精品解析：四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

泸县五中2024年秋期高一期中考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程组的解组成的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，且，则x的值可以为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 10. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 解集为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知，，且，则a的取值范围为_________． 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，______． 14. 已知正数满足，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）. 16. 已知二次函数，，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的值域． 17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值多少? 18. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 19. 若函数与满足：对任意，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中2024年秋期高一期中考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. 方程组的解组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义分析求解. 【详解】由方程组解得， 所以方程组的解组成的集合为. 故选：C. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义与单调性定义判断． 【详解】是奇函数， 是偶函数且在上递减， 的图象关于直线对称轴，既不是奇函数也不是偶函数， 关于直线对称，既不是奇函数也不是偶函数， 故选：B． 4. 若为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】 利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，当时，不符合，故A选项错误. 对于B选项，由于，所以，所以，所以B选项正确. 对于C选项，如，但是，所以C选项错误. 对于D选项，由于的正负不确定，所以无法由，得出，故D选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及条件，可得，代入即可求解. 【详解】因为，所以，即， . 故选：B 6. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果. 【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题， ，解得：. 故选：B. 7. 已知，，且，则最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 8. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围. 【详解】因为当时，；， 所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍. 当时，，， 故当时，对任意，不成立， 当时，， 同理当时，， 以此类推，当时，必有. 函数和函数的图象如图所示： 因为当时，， 令，解得，（舍去）， 因为当时，成立，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，且，则x的值可以为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 10. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、对应关系等知识确定正确答案. 【详解】A. ，这两个函数的定义域不相同，所以不表示同一函数. B.，且定义域相同，两个函数表示同一函数. C.对于，故，所以的定义域是， 而的定义域是，所以不表示同一函数. D.的定义域是，的定义域是，所以不表示同一函数. 故选：ACD 11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即，所以， 所以，函数为上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知，，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】应用偶函数的性质求解即可. 【详解】解：当时，可得， 又因为当时，， 所以， 又因为函数是偶函数，即， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 14. 已知正数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果； （2）根据补集和并集定义可求得结果； （3）根据补集和交集定义可求得结果. 【小问1详解】 由并集定义知：. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 ，或， . 16. 已知二次函数，，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值. （2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域. 【小问1详解】 解：因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 即． 【小问2详解】 解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线． 因为在递减，在递增，所以， 因为，， 所以， 所以在上的值域为． 17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 【答案】（1） （2）时有最小值，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数； （2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值. 【小问1详解】 由题可先写出速度关于时间的函数， 代入与公式可得 解得； 【小问2详解】 ①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值； ②疲劳阶段， 则有， 当且仅当，即时，“”成立， 所以疲劳阶段中体力最低值为， 由于，因此，在时，运动员体力有最小值. 18. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. 【小问2详解】 证明：任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. 【小问3详解】 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，取，然后判断出不存在，由此可作出判断； （2）根据定义，当时，用表示出，判断出对应函数单调性并求解出值域，根据值域与的包含关系求解出结果； （3）根据定义，先分析出在上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 假设是区间上的“阶自伴函数”， 不妨取，则，由可得， 此时无解，所以假设不成立， 所以不是区间上的“阶自伴函数”. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为在上单调递减， 当时，，当时，， 因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且， 所以， 所以，解得 【小问3详解】 由题意可知，对任意，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为，所以， 所以在上的值域包含且的值域在内对应的自变量是唯一的， 又，对称轴，且， 当时，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：函数不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $