上学期期末真题优选卷(2)-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·87　 · ∴ BD=BC-CD= (12 3 -12)千米. 在 Rt△BDE 中,∠ABC= 30°, ∴ DE= 1 2 BD= (6 3 -6)千米. ∴ 输油管道的最短长度为(6 3 -6)千米. 21.解:(1)设一次函数的解析式为 y= kx+b(k≠0) . 依题意,得 180k+b= 100, 260k+b= 60.{ 解得 k= - 1 2 , b= 190. ì î í ïï ïï ∴ y 与 x 之间的函数解析式为 y = - 1 2 x+190(180≤x≤ 300) . (2)设房价为 x(180≤x≤300)元时,宾馆当日利润为 w 元. 依题意, 得 w= - 1 2 x+190( ) (x-100) -60× 100- - 12 x+190( ) é ë êê ù û úú = - 1 2 x2 +210x-13 600 = - 1 2 (x-210) 2 +8 450. ∴ 当 x= 210 时,w 取最大值,最大值为 8 450. ∴ 当房价为 210 元时,宾馆当日利润最大,最大利润为 8 450 元. 22. (1)证明:∵ 圆心 O 在 BC 上, ∴ BC 是☉O 的直径. ∴ ∠BAC= 90°. 如图,连接 OD. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAC= 2∠DAC. ∵ ∠DOC= 2∠DAC, ∴ ∠DOC= ∠BAC= 90°,即 OD⊥BC. ∵ PD∥BC,∴ OD⊥PD. ∵ OD 为☉O 的半径, ∴ PD 是☉O 的切线. (2)解:∵ PD∥BC,∴ ∠P= ∠ABC. ∵ ∠ABC= ∠ADC,∴ ∠P= ∠ADC. ∵ ∠PBD+∠ABD= 180°,∠ACD+∠ABD= 180°, ∴ ∠PBD= ∠ACD. ∴ △PBD∽△DCA. ∵ △ABC 为直角三角形, ∴ BC2 =AB2 +AC2 = 32 +42 = 25. ∴ BC= 5. ∵ PD∥BC,OD⊥PD, ∴ OD⊥BC. ∴ OD 垂直平分 BC. ∴ DB=DC. ∵ BC 为☉O 的直径,∴ ∠BDC= 90°. 在 Rt△DBC 中,DB2 +DC2 =BC2,即 2DC2 =BC2 = 25, ∴ DC=DB= 5 2 2 . ∵ △PBD∽△DCA,∴ PB DC =BD CA . ∴ PB=DC·BD CA = 5 2 2 ×5 2 2 4 = 25 8 . 23.解:【观察填空】①∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB =AC = BC,∠BAC= ∠ACB= ∠ABC= 60°. ∵ 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60°得到线段 CE, ∴ CE=CD,∠DCE= 60°. ∴ △DCE 是等边三角形. ∴ DE=CE=CD,∠DCE= 60°. ∵ ∠ACD+∠DCB= 60°,∠BCE+∠DCB= 60°, ∴ ∠ACD= ∠BCE. ∴ △ACD≌△BCE(SAS) . ∴ 与△ACD 全等的三角形是△BCE. 故答案为△BCE. ②∵ △ACD≌△BCE, ∴ ∠EBC= ∠DAC. ∵ ∠DAC+∠BAD= ∠BAC= 60°, ∴ ∠PBC+∠BAD= 60°,即∠PBC+∠BAP= 60°. ∴ ∠APB= 180°-(∠ABC+∠PBC+∠BAP) = 180°-60°-60° = 60°. 故答案为 60°. 【猜想证明】PD+PE=PC. 理由如下: 如图,在 PC 上取一点 H, 使得 EP=EH,连接 EH. ∵ ∠APB= 60°,∴ ∠DPE= 120°. ∴ ∠DPE+∠DCE= 180°. ∴ C,D,P,E 四点共圆. ∴ ∠CPE= ∠CDE= 60°. ∵ EP=EH,∴ △EPH 是等边三角形. ∴ PH=EP=EH,∠PEH= ∠DEC= 60°. ∵ ∠PEH= ∠PED+∠DEH,∠DEC= ∠HEC+∠DEH, ∴ ∠PED= ∠HEC. ∵ EP=EH,ED=EC, ∴ △PED≌△HEC(SAS) . ∴ PD=CH. ∴ PC=PH+CH=PE+PD. 【拓展应用】如题图 2 中,∵ AC= 4,AD= 2, ∴ 4-2≤CD≤4+2. ∴ 2≤CD≤6. 由【观察填空】可知 EC=CD, ∴ EC 的最大值为 6. ∴ 当点 D 在 CA 的延长线上时,CE 取最大值 6. 24.解:(1)根据题意,得抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x- 3)= a(x2 -2x-3) . ∵ 抛物线 y=ax2 +bx+3(a≠0)与 y 轴交于点 C, ∴ 点 C(0,3) . 将点 C ( 0, 3) 代入抛物线解析式,得 - 3a = 3,解得 a= -1. ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3. (2)设点 P 的坐标为(m,-m2 +2m+3),点 Q 的坐标为 (x,0) . 当 BC 或 BP 为对角线时,由中点坐标公式,得 3 = -m2 + 2m+3. 解得 m= 0(不符合题意,舍去)或 2. ∴ 点 P 的坐标为 (2,3); 当 BQ 为对角线时,同理可得 0 = -m2 +2m+3+3,解得 m= 1± 7 . ∴ 点 P 的坐标为(1+ 7 ,-3)或(1- 7 ,-3) . 综上所述, 点 P 的坐标为 ( 2, 3) 或 ( 1 + 7 , - 3) 或 (1- 7 ,-3) . (3)直线 GH 过点(1,3),故设直线 GH 的解析式为 y = k(x-1) +3(k≠0) . 设点 G,H 的坐标分别为(m,-m2+2m+3),(n,-n2+2n+3). 联立 y=k(x-1)+3 和 y= -x2 +2x+3,整理,得 x2 +(k-2)x- k=0, ∴ m+n= 2-k,mn= -k. ∵ y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4, ∴ 点 D(1,4) . 由点 G,D 的坐标,得直线 GD 的解析式为 y = - (m- 1)·(x-1) +4. 令 y= 0,得 x= 1+ 4 m-1 ,即点 M 1+ 4 m-1 ,0( ) . ∴ EM= 1-1- 4 m-1 = - 4 m-1 . 同理可得 EN= 4 n-1 . ∴ EM · EN = - 4 m-1 · 4 n-1 = - 16 (m-1)(n-1) = -16 mn-(m+n) +1 = -16 -k+k-2+1 = 16. 第一学期期末真题优选卷(二) 1. D　 2. B　 3. B　 4. A　 5. D　 6. C　 7. B　 8. A　 【解析】如图,过点 A 作 AM⊥BC,垂足为 M. 在 Rt△ABM 中,∵ tan∠ABC = AM BM = 1 2 ,∴ 设 AM = x,则 BM= 2x. 又∵ AB= 3 5 ,∴ x2 +(2x) 2 =(3 5 ) 2 . 解得 x= 3(负值舍去) . ∴ AM= 3,BM= 6. 又∵ ∠ACB= 45°,∴ ∠MAC= 90°-45° = 45°. ∴ ∠ACB= ∠MAC. ∴ CM=AM= 3. ∴ BC=BM+CM= 9. 故选 A. 9. D　 【解析】∵ AB= 8,BC= 17,CA= 15, ∴ AB2 +CA2 =BC2 . ∴ △ABC 为直角三角形,∠A= 90°. ∵ AB,AC 与☉O 分别相切于点 F,E, ∴ OF⊥AB,OE⊥AC. ∴ 四边形 AEOF 为矩形. ∵ OE=OF, ∴ 四边形 AEOF 为正方形. 设 OE= r,则 AE=AF= r. ∵ △ABC 的内切圆☉O 与 BC,CA,AB 分别相切于点 D, E,F, ∴ BD=BF= 8-r,CD=CE= 15-r. ∴ 8-r+15-r= 17. ∴ r= 3. ∴ 阴影部分 (即四边形 AEOF) 的面积为 3 × 3 = 9. 故 选 D. 10. B　 【解析】∵ 图象开口向上,∴ a>0. ∵ 对称轴为直线 x= -1,∴ - b 2a = -1. ∴ b= 2a>0. ∵ 图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴,∴ c<0. ∴ abc<0. ①错误; 由图象可知抛物线与 x 轴有两个交点, ∴ Δ= b2 -4ac>0. ②正确; 由图象可知,抛物线与 x 轴的另一个交点为(-3,0),当 x= -3 时,y= 0, ∴ 9a-3b+c= 0. ③正确; ∵ a+b+c= 0,b= 2a. ∴ 3a+c= 0. ∴ c= -3a. ∵ 9a-3b+c= 0,b= 2a, ∴ 6a-2b+c= 6a-4a-3a= -a<0. ④正确; ∵ | -2-(-1) | = 1, | -0. 5-(-1) | = 0. 5, ∴ x= -2 时的函数值大于 x= -0. 5 时的函数值, ∴ y1 <y2 . ⑤错误. ∴ 正确的有②③④. 故选 B. 11. π 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12. 1 6 　 【解析】稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液 分别用 A1,A2,B1,B2 表示,列表如下: A1 A2 B1 B2 A1 (A2,A1) (B1,A1) (B2,A1) A2 (A1,A2) (B1,A2) (B2,A2) B1 (A1,B1) (A2,B1) (B2,B1) B2 (A1,B2) (A2,B2) (B1,B2) 由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中抽到 2 个都 是酸性溶液的结果有 2 种, ∴ 抽到的 2 个都是酸性溶液的概率为 2 12 = 1 6 . 13. 20　 14. y= 27 x 或 y= -27 x 　 【解析】将点 A(a,9)代入 y = k x (k≠ 0),得 k a = 9. ∴ k = 9a. ∵ 点 A( a,9) 是“高质量发展 点”, ∴ a2 = 9. 解 方 程 组 k= 9a, a2 = 9,{ 得 a= 3, k= 27,{ 或 a= -3, k= -27.{ ∴ 该反比例函数的解析式为 y= 27 x 或 y= -27 x . 15. (9-2 3 ) 　 【解析】如图,过点 F 作 FG⊥CE,垂足为 G. 由题意,得 FG=DE,FD=GE. 在 Rt△CDE 中,∠DCE= 30°,CE= 9 米, ∴ DE=CE·tan 30° = 9× 3 3 = 3 3 (米) . ∴ FG=DE= 3 3 米. ∵ 斜坡 CF 的坡度 i= 1 ∶ 4 3 ,∴ FG GC = 1 4 3 . ∴ GC= 4 3 FG= 4 3 米. ∴ GE=GC+CE=(4 3 +9)米. ∴ FD=GE=(4 3 +9)米. 在 Rt△ADF 中,∠AFD= 45°, ∴ AD=DF=(4 3 +9)米. 在 Rt△BCE 中,∠BCE= 60°, ∴ BE=CE·tan 60° = 9 3 米. ∴ AB=AD+DE-BE= 4 3 +9+3 3 -9 3 =(9-2 3 )米. ∴ 宣传牌 AB 的高度为(9-2 3 )米. 16. ( -14,0)　 【解析】如图,连接 OP. ∵ PA⊥PB,∴ ∠APB= 90°. ∵ 点 A,B 关于原点 O 对称,∴ OA=OB. ∴ AB= 2OP. 要使 AB 取得最大值,则 OP 需取得最大值. 连接 OM 并延长交☉M 于点 P′,当点 P 位于点 P′位置 时,OP′取得最大值. 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q,则 OQ= 6,MQ= 8. ∴ OM= 10. 又∵ MP′= r= 4,∴ OP′=MO+MP′= 10+4 = 14. ∴ AB= 2OP′= 2×14 = 28. ∴ OA= 1 2 AB= 14. ∴ 点 A 的坐标为(-14,0) . 17.解:(1)原式= 4× 3 2 -3× 3 3 +2× 2 2 × 2 2 = 2 3 - 3 +1 = 3 +1. (2)∵ 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 5,AC= 12, ∴ AB= AC2 +BC2 = 122 +52 = 13. ∴ cos A=AC AB = 12 13 ,tan A=BC AC = 5 12 . 18.解:(1)如图,△OA1B1 即为所求作. (2)点 A1(0,4),B1( -2,4) . (3)∵ 点 B(4,2),∴ OA= 4,AB= 2, ∴ OB= 42 +22 = 2 5 . ∴ OB′=OB= 2 5 ,∠BOB1 = 90°. ∴ 点 B 旋转到点 B1 所经过的路径长为 90·π·2 5 180 = 5 π. 19.解:(1)设花香果居片区 2021 年至 2023 年新都柚年产 量的年平均增长率为 x. 根据题意,得 8 000(1+x) 2 = 15 680. 解得 x1 = 0. 4 = 40% ,x2 = -2. 4 (不符合题意,舍去) . ∴ 花香果居片区 2021 年至 2023 年新都柚年产量的年 平均增长率为 40% . (2) 设储藏 x 个星期后, 出售这批新都柚可获利 1 220 000 元. 根据题意,得( 12 000 + 2 000x) × ( 80 - 2x) - 16 000x- 640 000 = 1 220 000. 解得 x1 = x2 = 15. ∴ 储藏15 个星期后,出售这批新都柚可获利1 220 000 元. 20.解:(1)把点 O(0,0),A(16,0)代入 y= - 1 8 x2 +bx+c, 得 c= 0, - 1 8 ×162 +16b+c= 0. ì î í ïï ïï 解得 b= 2, c= 0.{ ∴ 抛物线 C 的函数解析式为 y= - 1 8 x2 +2x. 由题意可得,抛物线 C′是由抛物线 C 向上平移 2 个单 位长度得到的, ∴ 抛物线 C′的函数解析式为 y= - 1 8 x2 +2x+2. (2)根据题意,得- 1 8 x2 +2x+2 = 0. 解得 x1 = 8+4 5 ,x2 = 8-4 5 (不符合题意,舍去) . ∵ 8+4 5 -16 = 4 5 -8<1,∴ 晓飞的猜测正确. 21. (1)证明:如图,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ADO= ∠AHO= 90°,AD∥BE. ∴ ∠DAO= ∠CEO. ∵ AC=CE,∴ ∠E= ∠CAO. ∴ ∠DAO= ∠CAO. 又∵ OA=OA,∴ △AOD≌△AOH. ∴ OD=OH. ∴ AC 是☉O 的切线. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ACD= ∠DAH= 45°,AB=CD=AD. ∴ △COH 是等腰直角三角形. ∴ OC= 2OH= 2OD. ∵ AB= 2 2 +2,∴ CD=OD+OC=OD+ 2OD= 2 2 +2. ∴ OD= 2. ∵ ∠DAO= ∠HAO= 1 2 ∠DAH= 22. 5°, ∴ ∠AOD= 90°-22. 5° = 67. 5°. ∴ S阴影 =S△ADO -S扇形DOF = 1 2 ×(2 2 +2) ×2-67. 5π ×22 360 = 2 2 +2-3π 4 . 22. (1)证明:∵ AB=AD,∴ ∠ABD= ∠ADB. ∵ DB 平分∠ADC,∴ ∠ADB= ∠BDC. ∴ ∠ABD= ∠BDC. ∴ AB∥DC. ∴ ∠BAC= ∠ACD. ∵ ∠ABC= ∠DAC,∴ △ABC∽△CAD. ∴ AB CA = AC CD . ∴ CA2 =AB·CD. ∵ AB=AD,∴ CA2 =AD·CD. ∴ 根据“比例三角形”的定义可知△ACD是“比例三角形”. (2)解:如图,过点 A 作 AH⊥BD 于点 H. 由(1)得 AB=AD,∴ DH= 1 2 BD. ∵ AB∥DC,∴ ∠ABC+∠BCD= 180°. ∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠BCD= 90°. ∴ ∠DHA= ∠BCD. ∵ ∠ADH= ∠BDC,∴ △ADH∽△BDC. ∴ AD BD =DH DC ,即 AD·DC=DH·DB. ∴ AD·DC= 1 2 BD2 . 由(1)可知,AD·DC=AC2, ∴ 1 2 BD2 =AC2 . ∴ AC BD = 2 2 . 23.解:(1)令 y1 = y2,得-x+5 = 4 x . 整理,得 x2 -5x+4 = 0. 解得 x1 = 1,x2 = 4. 经检验,x1 = 1,x2 = 4 是原方程的解,且符合题意. 当 x= 1 时,y1 = -1+5 = 4, ∴ 点 A 的坐标为(1,4) . 当 x= 4 时,y1 = -4+5 = 1, ∴ 点 B 的坐标为(4,1) . (2)①0<m<1 或 m>4 ②∵ 点 P 在线段 AB 上, ∴ 1≤m≤4,点 P 的坐标为(m,-m+5) . ∵ PD⊥x 轴于点 D,∴ PD= -m+5,OD=m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 88·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·89　 · ∴ S△POD = 1 2 PD·OD= 1 2 ( -m+5)·m= - 1 2 m2 + 5 2 m = - 1 2 m- 5 2( ) 2 +25 8 . ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 m= 5 2 时,S△POD 最大,最大值为 25 8 . 24. (1)解:∵ 直线 y= - 3 5 x+12 5 分别交 x 轴、y 轴于点 A,B, ∴ 点 A(4,0),B 0,12 5( ) . ∵ 抛物线 y = - x2 + bx + c 经过点 A ( 4, 0),D ( 0, 4), ∴ 0 = -42 +4b+c, 4 = c,{ 解得 b= 3, c= 4.{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +3x+4. (2)证明:如图 1,设对称轴与 x 轴的交点为 G. ∵ y= -x2 +3x+4 = - x- 3 2( ) 2 +25 4 , ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 3 2 . 设直线 AD 的解析式为 y= kx+a(k≠0) . 将点 A(4,0),D(0,4)代入,得 4k+a= 0, a= 4,{ 解得 k= -1, a= 4.{ ∴ 直线 AD 的解析式为 y = -x+4. 当 x = 3 2 时,y = - 3 2 + 4 = 5 2 . ∴ 点 E 3 2 , 5 2( ) . ∴ OG= 3 2 ,EG= 5 2 . ∵ 点 G 3 2 ,0( ) ,∠EGO= 90°, ∴ tan∠OEG=OG EG = 3 5 . ∵ OA= 4,OB= 12 5 ,∠AOB= 90°, ∴ tan∠OAB=OB OA = 3 5 . ∴ tan∠OAB= tan∠OEG. ∴ ∠OAB= ∠OEG. ∵ ∠OEG+∠EOG= 90°, ∴ ∠OAB+∠EOG= 90°. ∴ ∠AFO= 90°. ∴ OE⊥AB. (3)∵ 点 A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴为直线 x= 3 2 , ∴ 点 C( -1,0) . ∴ AC= 4-( -1)= 5. ∵ OA=OD= 4,∠AOD= 90°, ∴ AD= OA2 +OD2 = 4 2 . 设直线 CD 的解析式为 y=mx+n(m≠0), ∵ 点 C( -1,0),D(0,4), ∴ -m+n= 0, n= 4.{ 解得 m= 4, n= 4.{ ∴ 直线 CD 的解析式为 y= 4x+4. ①当 △AOM ∽ △ACD 时, ∠AOM = ∠ACD, 如图 2, ∴ OM∥CD. ∴ 直线 OM 的解析式为 y= 4x. 令 4x= -x2 +3x+4,解得 x= -1± 17 2 ; ②当△AMO∽△ACD 时,如图 3, ∴ AM AO = AC AD . ∴ AM=AC·AO AD = 5×4 4 2 = 5 2 2 . 过点 M 作 MG⊥x 轴于点 G,则∠AGM= 90°. ∵ ∠OAD= 45°, ∴ AG=MG=AM·sin 45° = 5 2 2 × 2 2 = 5 2 . ∴ OG=OA-AG= 3 2 . ∴ 点 M 3 2 , 5 2( ) . 设直线 OM 的解析式为 y=m1x(m≠0) . 将点 M 3 2 , 5 2( ) 代入,得 3 2 m1 = 5 2 ,解得 m1 = 5 3 . ∴ 直线 OM 的解析式为 y= 5 3 x. 令 5 3 x= -x2 +3x+4,解得 x= 2±2 10 3 . 综上所述,点 P 的横坐标为 -1± 17 2 或 2±2 10 3 . 图 1 　 　 图 2 图 3 第一学期期末真题优选卷(三) 1. D　 2. B　 3. C　 4. B　 5. C 6. D　 【解析】∵ cos A= 3 5 ,∴ 设 AD= 3x,AB= 5x. ∵ AB=AC,∴ AC= 5x. ∴ CD= 2x. 在 Rt△ABD 中,BD= AB2 -AD2 = 4x, 在 Rt△BCD 中,BC= BD2 +CD2 = 2 5 x, ∴ sin∠CBD=CD BC = 2x 2 5 x = 5 5 . 故选 D. 7. A 8. D　 【解析】A. ∵ k= 3>0, ∴ y 随 x 的增大而增大,即当 x1 >x2 时,必有 y1 >y2 . ∴ 当 x<0 时, y2 -y1 x2 -x1 >0. 故 A 选项不符合题意; B. ∵ y= -x2 +2x-1 = -(x-1) 2,∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1,抛物线的开口向下. ∴ 当 0<x<1 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 0<x<1 时,若有 x1 >x2,则必有 y1 >y2, 此时 y2 -y1 x2 -x1 >0. 故 B 选项不符合题意; C. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大, 即当 x1 >x2 时,必有 y1 >y2, 此时 y2 -y1 x2 -x1 >0. 故 C 选项不符合题意; D. ∵ y= x2 -4x+1 =(x-2) 2 -3,∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 2,图象开口向上. ∴ 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小, 即当 x1 >x2 时,必有 y1 <y2, 此时 y2 -y1 x2 -x1 <0. 故 D 选项符合题意. 故选 D. 9. B 10. A　 【解析】∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ ∠FAD= 90°,AD=AF=EF. ∴ ∠CAD+∠FAG= 90°. ∵ FG⊥CA,∴ ∠G = 90° = ∠ACB. ∴ ∠AFG + ∠FAG = 90°. ∴ ∠CAD= ∠AFG. 在△FGA 和△ACD 中, ∠G= ∠C, ∠AFG= ∠DAC, AF=DA, ì î í ï ï ïï ∴ △FGA≌ △ACD (AAS) . ∴ AG = CD,FG = AC. 故 ① 正确; ∵ BC=AC,∴ FG=BC. ∵ ∠C= 90°,FG⊥CA,∴ FG∥BC. ∴ 四边形 CBFG 是矩形. ∴ ∠CBF= 90°,S△FAB = 1 2 FB·FG= 1 2 S四边形CBFG . ∴ S△FAB ∶ S四边形CBFG = 1 ∶ 2. 故②正确; ∵ AC = BC,∴ ∠CAB = ∠ABC. ∵ 四边形 CBFG 是矩 形,∴ GC∥FB,∴ ∠CAB = ∠ABF. ∴ ∠ABC = ∠ABF = 45°. 故③正确; ∵ 四 边 形 ADEF 是 正 方 形, ∴ ∠ADE = ∠E = 90°. ∴ ∠ADC+∠BDQ = 90°. 又∵ ∠CBF = 90°,∴ ∠BDQ+ ∠DQB = 90°. ∴ ∠ADC = ∠DQB. ∵ ∠FQE = ∠DQB, ∴ ∠ADC = ∠FQE. 又 ∵ ∠E = ∠C = 90°, ∴ △ACD∽△FEQ. ∴ AC ∶ FE = AD ∶ FQ. ∴ AD·FE = AD2 =FQ·AC. 故④正确. 故选 A. 11. 随机事件　 12. y= (x-3) 2 +4　 13. 102 +(3t) 2 = (7t-10) 2 　 14. 8 15. 36π　 【解析】∵ ∠C 是直角,∠ABC= 60°, ∴ ∠BAC= 90°-60° = 30°. ∴ BC= 1 2 AB= 1 2 ×12 = 6 cm. ∵ △ABC 以点 B 为中心顺时针旋转得到△BDE, ∴ S△BDE =S△ABC,∠ABE= ∠CBD= 180°-60° = 120°. ∴ 阴影部分的面积 = S扇形ABE + S△BDE - S扇形CBD - S△ABC = S扇形ABE-S扇形CBD = 120·π·122 360 -120·π·6 2 360 = 48π-12π = 36π cm2 . 16. 4 2 9 　 【解析】∵ sin α= 1 3 ,sin2α+cos2α= 1,∴ cos2α= 1- sin2α= 8 9 . ∵ α 为锐角,∴ cos α = 2 2 3 . ∵ sin(α+β) = sin αcos β+cos αsin β,∴ sin 2α=sin(α+α)= sin αcos α+ cos αsin α= 1 3 ×2 2 3 +2 2 3 × 1 3 = 4 2 9 . 17.解:(1)3x2 +6x-5 = 0, ∵ a= 3,b= 6,c= -5, ∴ Δ= b2 -4ac= 62 -4×3×( -5)= 96>0. ∴ x= -6± 96 2×3 = -1±2 6 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·55　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第一学期期末真题优选卷(二) (时间:120 分钟 满分:120 分) 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列各几何体的俯视图中,不是中心对称图形的是 (　 　 ) A B C D 2. 下列说法中,不正确的是 (　 　 ) A. “a 是实数, | a | ≥0”是必然事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币 100 次,正面朝上的次数一定是 50 次 C. 阳光下广告牌的影子属于平行投影 D. 不可能事件发生的概率为 0 3. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 -2x-1 = 0 有两个不相等的实数根,则二次项系数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a>1 且 a≠0 B. a>-1 且 a≠0 C. a>-2 且 a≠0 D. a>1 4. 若函数 y=m +2 x 的图象在第一、三象限内,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m>-2 B. m<-2 C. m>2 D. m<2 5. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 y= -ax 与二次函数 y=ax2 -a 的图象可能是 (　 　 ) A B C D 6. (新素养·几何直观)如图,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是关于原点 O 的位似图形,则下列说 法错误的是 (　 　 ) A. 小鱼与大鱼的周长之比为 1 ∶ 2 B. 小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比为 1 ∶ 2 C. 大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的 2 倍 D. 若小鱼上一点的坐标为(a,b),则大鱼上的对应点的坐标为( -2a,-2b) 7. 如图,在△ABC 中,∠ACD= ∠B. 若 AD= 3,BD= 5,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 15 B. 2 6 C. 10 D. 8 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,在△ABC 中,AB= 3 5 ,tan∠ABC= 1 2 ,∠ACB= 45°,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 9　 B. 12　 C. 6 5 　 D. 9 5 9. 如图,△ABC 的内切圆☉O 与 BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,且 AB= 8,BC= 17,CA= 15,则阴影部 分(即四边形 AEOF)的面积是 (　 　 ) A. 4 B. 6. 25 C. 7. 5 D. 9 10. 抛物线 y=ax2 +bx+c 的对称轴为直线 x = -1,部分图象如图所示,下列判断:①abc>0;②b2 -4ac>0; ③9a-3b+c= 0;④6a-2b+c<0;⑤若点( -0. 5,y1 ),( -2,y2 )均在抛物线上,则 y1 >y2 . 其中正确的判 断是 (　 　 ) A. ②③④⑤ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. (新素材·科学技术)随着我国电子技术的高速发展,360 全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上 了一个新的台阶,如图是使用了该技术的某品牌汽车,车前可视范围是一个半径为 3 米、可视角度 为 30°的扇形,则该可视区域形成的扇形弧长为 米. 第 11 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 12. (新考法·跨学科)有 4 个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶,分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、 碳酸钠四种溶液. 小星从这 4 个试剂瓶中任意抽取 2 个,则抽到的 2 个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、 稀盐酸溶液)的概率是 . 13. 如图,AB 是☉O 的直径,AB =AC,BC 交☉O 于点 D,AC 交☉O 于点 E,连接 BE,∠BAC = 40°,则∠EBC = °. 14. 在数学中,我们不妨设:在平面直角坐标系内,如果点(m,n)的坐标满足 n =m2,那么称点(m,n)为 “高质量发展点” . 如果点 A(a,9)是反比例函数 y = k x (k≠0)的图象上的“高质量发展点”,那么该 反比例函数的解析式为 . 15. 如图,某同学为测量宣传牌的高度 AB,他站在距离教学楼底部 E 处 9 米远的地面 C 处,测得宣传牌 的底部 B 的仰角为 60°,同时测得教学楼窗户 D 处的仰角为 30°(点 A,B,D,E 在同一直线上) . 然 后,小明沿坡度 i= 1 ∶ 4 3 的斜坡从 C 处走到 F 处,此时 DF 正好与地面 CE 平行. 他在点 F 处又测得 宣传牌顶部 A 的仰角为 45°,则宣传牌 AB 的高度为 米. (结果保留根号) 16. (新素养·几何直观)如图,☉M 的半径为 4,圆心 M 的坐标为(6,8),P 是☉M 上的任意一点,PA⊥ PB,且 PA,PB 与 x 轴分别交于 A,B 两点. 若点 A,B 关于原点 O 对称,则当 AB 取最大值时,点 A 的 坐标为 . 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、解答题(共 8 小题,共 72 分) 17. (8 分)计算: (1)4sin 60°-3tan 30°+2cos 45°·sin 45°; (2)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 5,AC= 12,求∠A 的余弦值和正切值. 18. (8 分)如图,在 Rt△OAB 中,∠OAB= 90°,点 B 的坐标为(4,2) . (1)画出 Rt△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到的 Rt△OA1B1; (2)写出点 A1,B1 的坐标; (3)求 Rt△OAB 旋转过程中点 B 所经过的路径长. 19. (8 分)(新素材·地域特色)新都柚作为新都区的地方名优特产,一般 10 月中下旬成熟,具有抗炎、 祛痰、保肝益胃等功能,是老幼皆宜的果中珍品. 新都区花香果居片区 2021 年新都柚年产 8 000 吨, 预计 2023 年能够实现年产 15 680 吨的目标. (1)求花香果居片区 2021 年至 2023 年新都柚年产量的年平均增长率; (2)一个合作社以 640 000 元的成本采购了新都柚 80 吨,目前可以以 12 000 元 /吨的价格售出. 如 果储藏起来,每星期会损失 2 吨,且每星期需要支付各种费用 16 000 元,但同时每星期每吨的价格 会上涨 2 000 元. 那么,储藏多少个星期后,出售这批新都柚可获利 1 220 000 元? 20. (8 分)(新情境·项目式学习)晓飞在一次课题研究中,要对科技小组研制出的一款航模飞机的性 能进行测试. 【课题研究】调节起始高度,观察飞机降落点. 【素材 1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形. 【素材 2】第一次试飞起始高度为 0 m(即起飞点为点 O),飞行的线路为抛物线 C,降落点 A 到点 O 的距离 OA 为 16 m,以点 O 为原点,OA 为 x 轴,过点 O 垂直于 OA 的直线为 y 轴建立如图所示的平 面直角坐标系,抛物线 C 的函数解析式为 y= - 1 8 x2 +bx+c. 【素材 3】第二次从 E 处开始试飞,起始高度 OE 为 2 m(点 E 在 y 轴上),飞行的线路抛物线 C′可由 抛物线 C 向上平移得到,…… 【任务解决】 (1)求抛物线 C′的函数解析式; (2)晓飞猜测第二次试飞的降落点(降落点在 x 轴上)到点 A 的距离不超过 1 m,请通过计算说明晓 飞的猜测是否正确. 21. (9 分)如图,E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点,且 AC=CE,连接 AE 交 CD 于点 O,以点 O 为 圆心,OD 长为半径作☉O,☉O 交线段 AO 于点 F. (1)求证:AC 是☉O 的切线; (2)若 AB= 2 2 +2,求阴影部分的面积. 22. (9 分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做“比例三角形” . (1)如图 1,在四边形 ABCD 中,AD=AB,对角线 DB 平分∠ADC,∠DAC= ∠ABC. 求证:△ACD 是“比 例三角形”; (2)如图 2,在(1)的条件下,当∠ABC= 90°时,求AC BD 的值. 图 1 　 　 　 图 2 23. (10 分)如图,一次函数 y1 = -x+5 的图象与反比例函数 y2 = 4 x (x>0)的图象交于 A,B 两点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)P 是直线 AB 上一点,设点 P 的横坐标为 m,填空: ①当 y1 <y2 时,m 的取值范围是 ; ②点 P 在线段 AB 上,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,连接 OP. 若△POD 的面积最大,求 m 的值. 24. (12 分)如图,直线 y= - 3 5 x+12 5 分别交 x 轴、y 轴于点 A,B,过点 A 的抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴的另 一交点为 C,与 y 轴交于点 D(0,4),抛物线的对称轴 l 交 AD 于点 E,连接 OE 交 AB 于点 F. (1)求抛物线的解析式; (2)求证:OE⊥AB; (3)P 为抛物线上的一动点,直线 PO 交 AD 于点 M,是否存在这样的点 P,使以 A,O,M 为顶点的三 角形与△ACD 相似? 若存在,求点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由. · 56·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级