福建省福州市台江区福州第四中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

福州四中2024－2025学年第一学期高二期中考 数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 3 2. 已知向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为第二象限角﹐且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数的导函数为，若在上是减函数，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为 A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）. A. 样本在区间内的频数为18 B. 如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策 C. 样本的中位数小于350万元 D. 可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 10. 已知，点到直线：的垂足为，，，则（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ） A. 当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值 B. 若平面，则AQ的最小值为 C. 若的外心为M，则为定值2 D. 若，则点Q的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 在1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数记作，则满足有两个零点的概率是______． 13. 在直三棱柱中，是等边三角形，，在该三棱柱的外接球内随机取一点，则点在三棱柱内的概率为_____________. 14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为______． ①点C到平面的距离等于； ②与平面所成角的正弦值为； ③堑堵外接球的表面积为； ④堑堵没有内切球． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15小题12分，16小题16分，17小题15分，18小题17分，19小题17分） 15. (本题满分14分) 已知点是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE. （Ⅰ）求证：EO⊥平面AFC； （Ⅱ）试问在线段DF(不含端点)上是否存在一点R,使得CR∥平面ABF,若存在,请指出点R的位置；若不存在,请说明理由. 16. 已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求的值； （2）已知函数为上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面. （1）证明：； （2）若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 18. 如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，. （1）求证：平面平面； （2）若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值. 19. 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为. （1）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合及，； （2）求证：不可能为18； （3）求的最大值以及的最小值. 福州四中2024－2025学年第一学期高二期中考 数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15小题12分，16小题16分，17小题15分，18小题17分，19小题17分） 【15题答案】 【答案】（Ⅰ）证明： 连结FO，设AB=BF=2DE=2a，则DO=OB=a， 所以EO=a，FO=a，EF=3a。 在ΔEOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥OF…………（3分） 又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC， 所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO…………（5分） 由AC平面AFC，FO面AFC，AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC …………（7分） （Ⅱ）不存在，理由如下： 找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF                                 …………（9分） 假设存在这样的点R，使得CR∥平面ABF，因为点R与点D不重合，所以CD与CR相交，又CD∥平面ABF， CR∥平面ABF，CD 平面ABF，CR∥平面ABF， 所以平面CDF∥平面ABF                                                       …………（12分） 而平面ABF与平面CDF有公共点F，所以平面ABF与平面CDF必定相交矛盾， 所以，找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF                         …………（14分） 【16题答案】 【答案】（1）（2） 【17题答案】 【答案】（1） 在四棱台中, 延长后必交于一点，故共面， 因为平面,平面, 故, 连接，因为底面四边形为菱形，故, 平面, 故平面,因为平面, 所以； （2）5 【18题答案】 【答案】（1） 的中点为中点，，又，可得， 又直圆柱的上、下底面圆心分别为平面 平面. 且平面平面； 又因为平面，所以平面平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1），， （2） 假设， 设， 则， 即，因为，所以， 同理，设，可以推出， 中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立， 故， 所以不可能为18. （3）的最大值为17，的最小值为16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $