C，因为最小时为， 所以， 所以此时为全等的等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为四边形面积为 ， 所以此时四边形为正方形， 则，， 所以直线的方程为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线与间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 13. 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只． 【答案】160000 【解析】 【分析】利用重捕标记法中每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，估计该保护区有鹅喉羚的只数. 【详解】设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的， 所以＝，解得x＝160000. 故答案为：160000 14. 如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】通过上、下底面半径比为和母线与底面所成角为，设出半径即可求出高。构建出三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，有空间向量即可解得两直线夹角余弦值. 【详解】如图，过点作直线，过点作直线与点 设 由题意可知：，∴ 在圆台中， ∴以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设夹角为，则 故答案为：0. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算） 【答案】（1），中位数. （2） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，，由频率分布直方图求中位数； （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即， 所以； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以中位数在第三组，且为； 【小问2详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有,，,，,，，，,．,，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有,，,，,，，,，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面， 以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 依意得，，，， 所以，， 因为，所以， 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 解法二：底面是正方形，， 底面，且平面，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，E为中点，， ，平面，平面， 平面，平面，， 由已知，且，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；解法二：首先证明平面，得到，再由，得到平面，从而得到，再由，即可得证； （2）解法一：利用空间向量法计算可得；解法二：由（1）可得为平面与平面所成角，利用锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：依题意得，且，， 设平面的一个法向量为， 则，即取， 因为，，设平面的一个法向量为， 则即取， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以，所以平面与平面的夹角为． 解法二：由（1）知平面，， 又，平面，平面， 为平面与平面所成角， ，E为中点，，， 平面，平面，， 直角三角形中，，所以， 所以平面与平面的夹角为 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 18. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1） 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 19. 如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形． （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 【答案】（1）证明：，平面，平面． 平面， 由，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，平面， 平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过线面平行的判定定理证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理、性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的坐标公式即可得解； （3）引入参数，由此可表示出的坐标和平面的法向量，结合（2）中结论以及向量夹角的坐标公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示， 过作，过作平面， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 在平面上的射影在直线上， 设， ， 因为，且，； ，解得，， 而， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 设，， 因为，， 所以， 所以， 从而， 设平面的法向量为， 所以， 设，解得，即， 由（2）可知平面的一个法向量是，， 由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值 ， 整理得，，解得， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 元宝山区第一中学高二上学期数学期中考试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：统计、概率、空间向量、直线和圆） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最低气温与最高气温为正相关 B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 C. 最低气温低于的月份有4个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 6. 如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 方程表示的曲线是（ ） A. 轴上方的半圆 B. 轴下方的半圆 C. 轴左侧的半圆 D. 轴右侧的半圆 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 10. （多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上存在一点，使得平面 D. 若，则平面与平面不平行 11. 若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 线段的最小值为 C. 的最小值为 D. 当最小时，直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线与间的距离为______ 13. 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只． 14. 如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算） 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 18. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 19. 如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形． （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $