湖北省七市州2023-2024学年高三上学期联合统一调研测试数学试题

2024届湖北省七市州高三年级联合统一调研测试 数学 限时120分钟 满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ） A. B. C.1 D.2 3.已知正方形的边长为2，若，则（ ） A.2 B. C.4 D. 4.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D.2 6.已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（ ） A.2或3 B.2 C.3 D.4 7.若，则（ ） A. B. C. D. 8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A.若为互斥事件，则 B.若为互斥事件，则 C.若相互独立，则 D.若，则 10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A.动点轨迹的长度为 B.三棱锥体积的最小值为 C.与不可能垂直 D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列结论正确的有（ ） A.函数的值域为 B.函数的图象关于点成中心对称图形 C.函数的导函数的图象关于直线对称 D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则__________. 13.已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________. 14.已知函数有零点，当取最小值时，的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点. （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小. 16.（15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学（其中男生30名，女生30名）在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系. 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼的次数为6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17.（本小题15分） 已知各项均不为0的数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若对于任意成立，求实数的取值范围. 18.（17分）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为. （1）若直线与轴的交点为，求证：； （2）过点作的垂线与直线交于点，求证：. 19.（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，易知曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：. （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中. （i）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在点和点处的切线均不重合； （ii）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 湖北省七市州高三年级联合统一调研测试本次考试 物理方向清北线136分，985线111分，211线105分，一本线87分，本科线67分：历史方向清北线122分，985线97分，211线90分，一本线74分，本科线44分 1.B 一元二次不等式的解法+对数不等式的解法+集合的交､补运算解法一基本量法因为 ，所以，故选B. 解法二排除法因为，所以，又，所以.故排除A，D； 因为，所以，又，所以，故排除C.故选B. 2.C 复数的几何意义+复数的模解法-基本量法由题意，得，（题眼）所以复数在复平面内对应的点为，所以，所以，故选C. 解法二模的几何意义法由题意，得，（题眼）所以，故选C. 3.B 平面向量的数量积+向量的线性运算解法一基向量法由题意知点为的中点，所以 ，故选B. 解法二坐标法如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，所以所以，故选B. 4.A 充分条件与必要条件的判断+椭圆的几何性质 由，得由，得. （易错警示：只考虑焦，点在x轴上的一种情形，从而编解）所以 “”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件，故选A. 5.A 直线与圆的位管关系圆的标准方程为，所以圆的圆心，半径.因为，所以点在圆内，连接，则当时，取得最小值.（题眼）（知识拓展：过圈内一点的弦最长为固的直径，最短为以流，点为中点的弦）因为，所以，故选A. 6.B 等差数列的通项公式与前n项和公式+等比中项的性质+数列中的最值问题 设等差数列的公差为，则由是等比数列，得，（提示：等比中项性质的应用）整理得，所以0，即，（题眼）所以.因为，（易错提示：忽略题设条件中该等差数列的公差为负数，导数错解）所以当时，取得最大值，故选B. 7.D 同角三角函数的基本关系+二倍角公式+两角差的正弦公式由，得，（方法战巧：对于化简求值问题，当式中含有切与弦的混合式时，往往化切为弦）结合，整理得，所以，（题眼）因为，（提醒：在利用同角三角函数的基本关系求值时，一定要注意角的范围）所以，所以，所以，故选D. 8.C 圆与圆的位置关系+利用函数的单调性求最值 第1步：根据圆的对称性作出图形 要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需麦虑三个圆的圆心拽成等边三角形的情况，（题眼）设三个圆的圆心分别为，被覆盖的圆的圆心为，如图所示，为等边三角形，设圆与圆的交点分别为，连接并延长交圆，于点，交于点. 解法一函数法第2步：利用函数的单调性求圆0的最大半径 连接，设，则， 所以，所以.由，得，（提醒：求参数范围时，注意除需考虑函数的定义域外，还需结合实际）又 ，所以为目的最大半衪.设，则.由0，得，所以当时，，函数单调递增：当时，，函数单调递减.所以，即被完全覆盖的最大的圆的半径为，此时，即圆中的任一圆圴经过另外两圆的圆心. 解法二三角函数法第2步：利用三角函数知识求圆O的最大半径连接，设，则，所以，则，所以为圆的最大半径.因为，（方法：利用三角函数求最值时，需利用辅助角公式化为或的形式，然后利用三角函数的有界性求解）所以当，即时，取得最大值，即被完全覆盖的最大的圆的半径为，此时，即圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心. 9.ACD 互斥事件的概率+对立事件的概率+条件概率+独立事件的概率乘法公式对于A，根据互斥事件的加法公式可得，，故A正确；对于B，若为互斥事件，则，所以，故B不正确；对于C，由于是相互独立事件，所以，所以，故C正确；对于D，由 ，故C正确；对于D，由0.3，得， 所以故D正确.综上所述，选ACD. 10.ABD 立体几何中的轨迹问题+三棱锥的体积公式+线面位置关系的判定+棱锥的外接球问题如图，对于A，分别取的中点，连接，则由正方体的性质可得.因为平面，平面，所以平面平面.又平面，所以平面平面，所以点的运动轨迹为线段，（题眼）即动点轨迹的长度为，故A正确.对于B，，易知当与重合时，取得最小值，即，所以，故B正确.对于C，当为线段的中点时，因为，所以.又，所以，故C不正确.对于，易知当与重合时，取得最大值，连接，所以.由正方体的性质知，所以为直角三角形，易知点在平面上的投影为的斜边的中点，设为，连接，则三棱锥，即三棱锥的外接球的球心在直线上，（关键：求解多面体的外接球相关问题，确定球心位置是求解问题的关揵）设球的半径为，易知，则由，（提示：棱锥外接球的球心可能在校锥内，也可能在棱锥外）得，所以球的表面积，故正确.综上所述，选ABD. 11.BCD 函数的值域+函数图象的对称性对于A，因为，所以，所以函数的值域为，故A不正确；对于B，由题意，，令，显然函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数是奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，因为，（题眼）（提示：）所以，所以函数的导函数的图象关于直线对称，故C正确；对于D，因为函数满足为奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，又函数的图象关于点中心对称， 所以 ，故D正确.故选BCD. 12. 正弦函数的图象与性质由题意知，所以 ①.因为函数在区间上无最小值，所以，解得 ②.又，所以由①②可得，. 13. 直线与双曲线的位置关系+斜率公式由题意知.设，则，所以，（题眼）所以.，（知识拓展：设点为双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的任意一点，若直线的斜率均存在，则必有）.令，则，所以. （难点：通过换元转化表达式，从而利用二次函数的性质求出最小 值）则当，即时，取得最小值，此时. 14. 函数的零点+利用导数求函数的最值+点到直线的距离公式第1步：根据零点的定义结合对数的运算将原问题转化为点到直线的距离问题设函数的零点为，则，即.设为直线0上任意一点，原点到直线的距离.连接，则，第2步：换元，构造函数求的最小值令，（提醒：在换元时，一定要结合条件求出新元的取值范围）则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即的最小值为的最小值为，第3步：根据最小值成立的条件求结果此时，得，所以直线的斜率，所以，此时. 15.线面垂直与平行的判定定理+直线与平面所成的角+空间向量的应用 解：（1）第1步：由面面垂直的性质证 因为为等边三角形，是的中点，所以，（方法技项：当条件中出现等边三角形时，可利用等边三角形三线合一的性质推出线线垂直） 又平面平面，平面平面，所以平面. 又平面，所以. 第2步：利用向量法证 0，所以，（提醒：注意利用向量相关知识证线线垂直） 所以. 第3步：由线面垂直的判定定理证结论 又平面，所以平面. （2）第1步：利用线面平行的判定定理与性质定理证是的中点 因为分别为的中点，所以，（方法技巧：当条件中出现中点时，可利用三角形中位线定理推出线线平行）又平面平面，所以平面，（7分）又平面平面，所以，所以，因为是的中点，所以是的中点. 解法一第2步：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标与相关向量的坐标 易知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，（提醒：建立空间直角坐标系时，要抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）） 则，， 所以. 第3步：求出平面的一个法向量 设平面的法向量为，由， 得，取， 第4步：利用向量的夹角公式求结果 ，易知，则，（提示：线面角的正弦值是该直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值） 所以. 解法二第2步：根据定义作出线面角 如图，过点作的垂线，垂足为，连接.（关键：求斜线与平面所成的角的关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一，点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直的性质来确定垂足的位置） 易知，因为平面平面， 所以. 又平面平面，所以平面， 所以平面平面，且平面平面，故易得平面，故真线与平面所成的角（题眼） 第3步：解直角三角形求结果 在直角三角形中，，所以. 因为平面平面，所以，又，所以. 在直角三角形中，，所以.（12分）在直角三角形中，，所以. 16.独立性检验+离散型随机变量的期望与方差+二项分布与超几何分布 解：（1）第1步：补全列联表完成列联表如下. 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 第2步：根据公式求的值 零假设为：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关.根据列联表中的数据计算，得 . 第3步：对照临界表得结论 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. （2）第1步：判断服从二项分布 因为学校总的学生人数远大于所抽取的学生人数，故近似服从二项分布，随机抽取1名学生为“极度缺乏锻炼”者的概率，则， 第2步：根据公式求出期望与方差 故， .（提示：若，则， （3）第1步：根据超几何分布求出相应概率由题意可知，10名“运动爱好者”中有7名男生，3名女生，服丛超几何分布，（题眼） 则 ， 第2步：列分布列 故所求分布列为 0 1 2 3 第3步：求数学期望 （另解：） 17，根据递推关系求数列的通项公式+等差数列的定义及通项公式+等差数列的前项和公式+根据不等式恒成立求参数的取值范围 解：（1）第1步：根据与之间的关系，结合已知递推关系证数列的奇数项与偶数项分别成等差数列 由题意，，当时，， 两式相减得. 因为，故， 所以及均为公差为4的等差数列. 第2步：由递推关系求 当时，由及，得， 第3步：根据等差数列的通项公式求 所以， ， 所以. （2）第1步：根据等差数列的前项和公式转化不等式 由（1）及已知，得， 所以对任意恒成立. 第2步：构造数列，利用数列的增减性求出新数列的最大值 设，则.（题眼） 当，即时，；（提酷：数列是一种特珠的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值）当，即时，. 所以， 故， 第3步：求实数的取值范围 所以实数的取值范围是. 18.直线与抛物线的位置关系 解：易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，（方法技坅：如果直线很显然不与轴平行或重合，但有可能与轴垂直时，可设直线方程为，避免讨论）， 由，得， .（易错警示：在处理直线与圖锥曲线的相交问题中，易忽略判别式的作用） （1）第1步：利用导数的几何意义求出直线的方程，得点的坐标 不妨设在第一象限，在第四象限， 由，得， ， 的斜率为， 的方程为，即，（二级结论：点是抛物线上一点，过点作拋物线的切线，切线方程为令，得，即. 第2步：求点的坐标 直线的方程为， 令，得，即. 第3步：利用向量知识证结论 又， 即，得证. （2）解法一第1步：求点的纵坐标 由（1）知的垂线的方程为， 即， 由，得的纵坐标.（题眼） 第2步：根据四点共线转化所证等式 四点共线，要证明， 只需证明（*）.（关键：根据四点共线将所证问题转化为证明点的坐标间的关系） 第3步：利用根与系数的关系化简证得结论 式成立， 即，得证. 解法二第1步：由轴得相关线段比连接，由（1）知，，则与轴平行， ① 第2步：由得相关线段比连接，则的斜率为， 易知的垂线的斜率为， 则与平行， ② 第3步：证结论 由①②得， 即，得证. 19.不等式的证明+导数的几何意义+根据不等式恒成立求参数的取值范围 解：（1）第1步：在曲线上取一点作曲线的切线 在曲线上取一点 过点作曲线的切线，分别交于， 第2步：根据面积关系证明不等式 因为.所以. ， 即. （2）（i）解法一第1步：利用导数的几何意义求两条切线的方程 由题意得， 不妨设，则曲线在点处的切线，即，（方法技项：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程为） 同理可得，曲线在点处的切线. 第2步：利用反证法求的等量关系 假设与重合，（方法技巧：当用直接证法证明比较困难，尤其是证两条直线是异面直线或重合关系时，常采用反证法）则，化简可得， 两式消去可得，得.（题眼） 第3步：利用（1）中结论证结论 由（1）的结论知，与上式矛盾， 所以对任意两个不相等的正数，曲线在点，和点处的切线均不重合. 解法二前面解法同解法一，得到， 即. 设，（方法技巧：换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）元，通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的），则，所以在上单调递增，所以，与矛盾. 所以对任意两个不相等的正数，曲线在点，和点处的切线均不重合. （ii）第1步：构造函数，取特殊值求出的取值范围 由题意，当时，不等式恒成立，设，则在，）上恒成立，（方法枝巧；作差构造法是处理导数问题的最基本､最常用的方法之一.此法一般构造函数，进而转化为求函数（或），即求函数的最值问题） 所以，得，即.（方法技巧：先探求必要条件，再验证充分性，这种方法指对某些“含参恒成立”问题，可以尝试通过取函数定义域中某一个或多个数，得到一个必要条件，再验证其充分性.当然，用这种先探必要条件的方法求出来的参数范围不一定就是实际范围，但是可以框定大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度上可以減少分类讨论的类别.对于恒成立求参数范围问题，若其他方法不好使，不妨尝试一下）第2步：利用放缩法转化不等式 下证：当时，在上恒成立. 因为，所以. 第3步：构造函数，利用导数研究新函数的单调性，求出最值证结论 设，则. ①当时，由知恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，. ②当时，设， 则. 当时，，则在 上恒成立， 所以在上单调递增. 所以当时，，所以在上单调递减， 所以当时，. 综上所述，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$