4.3.2 等比数列的通项公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第四章 数列 4.3.2　等比数列的通项公式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解等比数列的通项公式的意义． 2.掌握等比数列的通项公式． 3.能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应 的问题． 设{a}是首项为2,公比为3的等比数列,则 a2=2x3, a3=2x3x3=2x3² a4=2x3²x3=2x3³ …… 你能写出第n项an吗? 一般地,对于等比数列(an}的第n项an,有 这就是等比数列(an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比. an=a1qn－1（n∈N+） 新知探究 证明：因为{an}是等比数列，所以当，有 将上面n－1等式左右两边分别相乘，得： 即 所以 an=a1qn－1． 当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等比数列{an}通项公式为： an=a1qn－1（n∈N+） 5 例4.在等比数列{an}中． (1)已知a1=3，q=-2，求a6； (2)已知a3=20，a6=160，求an． 【解析】解：(1)a1=3，q=-2，∴a6=a1q5=3×(-2)5=-96， (2)∵a3=20，a6=160，∴a6=a3q3，∴160=20×q3， 即q3=8=23，∴q=2， ∴an=a3×qn-3=20×2n-3=5×2n-1． 课本例题 6 例5.在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列． 【解析】解：设插入的3个数为a2，a3，a4， 由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列， 设公比为q,则3=243q5-1，解得 ， 因此所求3个数为81，27，9或-81，27，-9． 课本例题 7 例6.已知等比数列{an}的通项公式为an=3×2n-3，求首项a1和公比q. 【解析】解：∵等比数列{an}的通项公式为an=3×2n-3， ∴ = ， a2=3×2-1= ， ∴q= = =2． 课本例题 8 在例６中，等比数列的通项公式 是一个常数与指数式的乘积．从图象上看，表示这个数 列的各点均在函数y的图象上． 思考：如果一个数列{}的通项公式为 an=aqn,其中a,q都是不为 0的常数,那么这个数列一定是等比数列吗? 9 1.求下列等比数列的公比、第5项和第n项： (1)2，6，18，54，…； (2)7， ， ， …； (3)0.3，-0.09，0.027，-0.0081，…； (4)5，5c+1，52c+1，53c+1，… 【解析】解：(1)由题意可得，公比q=3，a5=162， ； (2)由题意可得，公比q= ，a5= ，an=7 ； 课本练习 (3)由题意可得，公比q=-0.3，a5=-0.00243， =(-1)n-1×(0.3)n； (4))由题意可得，公比q=5c，a5=54c+1， =5nc-c+1 10 2.已知等比数列的公比为 ，第4项是 ，求前三项． 【解析】解：由题意可得， ， 解可得，a1= = ，a2= = ， ． 课本练习 11 3.在等比数列{an}中， (1)已知a1=-3，q=2，n=5，求an； (2)已知a1=1，q=2，an=16，求n； (3)已知a1= ，n=6，an=9，求q； (4)已知q=- ，n=4，an=-27，求a1． 【解析】解：(1) =-48； (2) =16，∴n=5； 课本练习 (3) =27，∴q= ， (4) =-27，∴a1= =8． 12 4.在等比数列{an}中， (1)已知a5=8，a8=1，求a1和q； (2)已知a3=2，q=-1，求a15； (3)已知a4=12，a8=6，求a12． 【解析】解：(1)由等比数列的性质可知， = ， 所以q= ， = =128； (2)∵a3=2，q=-1，∴a15= =2． (3)由 = ，∴a12= =6× =3． 课本练习 13 5.三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于-3，求这三个数． 【解析】解：∵三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于-3， 设这3个数为 ， ∴ ， 解得a=2，q=-2或a=2，q=- ， ∴这3个数分别为-1，2，-4或-4，2，-1． 课本练习 14 6.如图，在边长为1 的等边三角形ABC中，连结各边中点得△A1B1C1，再连结△A1B1C1的各边中点得△A2B2C2…如此继续下去，试证明数列S△ABC， ， ，…是等比数列． 【解析】证明：由题意，三角形AnBnCn的边长构成首项为1，公比为 的等比数列， 所以 ，所以 ， 所以 = ． 所以数列S△ABC， ， ，…是等比数列． 课本练习 15 解析：因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 典例剖析 题型1　等比数列通项公式的应用 例1　在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求an； 解析：方法一　由已知可得 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 等比数列中求an的2种常用方法 归纳总结 例2　某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) (1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由； 题型2　等比数列的实际应用 典例剖析 解析：由题意，得b1＝＝0.65 g/ml， a1＝＝1.55 g/ml. 当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)， an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)， ∴an－bn＝(an－1－bn－1)， ∴等比数列{an－bn}的公比为， 其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9， ∴an－bn＝0.9·. 解析：由题意可知，问题转化为解不等式0.9·<10－2， ∴n>1＋≈7.49， ∴至少要操作8次才能达到要求． (2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？ 归纳总结 解等比数列应用题的一般步骤 错因分析 易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错 例3　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　) A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．－27 解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9. B 【易错警示】 出错原因：没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错选A. 纠错心得：在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． 解此类题时要小心谨慎，以防上当． 错因分析 （ ） D 随堂检测 25 2.在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3等于（ ） A.20 　　　　B.12 　　　　C.8 　　　　D.4 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C C 4.在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为______，通项公式为an＝___________. (－2)n或－2n ±2 5.若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝____. 1 6.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝_____. 2n＋2 63 7.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售额构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1(1－x)， a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32， 解得x＝50%. 设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 8.(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； 设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 由an＝a1·qn－1， (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. ∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列通项公式的基本运算. (2)等比数列的应用. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列. 1.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.(－1)nn－1 D.(－1)n＋1n－1 由已知得 解得 ∵q>0，∴q＝， ∴an＝128×n－1＝. 得＝×n－1， (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； 即n－1＝3，解得n＝4. $$