精品解析：广东省潮州市饶平县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

广东省潮州市饶平县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式与分式不等式求出集合、，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得， 所以， 所以. 故选：D 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断单调性. 【详解】A选项：函数的定义域为，且在上单调递增，A选项错误； B选项：函数的定义域为，且在上单调递减，B选项正确； C选项：函数的定义域为，且在上单调递增，C选项错误； D选项：函数的定义域为，且在上单调递增，D选项错误； 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶次根式被开方数非负得出，然后利用指数函数的单调性可解出该不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】由题意可得，即，. 因此，函数的定义域为. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了指数不等式的计算，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果. 【详解】因为，，即， 又，所以. 故选：A 5. 函数与互为反函数，且的图像过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反函数的性质与经过的点，求出表达式，再求 【详解】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 6. “是函数且）的图象经过第三象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的图象特征，结合与0的关系，即可分别求解充分性和必要性，进而根据充要条件的定义求解. 【详解】解：对于函数且）， 当时，，结合指数函数的图象特征，可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立； 对于函数且），当时，且单调递减，此时它不经过第三象限， 当时，为增函数且，经过第三象限，故符合题意，必要性成立， 综上所述，“”是“函数且）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C． 7. 已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的图象恒过定点，进而可得，结合基本不等式和指数的运算性质进而得到答案． 【详解】当时，， 故函数的图象恒过定点， 由点在直线上，则, 故， 当且仅当等号成立,故的最小值是. 故选：B 8. 设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析函数的单调性，即可画出函数图象，依题意可得与有三个交点，即可求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，则在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 则的图象如下所示： 方程有三个实数解，即与有三个交点，结合图象可知， 故符合题意的只有D. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，且，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的单调性，即可判断选. 【详解】对于A，由，函数在上单调递减， ，所以，故A正确； 对于B，由A可知，，则，即，故B错误； 对于C，幂函数在上单调递增，，则，故C错误； 对于D，指数函数在上单调递减，，则，故D错误. 故选：BCD 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是增函数 C. 命题“”的否定是“” D. 若幂函数在上单调递减，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A，判断函数的单调性，即可判断B，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C，根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可判断D. 【详解】对于A：由题设令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B：由定义域为，且在和上都单调递增，但在定义域上不单调，故B错误； 对于C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，故C错误； 对于D：因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 有最大值 C. 不等式的解集是 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的解析式求解定义域，利用复合函数的单调性求解单调区间及最值，利用单调性解对数不等式即可. 【详解】因为， 由，解得，所以的定义域是，故A正确； 的对称轴为：， 所以在上单调递增，在上单调递减； 在单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值为，故B，D正确； ，即，所以， 所以，解得，故C错误. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的计算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 13. 函数是定义在上的偶函数，且当时，，那么______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据偶函数的性质以及对数函数求解. 【详解】, , 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故答案为：3. 14. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得对任意恒成立，构造函数令，，，根据函数的单调性和最小值，即可得出答案． 【详解】对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，， 令，由于函数均在单调递增， 在上单调递增， ，， 故实数的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知， （1）当，求的值； （2）当时，用表示. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数真数大于零可求得范围，根据对数运算法则化简已知等式可得关于的方程，解方程可求得结果； （2）根据对数运算法则与换底公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以， 整理得，解得（舍去）或； 所以. 【小问2详解】 当时，，，则，， 所以. 16. 化简求各式的值 （1） （2）已知，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）根据求出，，结合立方和公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ， ， . 17. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件. （1）试确定的值. （2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）将关税税率，市场价格代入中，列出关于与的方程组求解； （2）利用，将表示成关于的函数，然后确定的最大值. 【详解】(1)由已知得： ，得 解得，. (2)当时，， 所以，则. 设，则在上单调递减， 所以当时，有最小值， 故当时，关税税率的最大值为. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解. 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. 【小问2详解】 在R上单调递减，证明略； 【小问3详解】 由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. 【小问2详解】 由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省潮州市饶平县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数与互为反函数，且的图像过点，则（ ） A. B. C. D. 6. “是函数且）的图象经过第三象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，且，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是增函数 C. 命题“”的否定是“” D. 若幂函数在上单调递减，则 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 有最大值 C. 不等式的解集是 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：______. 13. 函数是定义在上的偶函数，且当时，，那么______. 14. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知， （1）当，求的值； （2）当时，用表示. 16. 化简求各式的值 （1） （2）已知，求. 17. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件. （1）试确定的值. （2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值. 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得成立，求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $