精品解析：广东五校2026-2027学年高三上学期第二次联考数学试卷

2026~2027学年第一学期五校联考（10月） 数学试卷 说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可. 【详解】∵，∴， 故选：C 2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 则，所以. 5. 甲、乙两人来到火锅店吃火锅，准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧和白开水4种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件A＝“甲选择唯怡豆奶”，事件B＝“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率P（B|A）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两人选择的所有可能，再求出事件的可能结果，进而求出在事件的条件下发生事件的结果，即可得出结果. 【详解】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧、白开水分别标号为， 则两人的选择结果有： ， ， 则事件的可能结果为：，共4个， 在事件的条件下发生事件的结果有，共3个， 所以. 故选：B. 6. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值和极值点处的导函数值为0列式求解，并代入检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得或， 若，则， 可知函数在定义域内单调递增，不存在极值，不符合题意； 若，则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极值，符合题意； 综上所述：，. 7. 已知数列满足：，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 8. 函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性与单调性转化不等式 【详解】由题， ，因为 ， 所以 ，即在R上单调递增， ， 所以为奇函数， 不等式 可转化为 ， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 是偶函数 D. 取得最小值时的取值集合为 【答案】ABD 【解析】 【详解】最小正周期为，故A正确； 由题意得，，则， 因为，所以，故B正确； ，则是奇函数，故C错误； 令，得，故D正确. 10. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的一个周期为4 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与函数的周期性，确定函数在某一区间的单调性及其对称关系. 【详解】因为，所以，即为奇函数， 所以函数的图象关于点中心对称，且， 因为为偶函数，所以，函数的图象关于直线轴对称， 即，即， 所以函数的一个周期为，所以正确； 因为，令，得，当时，，所以，即， 所以，所以，所以正确； 因为，函数的一个周期为，所以， 所以函数是上的偶函数， 当时，，是增函数，在上是减函数，所以上是减函数，所以错误； 因为，则， 又，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，所以错误. 11. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（ ） A. B. 面 C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，因为,所以；对于B，平面平面,故平面；对于C，因为平面，所以到面的距离为到面的距离；对于D，面积是,写出t的表达式，再求最小值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 在上，过点作交于设，则, 则 选项 A：, 因为,所以，A正确; 选项 B：在正方体中，因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面，同理可证∥平面， 因为，平面，所以平面平面 因为面，故平面，B正确; 选项 C：因为平面，所以到面的距离为到面的距离，设为 等边边长，， 因为，所以， 所以到面的距离为，C 错误； 选项 D： , 所以所以 所以面积是 当,D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 求值：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 13. 等比数列的前项和为，且，则_________． 【答案】306 【解析】 【分析】利用通项公式得到关于，的方程，求出，的值后，直接代入等比数列的求和公式中，求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以，解得：，所以 故答案为： 14. 已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据的解析式求出中的值，然后再求出的值. 【详解】当时， ，不符合题意； 当时， ， 即， 解得或. 当时， 若，，舍去； 若，， 解得或者； 当时 若， 解得； 若， ， 解得或. 计算得满足条件的实数有5个. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值，最小值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数确定单调性，进而求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值. 16. 如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， ∵是圆的直径，∴， ∵，、平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由平面可得，结合是圆的直径可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得平面平面； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，并分别求出平面与平面的法向量，借助空间向量夹角公式计算；法二：作于，作于，连接，借助线面垂直的判定定理与性质定理可得到为二面角的平面角，从而只需计算出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：如图，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则有，令，得， 设平面的法向量， 则有，令，得， 则，， 二面角的正弦值为. 法二：作于，作于，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，、平面，∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， ， ∵平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，∴， ， 则， 二面角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【小问1详解】 由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， . 18. 已知甲口袋有（，）个红球和2个白球，乙口袋有（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． （1）当，时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值. 【答案】（1）① ；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“正难则反”的原则结合独立事件的乘法公式计算求解；②列举随机变量的可能取值，计算对应概率后，再根据数学期望计算公式计算求解； （2）设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中，则，求导，根据导数计算可得最值. 【小问1详解】 ①易知小明从甲口袋中有放回摸出一个白球的概率为，从乙口袋中摸出一个白球的概率为， 设“小明4次摸球中，至少摸出一个白球”为事件，则“小明4次摸球都是红球”为事件， 则， 所以 ②的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由①得， ， ， ， ， 所以； 【小问2详解】 易知此时连续摸4次相当于4次独立重复性试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中， 则，， 所以当时，；当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则时，最大，此时，，解得． 故当时，概率最大．此时 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）若，则，利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）若对任意的恒成立，即,只需，利用导数研究函数的单调性，求出该函数的最大值，即可求解； （3）存在零点等价于与轴有交点，结合（2）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【小问1详解】 （1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期五校联考（10月） 数学试卷 说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人来到火锅店吃火锅，准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧和白开水4种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件A＝“甲选择唯怡豆奶”，事件B＝“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率P（B|A）＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知数列满足：，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 是偶函数 D. 取得最小值时的取值集合为 10. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的一个周期为4 11. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（ ） A. B. 面 C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 求值：__________. 13. 等比数列的前项和为，且，则_________． 14. 已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 16. 如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知甲口袋有（，）个红球和2个白球，乙口袋有（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． （1）当，时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $