精品解析：2025届江西省九校联考高三上学期11月期中考试数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间 120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解指数不等式求出集合，解不等式求出集合，然后即可求出结果. 【详解】故， 故, . 故选：B. 2. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应点坐标写出复数，再应用复数的乘除运算化简，即可得答案. 【详解】由图得，则， 所以，虚部为. 故选：C 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】设公差为，由，，所以，解得， 则. 故选：D 4. 已知，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数函数即余弦函数性质判断大小关系即可. 【详解】，，，则. 故选：A 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性结合给定条件证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】因为，所以， 故，即是奇函数， 若，可得，故， 可得，故充分性成立， 令，，此时满足， 但不满足，故必要性不成立，故A正确. 故选：A 6. 已知α为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和差角正余弦公式，将条件化为，进而有，最后由二倍角正弦公式求结果. 【详解】由， 因为锐角，，所以. 故选：B 7. 已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】条件化为与的两个交点横坐标分别为，，数形结合得到，应用对勾函数的性质求目标式的范围. 【详解】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以， 则， 令，则，， 又在区间上单调递减，所以， 所以. 故选：. 8. 若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到是周期为的周期函数且关于对称，利用周期性、 对称性求得，最后应用周期性求结果. 【详解】由偶函数，知的图象关于直线对称， 因图象关于点成中心对称，则①，且， 所以 ， 所以是周期为的周期函数. 令代入①，可得，而， 所以， 综上，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是9 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误. 【详解】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 10. 关于函数，则下列命题正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 在上单调递增 D. 都是的极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】由判断A，根据的连续性及函数值的特征判断B，利用导数判断C、D. 【详解】对于A，， 所以函数是奇函数，所以A不正确. 对于B，因为函数在上连续， 且当时，，所以的值域是，所以B正确； 对于C，由，当，， 所以在单调递增，所以C正确. 对于D，，因为， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递增，所以不是函数的极值点，所以D不正确. 故选：BC 11. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. 任意的， C. 存在，使得 D. 数列有最大值，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设数列递推关系求数列的前两项判断A；由且判断C；根据A、C分析判断B；作差法研究数列单调性，即可判断D. 【详解】令，则，所以， 令，得，又，可得，A正确； 由，，所以，C错误， 由，且，B正确， 由，得，所以 ，即， 所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且， 故数列有最大值2，无最小值，D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦边角关系及和角正弦公式、三角形内角性质整理化简可得，再由及向量数量积运算律求得，最后应用面积公式求面积. 【详解】由，得， 即，因为，所以， 因为，所以， 由，两边平方， 所以，则. 故答案为： 14. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设数形结合得和，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】由题，当时，；当时，； 故作出的图象如图所示： 因为存在实数，，且，使得， 所以直线与图象有三个交点， 所以，且，， 所以， 设，则恒成立， 所以函数在单调递增，所以函数， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到和，从而将问题转化成求函数的最大值，简化了问题的难度. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求的单调区间; （2）若存在极值M，求证：. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为; （2） 由（1）知，当时，在上单增，没有极值； 当时，在上单减，在上单增， 存在极小值 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值0， 所以恒成立，即. 【解析】 【分析】（1）讨论参数a，应用导数研究单调区间； （2）讨论参数a，利用导数研究函数极值即可证. 【小问1详解】 由题设， 当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，令，得，故上，上， 所以的减区间为，增区间为， 综上，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为; 【小问2详解】 略 16. 已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 . （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，求证: . 【答案】（1）； （2）证明：由，则，又， 所以， . 【解析】 【分析】（1）根据递推式可得、，讨论奇偶性求通项公式即可； （2）由（1）得，应用分组、裂项求和及等比数列前n项和求，即可证结论. 【小问1详解】 当时，由及，得， 当时，由，得， 因为，所以， 从而，，， 综上. 【小问2详解】 略 17. 已知向量，，函数. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标公式，二倍角公式及辅助角公式对进行化简，然后再根据正弦函数的单调区间列式求解； （2）先根据图象平移求出，再根据数形结合思想求解. 【小问1详解】 ， ， 令，，则，， 所以的单调递减区间为，； 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位后，得到， 再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到， 函数，的图象与的图象有三个交点坐标分别为，，且， 则由已知结合图象的对称性，有，解得，∴. 18. 已知函数 （1）求函数图象上点到直线的最短距离； （2）若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值； （3）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由与平行且与相切的直线的切点到直线的距离最短，结合导数几何意义求切点坐标，应用点线距离公式求结果； （2）利用导数几何意义求、的切线方程，结合公切线列方程得，应用导数研究右侧最值，即可得结果； （3）问题化为恒成立，导数研究右侧最值求参数范围. 【小问1详解】 设与平行且与相切的直线，与的切点为， 由题设，令，知，则M到直线的距离最短， 所以. 【小问2详解】 设点是公切线在上的切点，则， 则切线方程为，即， 设点是公切线在上的切点，则， 则切线方程为，即， 综上，，，消去得， 设函数，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以最大值为，则，即， 所以，实数a的最小值为. 【小问3详解】 由，从而恒成立， 设，则， 设，则，则在上递减且， 当时，，即单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以得最大值为，则的取值范围是. 19. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换T，变换T将集合A变换为集合 （1）若，求； （2）若集合A 有n个元素，证明：的充要条件是集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列； （3）若且{1,2,3,...,25,26}，求元素个数最少的集合A. 【答案】（1），； （2）证明：令，不妨设. 充分性：设是公差为的等差数列， 则，，且. 所以共有个不同的值，即， 必要性：若， 因为，， 所以中有个不同的元素，，…，，，，…，， 任意的值都与上述某一项相等， 又，且，. 所以，所以是等差数列，且公差不为0. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设集合的定义写出即可； （2）利用充分、必要性定义，结合等差数列定义判断推出关系，即可证结论； （3）反证法确定，设的元素个数为，得到的元素至多个，的元素至多个，结合已知得，、，最后分类讨论并结合定义确定元素个数最少的集合A. 【小问1详解】 若集合，则，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 首先证明：. 假设，中的元素均大于1，从而， 因此，，故， 与矛盾，因此， 设的元素个数为，的元素个数至多为，从而的元素个数至多为. 若，则元素个数至多为5，从而的元素个数至多为，而中元素至少为26，因此， 假设A有三个元素，设，且， 则1，2，，，，，，，，从而. 若，中比4大的最小数为，则与题意矛盾，故. 集合中最大数为，由于，故，从而， （ⅰ）若，且，此时1，2，，，8，9，，，，有，， 在22与28之间可能的数为，，此时23，24，25，26不能全在中，不满足题意 （ⅱ）若，且，此时1，2，，，8，9，，，，有， 若，则或，解得或， 当时，，不满足题意. 当时，，且满足题意. 故元素个数最少的集合A为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设的元素个数为，运用反证法、数列新定义判断并确定，，、为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间 120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 4. 已知，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知α为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是9 10. 关于函数，则下列命题正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 在上单调递增 D. 都是的极值点 11. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. 任意的， C. 存在，使得 D. 数列有最大值，无最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则___________. 13. 在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________. 14. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为_____. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求的单调区间; （2）若存在极值M，求证：. 16. 已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 . （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，求证: . 17. 已知向量，，函数. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值. 18. 已知函数 （1）求函数图象上点到直线的最短距离； （2）若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值； （3）若恒成立，求a的取值范围. 19. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换T，变换T将集合A变换为集合 （1）若，求； （2）若集合A 有n个元素，证明：的充要条件是集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列； （3）若且{1,2,3,...,25,26}，求元素个数最少的集合A. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $