精品解析：江西省部分高中学校2024-2025学年高二上学期十一月联考数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章第1节占30%，第二章第2节至第三章第3节占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2. 关于空间向量，，，下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：（为常数，），则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：，下列结论正确的是（ ） A. 过点且与圆相切的直线的方程为 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 直线：与圆交于，两点，则 D. 直线：与圆交于，两点，则 10. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为，的右顶点为，则轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 12. 已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知，，，设向量，． （1）设向量，，求； （2）若，求的值． 14. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 15. 已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为2． （1）求． （2）过点的直线与交于，两点． ①若是线段的中点，求； ②点在直线：上且不在直线上，是线段的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：． 16. 已知双曲线：（）的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右支分别交于点，，为坐标原点，连接并延长，交双曲线于点． （1）已知为的左焦点． ①求的方程； ②若，求直线的方程． （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章第1节占30%，第二章第2节至第三章第3节占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用双曲线方程，结合焦距概念计算. 【详解】双曲线,则则则.则焦距为. 故选：B. 2. 关于空间向量，，，下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 3. 已知直线：（为常数，），则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，利用斜率的范围求出倾斜角的范围. 【详解】设直线倾斜角为， 则，又， 所以， 故选：A 4. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出. 【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点， . 故选：D 5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 6. 若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【详解】由可得， 故，故或， 故选：D. 7. 若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：，下列结论正确的是（ ） A. 过点且与圆相切的直线的方程为 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 直线：与圆交于，两点，则 D. 直线：与圆交于，两点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过计算点到直线距离判断直线与圆的相切关系，根据弦长公式计算直线与圆相交时弦的长度. 【详解】对于A、B选项，首先，点到圆的圆心的距离为，刚好等于圆的半径，所以点在圆上. 显然斜率不存在时不满足题意，则设过点的切线方程为， 即. 根据圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式则， 即. 两边平方，解得. 所以切线方程为，即，A选项正确，B选项错误. 对于C、D选项，对于直线，圆心到直线的距离 . 根据弦长公式， 则，C选项正确，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用椭圆与双曲线的定义、离心率、焦点三角形等知识，通过利用椭圆和双曲线的定义以及勾股定理求出相关量，再根据离心率的定义对各选项进行判断. 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确. 对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确. 对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误. 对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率可得的值，根据通径可得的值，求出后可得椭圆的标准方程. 【详解】由题设有，故，解得，故，故 故椭圆的标准方程为：， 故答案为：. 12. 已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 正四面体的棱长为，设其内切球球心为点， 连接并延长交底面于点， 则为正的中心，且平面， 连接并延长交于点，则为的中点，且， ，， 因为平面，平面，则， 可得， 的面积为， 正四面体的体积为， 设正四面体的内切球的半径为， 则， 即，解得， 可得， 因为，， 可得， 当点位于正四面体的顶点时，取最大值， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 利用几何关系推导内切球半径：首先通过几何关系计算正四面体的体积和内切球半径，这是确定几何量的基础. 结合空间向量的数量积分析动点的取值：通过分析空间向量和动点的关系，结合数量积的性质，判断动点在不同位置时的取值，确保最大值的准确性. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知，，，设向量，． （1）设向量，，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行求出，由向量模的公式计算得解； （2）由向量的线性运算及垂直向量的数量积坐标表示列方程得解. 【小问1详解】 由题意，，，， 所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 14. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，设直线的截距式方程，再把已知点代入方程求出的值，从而得到直线方程. （2）先设圆的标准方程，根据圆经过原点和点以及圆心在直线上这三个条件列出方程组，然后求解方程组得到、、的值，进而得到圆的方程. 【小问1详解】 设直线的方程为（）， 因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得， 化简方程即，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设圆的标准方程为， 因为圆经过原点和点， 将原点坐标代入圆的方程可得， 将点代入圆的方程可得， 又因为圆心在直线上，所以， 由和相减可得： ，即， 联立方程，解得，， 把，代入得， 所以圆的方程为. 15. 已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为2． （1）求． （2）过点的直线与交于，两点． ①若是线段的中点，求； ②点在直线：上且不在直线上，是线段的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明:设,则.直线, 令,得,则, 直线的斜率, 直线的斜率. , 所以,即. 因为,所以四边形为平行四边形,所以. 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式得到关于的方程，解出即可； （2）①设直线，联立得到韦达定理式，再根据解出，最后代入弦长公式即可； ②设,求出，从而得到相关直线斜率，再作差计算，最后化简即可. 【小问1详解】 设抛物线的焦点为, 根据题意可知,解得. 【小问2详解】 ①设直线. 联立得,则，解得或，， 因为是线段的中点,所以, 与联立可得或 根据对称性,不妨设在第一象限, 则，， . ②略. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设点法，再计算相关直线斜率，作差再整体代入韦达定理式即可. 16. 已知双曲线：（）的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右支分别交于点，，为坐标原点，连接并延长，交双曲线于点． （1）已知为的左焦点． ①求的方程； ②若，求直线的方程． （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）①;②或. （2） 【解析】 【分析】（1）①根据焦点坐标求出后可求双曲线方程；②根据为等腰三角形及双曲线的对称性可得，从而，联立直线方程和双曲线方程后结合韦达定理可求直线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理消元后可得. 【小问1详解】 ①因为为双曲线的焦点，故，故， 故双曲线方程为：. ②因为，故为等腰三角形，而，故， 由题设可得的斜率存在且不为零，故设，， 则由可得， 故，且即， 又， 因为，故，故， 整理得到：， 所以，故， 故直线的方程为：或. 【小问2详解】 由题设有由（1）中假设有， 整理得到：， 设直线，故， 又由可得， 故且， 故， 又， 所以， 整理得到在上恒成立，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $