北京市重点中学2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试卷

2024-2025学年10月质量检测试题 九年级数学 一、选择题：本题共8小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程中一次项系数、常数项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.北京市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率可列方程：(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.如图，已知的边和与圆相切于、两点，经过圆心，交圆于、两点，点为弧上靠近点的三等分点，若，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，，点在边上，以为边向上作正方形在上取点，连结，以为边作正方形，连结若点落在边上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，共14分。 9.将抛物线向下平移个单位长度，得到新的抛物线的解析式是______． 10.已知是方程的一个根，那么______． 11.写出一个开口向下的二次函数的表达式______． 12.将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为______． 13.已知二次函数，当时，随的增大而增大写出一个满足题意的的值为______． 14.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到若，则旋转角的度数是______． 15.如图，将面积为的正方形的边的长度增加，变为面积为的矩形若正方形和矩形的周长相等，则的值是______． 三、解答题：本题共13小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题6分） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 17.本小题分 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线下列说法： ； ； 为全体实数； 若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为其中正确的有______． 18.本小题分 解方程：． 19.本小题分 如图，是的直径，是的弦，若，求的长． 20.本小题分 如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知，． 求的半径． 若，求的长． 21.本小题分 如图，四边形是平行四边形，、相交于点，点是的中点，连接，过点作于点，过点作于点． 求证：四边形是矩形； 若四边形是菱形，，，求的长． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个实数根； 若此方程恰有一个根小于，求的取值范围． 23.本小题分 秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形水面宽度，桥拱最高点到水面的距离为． 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； 现有一艘游船高度是，宽度是，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥． 24.本小题分 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦每串冰糖葫芦由颗山楂制成同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂甲、乙两位同学各随机分到了颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量单位：，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 甲同学的山楂重量的折线图： 乙同学的山楂重量： ，，，，，，，，，，，，，， 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： 写出表中，的值； 对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好． 甲、乙两位同学分别选择了以下颗山楂制作冰糖葫芦据此推断：品相更好的是______填写“甲”或“乙”； 甲 乙 甲同学从剩余的颗山植中选出颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大他已经选定的三颗山楂的重量分别为，，，则选出的另外两颗山楂的重量分别为______和______； 估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦． 25.本小题分 食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响． 方式一：采用清水浸泡． 记浸泡时间为分钟，农药的去除率为，部分实验数据记录如下： 分 方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间． 记食用碱溶液的浓度为，农药的去除率为，部分实验数据记录如下： 结合实验数据和结果，解决下列问题： 通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率与浸泡时间分之间的关系，方式二中农药的去除率与食用碱溶液的浓度之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； 利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为______分钟； 利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度中，的取值范围可以是______． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上设抛物线的对称轴为直线． 若，求的值； 点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 27.本小题分 在中，，，点为内一点． 请你按照要求利用尺规作图作出，保留作图痕迹说明的理由． 在的基础上过点作，垂足为用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28.本小题分 【发现问题】 在一次数学活动课上，学生用围棋子摆出“金字塔”数阵，图案如下： 【提出问题】 在摆出的数阵中，所需围棋子颗数与数阵层数之间具有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明同学结合实际操作和计算得到的数据如表： 数阵 棋子颗数 小明从数形结合的角度出发，从图中观察第一层有颗棋子，以后每层都比上一层多颗棋子，则第层有颗棋子． 或． 就可以得到与之间的函数关系． 【解决问题】 直接写出与之间的函数关系；不需要写出自变量的取值范围 一副围棋共有颗棋子，摆出上面的数阵，若使剩余棋子最少，则最少剩几颗棋子？ 若每颗圆形棋子的周长为，要想摆下中最大的数阵，需要一张长、宽至少为多少厘米的矩形桌子？结果精确到参考数据：，棋子间缝隙忽略不计 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意， 故选：． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：一元二次方程的一次项系数，常数项分别是、． 故选：． 根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 3.【答案】  【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 4.【答案】  【解析】解：，， ， 由旋转性质知，，， ， ， 故选：． 根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键是会综合应用这些知识解题． 5.【答案】  【解析】解：设增长率为， 根据该品牌头盔月份销售个，月份销售个得：， 故选：． 设增长率为，根据题意得即可求解． 本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：一元二次方程的根即为二次函数的图象与直线轴的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：． 一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 本题考查抛物线与轴的交点，根的判别式，解答本题的关键是掌握二次函数的性质． 7.【答案】  【解析】解：连接， 切圆于， ， ， 点为弧上靠近点的三等分点， 的度数， ， ， ， ， ， ， ， ， 切圆于， ， ， ， ． 故选：． 连接，由切线的性质推出，求出的度数，由圆周角定理得到，由三角形外角的性质得到，求出，得到，推出，由切线的性质得到，于是得到，即可求出的长． 本题考查切线的性质，含度角的直角三角形，关键是由含度角的直角三角形的性质推出，得到． 8.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点， 正方形，正方形，正方形， ，，，， ， ， ≌， 同理可得：≌≌， ，， ， 设，则 ， ， 当时，有最小值为． 故选：． 过点作于点，证明≌≌，得，，设，根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解． 9.【答案】  【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度，得到新的抛物线的解析式是． 故答案为：． 直接根据“上加下减”的原则进行解答． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 将代入原方程即可求出的值． 【解答】 解：将代入， 得， ， 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：二次函数的图象开口向下， 则二次项系数为负，即， 满足条件的二次函数的表达式为． 故答案为：． 根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式 本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象开口向下，二次项系数为负，此题比较简单． 12.【答案】  【解析】解：， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为， 即． 故答案为：． 先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再根据绕顶点旋转后的图象与原图象开口相反，利用顶点式解析式写出即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：由题意，二次函数的对称轴是直线， 又抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大． 又当时，随的增大而增大， ． ． 故可取． 故答案为：答案不唯一． 依据题意，由二次函数的对称轴是直线，又抛物线开口向上，从而当时，随的增大而增大，再结合当时，随的增大而增大，可得的范围，进而可以得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， 故答案为：． 根据等腰三角形的性质求出的度数，就是旋转角的度数． 本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 由题意得：，， 正方形和矩形的周长相等， ， ， 矩形的面积为， ，即， 解得：，， ， ， 故答案为：． 根据正方形的面积可得正方形的边长为，再根据正方形和矩形的周长相等，可得，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案． 本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等，是常考的基础题． 16.【答案】解：由题意知，， 解得：， 则的取值范围是； 由知， 则方程为， 即， 解得或． 方程的根为或．  【解析】由得到关于的不等式，解之得到的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； 由知，可得方程，利用因式分解法求解可得． 本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系． 17.【答案】  【解析】解：因图象开口向下，可知：； 又对称轴为直线， ，整理得：，即、同号． 由图象可知，当时，， 又对称轴为直线，可知：当时，； 即； ，故正确． 由得：． 代入原解析式得：； ， 整理得：，故正确． 设，则， 两边得到， 左侧为时的函数值，右侧为时的函数值，不成立，故错误． 由题意得，、是一元二次方程的两个根， 从图象上看，因二次函数有对称性，、关于对称， 当且仅当时，存在点和点， 当时，满足题设，故正确． 故答案为：． 分别判断、、的符号，再判断的符号； 由对称轴为直线，可知与的数量关系，消去可得仅含、的解析式，找特定点可判断的符号． 用与的数量关系，可将原式化简得到关于的不等式，再用函数的性质为全体实数判断． 利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断． 本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题． 18.【答案】解：移项，得， 因式分解，得， 于是得，或， 解得：，， 所以方程的两个根分别为，．  【解析】先移项，然后利用提公因式法将方程的左边因式分解可解得方程． 本题考查了解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的解方程方法是解题的关键． 19.【答案】解：因为是的直径， 所以． 因为， 所以． 所以在中，， 由勾股定理，得：，即， 解得：．  【解析】推导出是含度角的直角三角形即可得解， 本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度的角直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题的关键． 20.【答案】解：如图，连接， 设圆的半径是， ， ，是的直径， ， ， ， ， 的半径为； 解：， ， ， ， ， ．  【解析】连接，设圆的半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； 由垂径定理得到，推出，得到，由勾股定理求出． 本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，由圆心角、弧、弦的关系得到． 21.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ．  【解析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； 根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 22.【答案】证明：一元二次方程， ，，， ， 此方程总有两个实数根； 解：一元二次方程， ，，， ， ， ，， 此方程恰有一个根小于， ， ．  【解析】计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； 用公式法解方程得到，结合此方程恰有一个根小于，则，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根，是解答本题的关键． 23.【答案】解：以的中点为原点，建立如下的坐标系， 则点，点， 设函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为：， 当时，， ，故边沿可以安全通过， 此时船的顶部高为，，故顶部通过符合要求， 故这艘游船能否安全通过玉带桥．  【解析】以的中点为原点，建立如下的坐标系，则点，点，设函数的表达式为：，即可求解； 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为：，当时，，，故边沿可以安全通过，此时船的顶部高为，，故顶部通过符合要求，即可求解． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．首先要吃透题意，确定变量，建立适当的坐标系，确立函数表达式，再结合实际问题，确定变量的值进而求解． 24.【答案】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第个数为， 也就是说这组数据的中位数为，所以； 根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为克出现的次数最多， 也就是说这组数据的众数为，所以． 故答案为：，． 根据题意可知甲同学的个冰糖葫芦重量分布于之间，乙同学的个冰糖葫芦重量分布于， 从中可以看出，甲同学的个数据比乙同学的个数据波动较小， 所以，甲同学的个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好． 要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大， 可供选择的有、、， 当剩余两个为、，这组数据的平均数为， 方差为：， 当剩余两个为、，这组数据的平均数为， 方差为：， 当剩余两个为、，这组数据平均数为， 方差为：， 据此，可发现当剩余两个为、，方差最小，山楂重量也尽可能大． 故答案为：甲；、． 千克克， 个， 串， 答：能制作串冰糖葫芦．  【解析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 根据中位数和众数的概念，即可求解； 根据方差的定义，即可求解； 根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可． 已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂， 再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦． 本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 25.【答案】    【解析】解：方式一和方式二的函数图象如图所示： 由方式一的函数图象可知，当时，农药的去除率最高， 故答案为：． 清水浸泡的最大去除率为， 由方式二的函数图象可知，当时，食用碱溶液浸泡的去除率不小于， 故答案为：． 分别将方式一和方式二表格中的数据在对应平面直角坐标系中描点，并将它们连接起来即可； 根据方式一的函数图象，最大时对应的的值即为答案； 确定的最大值，当不小于这个值时对应的的取值范围即为答案． 本题考查一次函数的应用，用描点法作函数的图象是解题的关键． 26.【答案】解：由题意，，且抛物线过，点， 对称轴是直线． 的值为． ， 离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小， 当时，， ，不符合题意； 当时， 由可知， ， 由，，可知， ， 的取值范围是； 当时， 由可知， ， 由可知， ， 此时无解； 当时， ， ，不符合题意； 综上所述，的取值范围是．  【解析】由可得对称轴是直线，进而得解； 由，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案． 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握时，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小． 27.【答案】解：如图，分别作和的平分线交于点，则即为所求． ，， ． 、分别平分和， ，． ． 线段与之间的数量关系为：理由： 过作交的延长线于点， 由知：， ， 为等腰直角三角形， ． 由知：， ． ． ，， ∽． ． ，， ， ． ， ．  【解析】作出和的平分线交于点，则即为所求； 利用等腰直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； 过作交的延长线于点，理由的结论，等腰直角三角形的性质得到，利用等腰三角形的判定与性质得到，则；再利用相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质得到，则结论可得． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，基本作图，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 28.【答案】解：根据题意：得： ； 由得， ， ，即， ， ，即， ， 为正整数， ， 在中，当时，随的增大而增大， 当时，， ， 最少剩颗棋子． 由可知，最大数阵有层棋子，棋子最多的一层有颗， 每颗圆形棋子的周长为， ． 解得： 每颗圆形棋子的直径为 如图， ，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 需要一张长至少为，宽至少为的矩形桌子．  【解析】根据题意：得化简即可． 由得，根据已知条件，利用无理数的估算得出，最后根据二次函数的性质可得出抛物线当时，随的增大而增大，即可求出当时，，进一步即可得出结论． 由可知，最大数阵有层棋子，棋子最多的一层有颗求出每颗圆形棋子的直径为，即可得出需要的桌子长度，画图图形，再利用勾股定理求出，进一步求出桌子的宽度． 本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，求二次函数的最值，无理数的估算，以及勾股定理等知识． 第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$