精品解析：福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高中一年数学科试卷 命题学校：永泰一中 命题教师：高一备课组 审核教师：高一备课组 考试日期：11月14日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “函数在上为减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 7. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，且，则的最小值为 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 函数的单调递减区间为 D. 关于的不等式的解集中至多包含一个整数，则实数的取值范围是 11. 表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. ，， C. 函数，的图象不关于原点对称 D. 设方程的解集为A，集合，若，则 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___________. 13. 计算___________. 14. 已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知定义域为R的函数是奇函数，且． （1）求实数a，b的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于x的不等式． 17. 为了发展全域旅游，闽运永泰分公司新购进25辆新能源公交车全部投放于两条乡村公交线路，每条公交线路至少要投放5辆公交车，经过前期试运营可知：线路A的月收入P（单位：万元）和线路B的月收入Q（单位：万元）与投入公交数量（单位：辆）之间分别满足：，.设线路A投放辆公交车，每个月两条公交线路总收入为（单位：万元）. （注：收入为负数表示亏损，收入为正数表示盈利） （1）求的值； （2）由于线路A长期处于亏损状态，县政府决定对于投放线路A的每辆公交车每个月提供万元补贴，试问：至少为何值时，才能确保线路A的月总收入不低于线路B的月总收入？ 18. 已知是定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在的值域； （3）我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围. 19. 已知函数，，满足且为增函数. （1）求函数，的解析式； （2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高中一年数学科试卷 命题学校：永泰一中 命题教师：高一备课组 审核教师：高一备课组 考试日期：11月14日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：. 故选：B 2. 已知集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合的包含关系及符号可得到结果. 【详解】集合，所以， 对于A，，是元素与集合之间的关系，符号错误，故A错误； 对于B，，集合的包含关系，符号错误，故B错误； 对于C，，集合的包含关系，故C正确； 对于D，是一个集合，所以，符号错误，故D错误； 故选：C. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，不妨取，，则，A错； 对于B选项，取，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，因为，则，， 所以，，即，D对. 故选：D. 4. “函数在上为减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在上为减函数求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若函数在上为减函数，则，解得， 又因为， 因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 6. 幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数，所以， 即，定义域为， 则， 所以是奇函数， 故A、B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解集得到系数之间的关系，再根据基本不等式求得结果. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，即的取值范围为， 故选：A. 8. 设函数，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的定义可知为偶函数，再判断出在上单调递增，由结合的单调性，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以为偶函数，所以 当时，，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】两个函数的定义域和对应关系均相同时，两个函数为同一函数. 【详解】对于A：，定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数，该选项不满足题意； 对于B：，定义域为，定义域和对应关系均相同，为同一函数，该选项满足题意； 对于C：，定义域为，定义域和对应关系均相同，为同一函数，该选项满足题意； 对于D：，定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数，该选项不满足题意； 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，且，则的最小值为 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 函数的单调递减区间为 D. 关于的不等式的解集中至多包含一个整数，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可判断A，根据充分不必要条件的定义即可求解B,根据复合函数的单调性原则即可求解C，根据一元二次不等式的解的特征即可求解D. 【详解】对于A，由于，，，当且仅当，即取等号，故A正确， 对于B,由得或，故“”可得“”，但是“”不一定“”，故“”是“”的充分不必要条件，B正确， 对于C,由于函数在上单调递增，而的单调区间为，故的单调递减区间为，C错误， 对于D，不等式可变形为， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 因为关于的不等式的解集中至多包含1个整数， 所以或， 故实数的取值范围为,．D错误， 故选：AB 11. 表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. ，， C. 函数，的图象不关于原点对称 D. 设方程的解集为A，集合，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意直接运算即可；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据题意解得，分、或三种情况解不等式求集合B，结合并集结果运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，则，， 可得，所以，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：因为， 所以函数，的图象不关于原点对称，故C正确； 对于选项D：因为，则， 解得或，所以， 又因为，且， 若，则，可得，解得； 若，则，符合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：，故D正确； 故选：ACD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，运算求解即可. 【详解】若命题“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 计算___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据新定义列不等式组求解即可. 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出两个集合的取值范围，再根据集合的运算可求得结果； （2）根据得到，分和两种情况讨论即可求得结果. 【小问1详解】 当时，， 又， 或， ，； 【小问2详解】 ，， 当时，即符合题意， 当时，则 ， 综上所述：. 16. 已知定义域为R的函数是奇函数，且． （1）求实数a，b的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1），； （2） 由（1），是R上的减函数，证明如下： 设，则， 由得，即，又， 所以，即， 所以是R上的减函数； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用可求得； （2）根据单调性定义判断并证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，从而解出不等式． 【小问1详解】 由题意，则， 又，解得，因此； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式化为， 因为是奇函数，所以， 又是减函数，所以，解得．解集为． 17. 为了发展全域旅游，闽运永泰分公司新购进25辆新能源公交车全部投放于两条乡村公交线路，每条公交线路至少要投放5辆公交车，经过前期试运营可知：线路A的月收入P（单位：万元）和线路B的月收入Q（单位：万元）与投入公交数量（单位：辆）之间分别满足：，.设线路A投放辆公交车，每个月两条公交线路总收入为（单位：万元）. （注：收入为负数表示亏损，收入为正数表示盈利） （1）求的值； （2）由于线路A长期处于亏损状态，县政府决定对于投放线路A的每辆公交车每个月提供万元补贴，试问：至少为何值时，才能确保线路A的月总收入不低于线路B的月总收入？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，，由可求出的值； （2）由题意可得对恒成立，分离参数可得对恒成立，令，求出的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 依题意得： （，且）， （，且） （，且）. 所以. 【小问2详解】 依题意得：对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 令（，且），则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 答：至少为时，才能确保线路A月总收入不低于线路B月总收入. 18. 已知是定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在的值域； （3）我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，求时函数的解析式，依据奇函数的性质，确定时的函数值即可； （2）利用换元法以及二次函数的单调性即可求解； （3）根据函数的对称性，求出时函数的解析式，进而确定的解析式，结合已知条件以及二次函数的性质分情况分析即可确定实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ， 又是奇函数， ， . 【小问2详解】 当时，， 令，则， ，， 二次函数开口向上，对称轴为， 当时，， 函数在的值域为. 【小问3详解】 函数的图象关于直线对称， 由题意可得：函数为偶函数， ，， 当时，， ， 令，其中， 函数在的值域记为，函数在的值域记为， 由（2）知， ，，使得， 即，只需， 二次函数开口向上，且对称轴为， ①当时，在单调递增， ， ，解得：， ②当时，在单调递减， ， ，解得：， ③当时，在单调递减，在单调递增， ， ，解得：， 综上：的取值范围为：. 19. 已知函数，，满足且为增函数. （1）求函数，的解析式； （2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性可得，即可代入求解， （2）将问题转化为成立，即可分离参数，结合换元法，可得，利用基本不等式即可求解, （3）根据为偶函数，结合函数图象可得的取值范围，将问题转化为方程有两个不同的正实数根，利用二次方程根的分布，即可结合韦达定理以及判别式求解. 【小问1详解】 因为为增函数，所以， 由，整理得， 解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由是增函数，所以当时，， 存在不等式成立， 即成立， 成立， 令， 所以存在，不等式成立， 即成立， 设，则，， ， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 则为偶函数，令， 当时，关于的方程只有一个实数解， 当时，关于的方程有两个不同的实数解， 当时，关于的方程没有实数解， 所以要使关于的方程有四个不同的实数解， 需关于的方程有两个不同的正实数根， 则，解得或， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $