精品解析：四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

成都市盐道街中学2024~2025学年（上）半期考试 高2023级 数学 科试题 命题人：冯鑫怡 审题人：周碧贞 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，故倾斜角为. 故选：D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法运算求出，再由可求出，即可得出答案. 【详解】因为，，则， 由可得：，解得：， 则. 故选：C. 3. 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 4. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 5. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系后计算即可得. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，， ∴， ，. 故选：B． 6. “直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可． 【详解】若直线与平行， 易得:，故：， 则 得不到，故不是充分条件； 反之，当时成立，故直线与平行，是必要条件； 故“直线与平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 7. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意过的圆心为，则，再根据“1”的妙用，即可得解. 【详解】整理圆的方程得，可知圆心坐标为 由题意可知：直线过圆心，即，可得， 则 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故选：C. 8. 如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案. 【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接 与直线分别交于，连接，分别与直线交于， 由题意，在线段之间即可， 又，直线的方程为，设，则 ，解得，所以， 同理可得关于直线对称的点，所以直线：， 又直线方程为：，所以， 所以直线方程为：， 即，由，得，所以， 又易得方程为：，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难度的题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，如果正确选项为2个，选对一个得3分；如果正确选项为3个，选对一个得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意两个事件A和B，都有 B. 扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为 C. 甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D. 若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项由概率的加法公式判断；B选项由古典概型的计算来判断；C选项由分层抽样的性质判断；D选项由方差的性质判断. 【详解】A选项：只有事件A和B是互斥事件时，才有，故A选项错误； B选项：扔两枚相同的硬币，由古典概型得一正一反的概率为，故B选项错误； C选项：设样本容量为，则有，得，C选项正确； D选项：因为，所以当时，，D选项正确. 故选：CD. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确； 对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 对于D，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：ABD. 11. 已知四面体的所有棱长都为1，分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. 的长为 B. 到平面的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 当线段最长时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，将四面体补形并建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式判断A，利用空间向量法的点面距离公式判断B，利用空间向量法求异面直线所成角判断D，利用空间向量数量积的运算律，结合内切球半径的求法判断C. 【详解】依题意，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图， 因为四面体的所有棱长都为1，则正方体的棱长为， 则， 又分别是的中点，则， 对于A，，故A错误； 对于B，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 故平面的法向量为， 所以到平面的距离为，故B正确； 对于C，， 所以，故C正确. 对于D，设是四面体内切球的球心，其半径为，则， 当线段最长时，为内切球的直径，是的中点，则， 所以， 因为该四面体的体积为， 表面积为，所以，解得， 则， 因为是该四面体表面上的动点，当为正四体的顶点时，最大， 其最大值为， 所以的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，从而得解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，则在方向上投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，, 所以在方向上的投影向量为. 故答案：. 13. 已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式计算即可. 【详解】由题意，2次所得分数之和为3分， 则第1次取出红球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出红球, 由于有放回抽取，两次抽取为相互独立事件， 其概率为. 故答案为： 14. 已知方程：，，当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为________；若，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将方程：化为：，将代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程. 【详解】方程：，可化为：， 当时，方程表示圆：，可知圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 可知圆上的点到直线的最大距离为， 所以曲线上的点到直线的最大距离即为圆上的点到直线的最大距离； 当时，， 所以当时，圆面积最小， 此时圆方程为：，即，圆心为， 因为，可知均在以为直径的圆上， 设，则的中点为，， 所以为直径的圆方程为，即， 两圆方程相减即得所在的直线方程为. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）根据频率分布直方图估计这50名男生身高的第85百分位数（精确到0.1）； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率； （2）根据频率分布直方图求百分位数； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 故第七组的频率为 【小问2详解】 由直方图得，各组频率依次为，，，，，，，， 因为， 设第85百分位数为， 则，解得， 所以这所学校的800名男生的身高的第85百分位数为. 【小问3详解】 第六组的人数为，设为， 第八组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有共有15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件包含的基本事件为共7种情况. 所以. 18. 已知圆，点，为坐标原点. （1）若，求圆过点的切线方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）若圆上存在点，满足，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得. （3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，圆的圆心，半径， 而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为， 则，解得或， 所以所求切线方程为或. 【小问2详解】 由消去得，， 设，则， 由，得，则， 整理得，则，即，解得，满足， 所以. 【小问3详解】 设点，由，得， 整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 依题意，圆与圆有公共点，即，则， 整理得，解得， 所以的取值范围是. 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量． （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）的一个方向向量；的一个方向向量（答案不唯一，符合题意即可） （2） （3）的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得直线的方向向量； （2）由直线方程可得两直线经过的点及方向向量，利用两方向向量求得平面的法向量，结合点与法向量可得平面方程； （3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面与坐标轴的交点坐标作出图形，结合几何体的对称性求解体积；利用向量夹角求解面面角可得. 【小问1详解】 因为直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量； 直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量. 【小问2详解】 由题意可知：直线过点，且其一个方向向量为， 直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以平面的方程为，即. 【小问3详解】 由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点，，如图所示， 可知四边形为正方形， 边长， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为， 则， 所以多面体的体积为. 由集合中所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程. 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以. 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为. 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市盐道街中学2024~2025学年（上）半期考试 高2023级 数学 科试题 命题人：冯鑫怡 审题人：周碧贞 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 4 3. 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. “直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，如果正确选项为2个，选对一个得3分；如果正确选项为3个，选对一个得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意两个事件A和B，都有 B. 扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为 C. 甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D. 若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 11. 已知四面体的所有棱长都为1，分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. 的长为 B. 到平面的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 当线段最长时，的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，则在方向上投影向量的坐标为__________. 13. 已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是______. 14. 已知方程：，，当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为________；若，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）根据频率分布直方图估计这50名男生身高的第85百分位数（精确到0.1）； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 18. 已知圆，点，为坐标原点. （1）若，求圆过点的切线方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）若圆上存在点，满足，求的取值范围. 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量． （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $