精品解析：福建省漳州市华侨中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

T漳州市华侨中学2024~2025学年上学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：初三备课组 审题：初三备课组 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形 D. 对角线互相垂直的矩形 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①； ②方程一定有一个根在和之间； ③方程定有两个不相等的实数根； ④； ⑤对于任意实数，都有．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 方程的解是______． 12. 一个菱形的两条对角线的长分别为3和6，这个菱形的面积是______． 13. 已知是二次函数，则m的值为______． 14. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式是_______． 15. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 16. 如图（1），正方形的对角线相交于点，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图（2）所示，图中的值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程． （1）； （2）． 18. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 19. 已知二次函数． （1）下表中值为_____． … 0 1 2 3 … … 2 m 2 … （2）根据上表，画出这个二次函数的图象． （3）根据表格、图象，当时，可得函数的取值范围是_____． 20. 如图，在中， （1）作以为对角线的菱形，且点在上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，若，求菱形的边长． 21. 某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，且墙长为，另外三边用长为30的篱笆围成．设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的最大值． 22. 关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求的值． 23. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率． （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？ 24. 如图，在中，，点D为直线上一个动点，（点D不要B，C重合），以为边在的上边作正方形，连接． （1）观察猜想：如图1，当点D在线段上时，①与的位置关系为_____；②之间的数量关系为_____． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，以上①、②关系是否成立？若成立去，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若，，求出的长． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ T漳州市华侨中学2024~2025学年上学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：初三备课组 审题：初三备课组 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，含有3次项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项”是解题的关键．根据一元二次方程一般式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴二次项系数是，一次项系数是3，常数项是． 故选：A． 3. 下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形 D. 对角线互相垂直的矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误； B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项D错误． 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质即可进行解答． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标是． 5. 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等． 先判断四边形是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形为矩形， 而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故D正确， 故选：D． 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， 整理得：， 配方得：，即． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知项移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解． 7. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=x2+2x的顶点坐标为（-1，-1），它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数y=x2+2x=（x+1）2-1， ∴开口向上，顶点为（-1，-1），且经过原点． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 8. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 9. 定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算化简得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程的根的情况． 【详解】解：根据题意得， 化简得， ， 方程无实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①； ②方程一定有一个根在和之间； ③方程定有两个不相等的实数根； ④； ⑤对于任意实数，都有．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，． 故⑤正确； 综上，①③⑤正确，共3个． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，进行因式分解，再进行计算即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 12. 一个菱形的两条对角线的长分别为3和6，这个菱形的面积是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据菱形面积的计算公式：两对角线乘积的一半，即可计算出面积． 【详解】 故答案为：9． 【点睛】本题考查了菱形的性质及面积计算，关键是掌握菱形面积等于两对角线乘积的一半． 13. 已知是二次函数，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．掌握形如的函数，是二次函数，是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：1． 14. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】函数向右平移2个单位，得：； 再向上平移1个单位，得：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 15. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 16. 如图（1），正方形的对角线相交于点，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图（2）所示，图中的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键． 当点与点重合时，可得；当点与点重合时，可得．在中，求解即可． 【详解】解：当点与点重合时，如图： ∵四边形是正方形， ， 此时，点与点重合， ． 当点与点重合时，如图： ∵四边形是正方形， ， 此时，点与点重合， 结合图2可知：， 设， ∵点为的中点， ， 在中，， 解得：（舍去）， ，即， 故答案为：1． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用提取公因式法进行求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 18. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】略 19. 已知二次函数． （1）下表中值为_____． … 0 1 2 3 … … 2 m 2 … （2）根据上表，画出这个二次函数的图象． （3）根据表格、图象，当时，可得函数的取值范围是_____． 【答案】（1） （2） 根据上表，二次函数的图象为： （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质，掌握数形结合的应用． （1）把所给表格x的值代入到解析式中，计算求出的值即可； （2）根据表格描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：根据表格、图象，当时，， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：． 20. 如图，在中， （1）作以为对角线的菱形，且点在上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，若，求菱形的边长． 【答案】（1） 四边形为所求作的四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，交于点，在上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形； （2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为所求作的四边形， ∴， ∵，， ∴即， 解得， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 21. 某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，且墙长为，另外三边用长为30的篱笆围成．设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的最大值． 【答案】（1）； （2）108． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是列出函数解析式并求出自变量的取值范围． （1）根据题意可以写出y与x的函数关系式即可； （2）根据墙长，可以求得x的取值范围，然后根据（1）中的函数关系式和函数的性质即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意，得， 与的函数关系式是． 【小问2详解】 解：配方，得． 由题意，得． 解得 时，函数值随自变量的增大而减小． 当时，取得最大值，最大值为108． 22. 关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 对于方程， 可得， ∴， 解得：． 23. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率． （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该商品连续两次下降的百分率为 （2）每件商品应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键； （1）设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可； （2）设每件商品应降价元，根据每天要想获得512元的利润，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得， (不合题意，舍去)， 答：该商品连续两次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得 解得 答：每件商品应降价2元． 24. 如图，在中，，点D为直线上一个动点，（点D不要B，C重合），以为边在的上边作正方形，连接． （1）观察猜想：如图1，当点D在线段上时，①与的位置关系为_____；②之间的数量关系为_____． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，以上①、②关系是否成立？若成立去，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若，，求出的长． 【答案】 （1）①， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 又中， ， ， 故答案为；； （2）①成立，②不成立，正确的结论为． 理由：①， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， 又中，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①证出，由证明，得出，证出，即可得出结论；②由全等三角形的性质得出，证出即可； （2）①证出，由证明，得出，证出，得出，即可得出结论；②由全等三角形的性质得出，证出即可； （3）连接，由证明，得出，证出，得出，在中，由勾股定理得出，在中，得出，同理，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，连接， 由题意得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，，， 在中， ， ， ， ∴在中，． 【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $