精品解析：天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷

天津市第一中学滨海学校2024-2025-1学期 高三年级数学学科 期中检测试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上、答卷时，考生务必将Ⅰ答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（45分） 注意事项： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则 A. B. C. D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 经过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ） ① ②函数图象关于点对称 ③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 ④若，则函数的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 9. 如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 11. 在的展开式中，项的系数为________.（用数字作答） 12. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______． 13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆. 若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为________. 【参考公式】，，分别为上、下底面面积，为台体高. 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 15. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点D到平面的距离． 18. 已知等差数列的前项和为，且，.数列为等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）求. （3）求证：. 19. 已知数列的前项和公式为，数列满足. （1）求数列的通项公式和； （2）若求数列的通项公式； （3）若数列满足，求. 20. 设函数，直线是曲线在点处的切线. （1）求的单调区间； （2）求证：不经过点； （3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2024-2025-1学期 高三年级数学学科 期中检测试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上、答卷时，考生务必将Ⅰ答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（45分） 注意事项： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】算出后可得. 【详解】 ，所以，选C. 【点睛】本题考查集合的交补运算，属于基础题. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 由可得，即，所以， 但无法保证，故不一定成立，充分性不满足； 由可得，所以一定成立，故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定，，的范围，进而比较大小即可． 【详解】由，，， 所以，，的大小关系是． 故选：D． 4. 经过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得线段与的垂直平分线交点可得圆心，再求得半径即可. 【详解】由可知， 的中点坐标为，因此可知圆心在线段的垂直平分线上， 又可知，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即； 联立，解得，因此圆心坐标为， 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B 5. 已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解. 【详解】因为，， 所以，故， 又是第一象限角，为第四象限角， 故， 因此， 因此，由于， 则，故. 故选：C. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项. 【详解】的定义域是， 因为，所以是奇函数，排除CD， 因为，排除B， 故选：A. 7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ） ① ②函数图象关于点对称 ③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 ④若，则函数的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断①，验证是否为函数的对称中心判断②，结合函数图象平移变换结论判断③，结合不等式性质及正弦函数性质判断④. 【详解】由已知， 所以， 又，所以函数的最小正周期为， 由已知，所以，①正确； 所以， 因为，所以函数图象关于点对称，②正确， 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以，又， 所以的最小值为，③正确， 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，④错误. 故选:A 8. 已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，由累加迭代法可得，进而可得，由得，进而根据等比数列的求和可得，两种情况结合可得进而可求解. 【详解】由，得， 由累加法，当时，， 因此，即得； 所以，当时，，故； 由，得 所以， 以此类推，得， 因此， 即，而为增数列，； 又，所以； 综上可知，，故满足条件的正整数所有可能取值的个数为个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式将数列的通项公式通过放缩法和累加法可求得且，再由解不等式即可得出正整数的所有可能取值. 9. 如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积. 【详解】连接，交点为，如图所示： ，且是公共边， ，， 易得，， 即，又，， ，平面， 平面，又平面， 平面平面. 过点作平面，垂足为，连接， ，， 平面，，， 由是公共边，， 即有， 三点在以为直径的圆周上， ，，， ， ， . 故选：C 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：. 11. 在的展开式中，项的系数为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据展开项的通项公式求解出的值，代入求解出可知项的系数. 【详解】展开项的通项公式为，， 令，解得， 所以， 所以项的系数为， 故答案为：. 12. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______． 【答案】 ①. ②. ##0.5 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率. 【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率， 由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分， 只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分， 所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为. 故答案为：， 13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆. 若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为________. 【参考公式】，，分别为上、下底面面积，为台体高. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式和体积公式求解即可. 【详解】圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆， 故圆锥的母线长， 圆锥底面圆半径, 所以圆锥的高， 用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥， 故小圆锥的高和底面半径均为圆锥的一半， 设圆锥的体积为，小圆锥的体积为,圆台的体积为, 则 故 故答案为： 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，利用向量数量积公式得到；设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 15. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑求解即可. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根由，可得， 由可得. 时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； 当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点; 当时，令，则， 此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点， 则应满足或或， 则可解得的取值范围是：. 故答案为：. 【点睛】解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 三、解答题：本题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理计算可得，即； （2）（ⅰ）利用余弦定理代入计算可得； （ⅱ）由余弦定理得推论计算可得，再根据同角三角函数基本关系以及三角恒等变换计算可得结果. 【小问1详解】 依题意根据由正弦定理可得； 又，所以可得， 即，所以， 可得，又， 解得. 【小问2详解】 （ⅰ）由以及， 利用余弦定理可得， 解得； （ⅱ）由，可得； 又，因此可得； 可知， ； 所以. 17. 如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点D到平面的距离． 【答案】（1） 因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作， 则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 设长为，则 ，， 因为，所以，则有，． 所以，，，，，，． 证明：因为，，设平面的法向量为， 则，令，则， 又因为． 所以，所以，又因为平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，结合平面，得出平面； （2）利用向量的夹角公式即可求解； （3）利用点到平面的距离的向量法公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为中点，所以，则， 有，又，设直线与平面所成角为， ， 则直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以，点D到平面的距离为． 18. 已知等差数列的前项和为，且，.数列为等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）求. （3）求证：. 【答案】（1），； （2） （3）证明: ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出公差和首项，得到等差数列的通项公式，进而求出首项和公比，求出通项公式；（2）错位相减法求和；（3）对变形得到，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，由得： ， 因为，所以， 联立得：，所以； 则，， 设的公比为，则，， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 故， ①， ②， ①－②得：， 所以 【小问3详解】 略. 19. 已知数列的前项和公式为，数列满足. （1）求数列的通项公式和； （2）若求数列的通项公式； （3）若数列满足，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，再由可求出通项，然后由前项和公式求出即可； （2）用错位相减法求出即可； （3）结合已知数列的通项将所求，代入求出即可； 【小问1详解】 由，可得， 当时，对也成立， 所以； 因，， 故 【小问2详解】 ， ， 即有， 则，， 上面两式相减可得 ， 可得. 【小问3详解】 ， ， 两式作差可得， 所以， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够理解数列的通项公式，然后将所求转化为求解即可. 20. 设函数，直线是曲线在点处的切线. （1）求的单调区间； （2）求证：不经过点； （3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，） 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，切线的斜率为， 则切线方程为， 假设直线过点，将代入切线方程得，则， 即，整理得，， 令，则在上存在零点， ， 所以在上单调递增，则， 所以函数在上无零点，这与假设矛盾， 所以直线不过点. （3）不存在 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性； （2）写出切线方程，假设直线过点，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【小问1详解】 由题可得，，（）， 当时，有，则在上单调递增； 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 则，， ，设与轴交点为， 当时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知，，则， 则切线的方程为， 令，则， ，则， ，设，， 所以满足条件的有几个即有几个零点. 由，， 令，得，即在上单调递增， 令，得或，即在和上单调递减， 又，，， 所以函数在上没有零点，即不存在点使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $