精品解析：河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

河北省示范性高中高一年级期中质量检测联合测评 数学 班级__________ 姓名__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知幂函数在区间上单调递减，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 已知函数，若，则（ ） A. 2或-2或-1 B. 2或-1 C. 2或-2 D. -2 7. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若，则 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，且，则实数a的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 10. 下列结论中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. “关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3． D. 设x、y为正实数，且，则的最小值为6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________. 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________. 14. 已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，集合. （1）求集合； （2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. （1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 17. 设函数，. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知集合，实数满足. （1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A； （2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对. 19. 已知实数，函数，. （1）试判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. （3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省示范性高中高一年级期中质量检测联合测评 数学 班级__________ 姓名__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的概念进行求解. 【详解】. 故选：B 2. 以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可． 【详解】对于A，函数为奇函数，故选项A错误； 对于B，函数为偶函数，且在上, 单调递减，故选项B错误； 对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误； 对于D，函数为偶函数，且在上, 单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确． 故选：D 3. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】两函数的定义域和对应法则均相同，为同一函数，对四个选项一一作出判断，得到答案. 【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为， 两函数定义域不同，A错误； B选项，的定义域为， 的定义域为，定义域不同，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为R， 两函数定义域不同，C错误； D选项，令，解得，故的定义域为， 令，解得，故的定义域为， 又，故对应法则相同，故两函数为同一函数，D正确. 故选：D 4. 已知幂函数在区间上单调递减，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用幂函数的定义，得出，根据方程求出的值，然后再将的值代入函数解析式，检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的的值． 【详解】由于是幂函数， 所以，解得或. 当时，函数为，满足在上为减函数，符合题意； 当时，函数为，不满足在上为减函数，不符合题意． 故， 故选：A. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，两边同时除以得到；B选项，两边分别同时乘以和，得到；CD选项，同AB一样，由不等式性质进行推导. 【详解】A选项，因为，所以，两边同时除以得， ，A错误； B选项，因为，所以两边同时乘以得，两边同时乘以得， 故，B错误； C选项，因为，，则，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，所以，D错误. 故选：C 6. 已知函数，若，则（ ） A. 2或-2或-1 B. 2或-1 C. 2或-2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，代入得到方程，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】若，则，解得或2（舍去）， 若，则，解得（舍去）， 综上，. 故选：D 7. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数以及幂函数的单调结合分段函数的性质和题设列出关于a的不等式组即可计算求解. 【详解】由题，对于函数，当时， 所以若函数是R上的增函数， 则. 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，将条件变形后，由定义法得到在上单调递增，结合的图象关于y轴对称，求出有最小值，A错误；B选项，在上单调递减，B错误；C选项，的图象关于直线对称，C错误；D选项，先得到，由在上单调递增得到D正确. 【详解】A选项，，且，都有， 即， 故在上单调递增， 又的图象关于y轴对称，故在上单调递减， 故有最小值，A错误； B选项，在上单调递减，故，B错误； C选项，由平移法则知的图象关于直线对称，C错误； D选项，若，则， 当，则， 当，则， 综上，， 又在上单调递增， 故，D正确. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，且，则实数a的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【详解】， 因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，，解得， 综上，或2或. 故选：ACD 10. 下列结论中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. “关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，解方程得到或0，A错误；B选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；C选项，解不等式得到或，C错误；D选项，由根的判别式得到不等式，求出，由得到D正确. 【详解】A选项，，解得或0， 故“”是“”的充分不必要条件，A错误； B选项，命题“，”的否定为“，”，B正确； C选项，，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件，C错误； D选项，由题意得，解得， 由于， 故“关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是，D正确. 故选：BD 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3． D. 设x、y为正实数，且，则的最小值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式直接进行求解；对于B，分离常数后直接利用基本不等式计算求解即可；对于C，根据基本不等式“1”的妙用方法计算即可；对于D，先表达出，从而得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以则函数的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 则的最小值为，故B正确； 对于C，因为正数x、y满足， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为3，故C正确； 对于D，因为x、y为正实数，且， 所以，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得． 【详解】若函数的定义域是，则函数需要满足： 则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________. 【答案】或. 【解析】 【分析】先求出时的解析式且，分，和，解不等式，求出答案. 【详解】当时，，故， 因为是定义在上的奇函数， 所以，故，所以， ，满足， 当时，令，解得，故， 当时，令，解得或，故， 综上，的解集为或. 故答案为：或. 14. 已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 故答案为：或 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，集合. （1）求集合； （2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案； （2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 等价于，解得或， 故或，， 而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由是的充分不必要条件，故为的真子集， 又， 故，解得， 故实数a的取值范围是. 16. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. （1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 【答案】（1），； （2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 【解析】 【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案. 【小问1详解】 长方体蓄水池的底面面积为， 长方体底面的另一条边长为m， 故，； 【小问2详解】 ，故由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时m， 故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 17. 设函数，. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. 已知集合，实数满足. （1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A； （2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案； （2）先求出，得到，分和，结合根的判别式得到满足的条件，求出所有满足条件的有序数对. 【小问1详解】 随着的增大而增大， 又，故集合中最小的三个元素依次为 ， 故； 【小问2详解】 ， 当时，或1，当时，与元素互异性矛盾，舍去，满足要求， 当时，或2，两者均满足要求， 当时，（舍去）， 综上，， ， ，关于x的方程有实数解， 当时，，解得，满足要求， 故均可，满足条件的有序数对有， 当，需满足，即， 若，则，满足条件的有序数对有， 若，则，满足条件的有序数对有， 若，则，满足条件的有序数对有， 若，则，满足条件的有序数对有， 综上，满足条件的有序数对有， . 19. 已知实数，函数，. （1）试判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. （3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 【答案】（1）偶函数 （2）证明见解析，函数在上是增函数 （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性； （3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值. 【小问1详解】 因为实数，函数，， 则，其中， ，则函数为偶函数. 【小问2详解】 因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 函数在上也为增函数，理由如下： 因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数. 【小问3详解】 当时，，， 则， 因为，当时，，即， 当时，，即， 故当时，， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $