精品解析：上海市部分学校2024-2025学年上学期九年级数学月考测试卷

初三年级11月份阶段性测试 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点、分别是的边、上，，且，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 1 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 4. 已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（ ） A. 向量与方向相同，且向量与方向相同 B. 向量与方向相同，且向量与方向相同 C. 向量与方向相反，且向量与方向相反 D. 向量与方向相反，且向量与方向相反 5. 如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，则 C. 连接，则 D. 连接，则 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，，那么________． 8. 线段上有一点，那么_______． 9. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 10. 如果轮船甲位于轮船乙的北偏东方向，那么轮船乙位于轮船甲的________．（注明方向） 11. 某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，则该山坡的坡度________． 12. 已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 13. 已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为________． 14. 平面直角坐标系中，已知点、、，设，那么向量_____．（用向量、表示） 15. 已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则_____． 16. 如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则________________．（结果保留根号） 17. 如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________． 18. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是_____． 三、解答题：（本大题共7题，满分78） 19. 计算：． 20. 如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝． （1）设＝，＝，用向量、表示向量＝　 　，＝　 　． （2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）当为何值时，的值最大?最大值是多少? 22. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 23. 已知如图，在中，点在边上，是角平分线交于点． （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． （1）求点、点的坐标及抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点．且．求点坐标． 25. 如图，在中，，，，是边上一个动点（不与点、重合），，垂足为，交边于点． （1）当点是边中点时，求的值； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）当与相似时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级11月份阶段性测试 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，对应角相等，对应线段成比例，面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选项A，B，D不符合题意； 不一定相等，故选项C符合题意； 故选C． 2. 已知点、分别是的边、上，，且，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由可得,再证可得，则即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图：∵ ∴ ∵， ∴， ∴,即， ∴． 故选D． 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 4. 已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（ ） A. 向量与方向相同，且向量与方向相同 B. 向量与方向相同，且向量与方向相同 C. 向量与方向相反，且向量与方向相反 D. 向量与方向相反，且向量与方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图： 向量与方向相反，且向量与方向相反， 故选D． 5. 如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正弦的定义，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高，已知， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选C． 6. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，则 C. 连接，则 D. 连接，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则， 而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接， 由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点， 根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，，那么________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，则，然后代入求得n，进而求得a、b、c的值，最后代入计算即可；掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设，则，则，解得：； ∴， ∴． 故答案为6． 8. 线段上有一点，那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例线段，根据线段的和差关系以及比例线段的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵是线段上一点， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 故答案为： 9. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 10. 如果轮船甲位于轮船乙的北偏东方向，那么轮船乙位于轮船甲的________．（注明方向） 【答案】南偏西 【解析】 【分析】根据方位角的相对性进行解答即可；理解相对性是解题的关键． 【详解】解：∵轮船甲位于轮船乙的北偏东方向， ∴轮船乙位于轮船甲的南偏西． 故答案为：南偏西． 11. 某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，则该山坡的坡度________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度的定义，求出竖直距离与水平距离的比即可得． 【详解】解：由勾股定理得：米， 坡度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握勾股定理． 12. 已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 13. 已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为________． 【答案】或10##10或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的应用，分当点B在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况，分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可；清晰的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①如图：当点B在y轴的正半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：； ②如图：当点B在y轴的负半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为或10． 14. 平面直角坐标系中，已知点、、，设，那么向量_____．（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据题意，画出图形，得到，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：，， ∴； 故答案为：． 15. 已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，求正切；取点，求出与的长度，在中，求即可． 【详解】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 16. 如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则________________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于点， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：， 经检验不符合题意； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 17. 如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作交的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出为的中位线，进而求出，利用勾股定理求出AF，再证明，得出． 【详解】解：如图，连接，作交AB的延长线于点H． ∴ ∵四边形是边长为2的菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴，即点B为线段EH的中点， 又∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴, ∴，即是直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角是解题的关键． 18. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，两点间的距离公式，正确理解题目给出的定义是解答本题的关键．由题意得，只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，设点P的坐标为，求出点P到O点的距离，根据关联点的定义可知，，求解即可． 【详解】解：∵点P在直线上， ∴， ， ∵P为的关联点， ∴， ∴，同时平方得：， 整理得：， 当时，解得：，， 当时，解得：，， 如图： ∴P横坐标范围是或． 故答案为： 或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78） 19. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝． （1）设＝，＝，用向量、表示向量＝　 　，＝　 　． （2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可； （2）由可得AF//BC、，先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ． 故答案为：， 【小问2详解】 ∵ ∴AF//BC、 ∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE， ∵AD＝3，AF＝2DF， ∴AF＝2， ∴BC＝8， 在Rt△ABF中， BF＝＝2， 又∵， ∴△ABF∽△BCA， ∴∠ABF＝∠BCA， ∴△ABF∽△ECB， ∴， ∴， ∴BE＝． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、平面向量的线性运算，根据得到AF//BC、是解答本题的关键. 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； 【小问2详解】 ∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 已知如图，在中，点在边上，是角平分线交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2） ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）角平分线得到，三角形的内角和定理，得到，进而得到即可； （2）根据，得到，，推出，证明，得到，进而得到，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． （1）求点、点的坐标及抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】（1），，抛物线解析式为 （2）15 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式： （1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可； （2）根据列式计算即可； （3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 25. 如图，在中，，，，是边上一个动点（不与点、重合），，垂足为，交边于点． （1）当点是边中点时，求的值； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）当与相似时，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）当与相似时，线段的长是或3 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，然后利用正切的定义求解即可； （2）如图2，作辅助线，证明，列比例式可得， ，证明，可得结论； （3）分两种情况： ①当时，如图3，由，则； ②当时，如图4，证明，则，可得①，由（2）中得y与x的函数关系式，联立方程组可得x的值． 【小问1详解】 解：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过F作于N， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴与相似，要分两种情况： ①当时，如图3， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴， ②当时，如图4， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 设，， ∴， 即①， 由（2）知： ②， 由①②得： ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， 综上所述，当与相似时，线段的长是或3． 【点睛】此题是相似形的综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，动点问题，等腰直角三角形的判定，勾股定理，解本题的关键是利用相似找到相等关系，建立方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $