精品解析：广东省广州市番禺区石北中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题

石北中学2024学年第一学期期中教学质量检测 高二年级 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡一并交回. 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 2. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得，进而得到结果. 【详解】，，，，. 故选：C. 3. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 4. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，可得，从而算出，然后在正中算出，进而利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值． 【详解】根据题意得，所以， 等边中，， 因此，． 故选：B． 5. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，因为底面，所以底面， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以为等边三角形，所以， 所以 ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 故D错误. 故选：C. 6. 已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（ ）. A. －2 B. － C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线在x轴和y轴上的截距，由题意列式求解，即得答案. 【详解】对于直线，令，则， 令，则，故，则， 故选：D 7. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，设，根据面积和方程可得，，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线恒过定点 C. 点关于直线对称的点为 D. 过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B项，把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，解之即得；对于C项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D项，需注意截距相等还包括都为0的情况. 【详解】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误； 对于B项，由可得：，因，则有：， 故直线恒过定点，故B项正确； 对于C项，不妨设,直线，因直线的斜率为与直线的斜率为1的乘积为，则得, 又由点到直线的距离为与点到直线的距离为相等，且在直线的两侧，故点关于直线对称的点为，即C项正确； 对于D项，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有，故D项错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 圆的过点的切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A 将直线化为点斜式可判断；选项B根据截距 的定义可判断；选项C先求出直线的斜率可得倾斜角从而判断；选项D先判断点在圆上，然后由切线的几何性质求出切线方程，从而判断. 【详解】选项A. 直线化为，所以直线过点，故正确. 选项B. 直线在轴上的截距为, 正确. 选项C. 直线的斜率，倾斜角为，故不正确. 选项D. 由，则点在圆上 所以圆的过点的切线的斜率为，所以切线方程为，即，故正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，最后点斜式写出所求直线方程； 【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1， 所以所求直线为，即． 故答案为：. 13. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为______. 【答案】2 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的正弦值为，即可求得答案. 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 四、解答题（共77分） 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）直线过点，且与直线平行； （2）直线过点，且与直线垂直. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分别利用平行与垂直求出直线斜率，再由点斜式直线方程可得. 【小问1详解】 直线与直线平行，可得的斜率. 又过点， 由点斜式可得：，即：. 【小问2详解】 由直线的斜率为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又过点，由点斜式可得：，即：. 16. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）证明：； （2）求平面的法向量． 【答案】（1） 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，设，， 所以， 所以． （2）法向量为，（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量互相垂直的性质进行求解即可； （2）根据平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 平面的法向量为. 17. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. （1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； （2）若，的面积为4，求b的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【小问1详解】 已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 18. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求得直线方程； （3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，， 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求三棱锥的高； （2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值； （3）在棱AD上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，即可得到为三棱锥的高，再由其体积公式代入计算，即可得到结果； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，将线段比值设为向量关系，借助向量表示点，然后分别求出两个平面的法向量，用法向量表示出已知条件，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， 则为三棱锥的高， 又是边长为1的等边三角形， 则， 且，则， 即三棱锥的高为1. 【小问2详解】 分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于. 【小问3详解】 在棱上存在点，使二面角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，， 所以在棱上存在点，使二面角的大小为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石北中学2024学年第一学期期中教学质量检测 高二年级 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡一并交回. 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（ ）. A. －2 B. － C. D. 2 7. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线恒过定点 C. 点关于直线对称的点为 D. 过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 圆的过点的切线方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为________． 13. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为______. 四、解答题（共77分） 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）直线过点，且与直线平行； （2）直线过点，且与直线垂直. 16. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）证明：； （2）求平面的法向量． 17. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. （1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； （2）若，的面积为4，求b的值. 18. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求三棱锥的高； （2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值； （3）在棱AD上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $