精品解析：福建省福州市华伦中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期八年级期中适应性练习 数学科 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四点共线，，，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. x2-4=（x+4）（x-4） B. x2+2x+1=x（x+2）+1 C. 3mx-6my=3m（x-6y） D. x2y-y3=y（x+y）（x-y） 5. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 8. 已知等式（为正整数），则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若三边满足，判断的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 10. 已知实数满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若使分式有意义，则x的取值范围是_______________． 12. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 13. 如果，那么___________． 14. 若满足，则式子的值为_____． 15. 如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为_______． 16. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______． 三、解答题（9大题，共86分）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简： （1）； （2）． 19. 如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点E是AD，BC的交点，求证：△ABE是等腰三角形. 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：垂直平分． 22. 请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题： （1）求证：能被整除； （2）已知多项式能整除，求的值． 23. 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 24. 【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 25. 如图，在中，，于点，点在上，且，将沿折叠得到，交于点． （1）求证：平分； （2）求的度数； （3）过点作交的延长线于点，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级期中适应性练习 数学科 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形， B．不是轴对称图形， C．不是轴对称图形， D．是轴对称图形， 故选D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、=，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、是最简分式，所以C选项符合题意； D、=，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．熟记定义是解本题的关键． 3. 如图，四点共线，，，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，进一步推出，再利用线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是由，推出． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. x2-4=（x+4）（x-4） B. x2+2x+1=x（x+2）+1 C. 3mx-6my=3m（x-6y） D. x2y-y3=y（x+y）（x-y） 【答案】D 【解析】 【分析】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可． 【详解】解：A．x2-4=（x+2）（x-2），因此选项A不符合题意； B．x2+2x+1=（x+1）2，因此选项B不符合题意； C.3mx-6my=3m（x-2y），因此选项C不符合题意； D．x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y），因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2-b2=（a+b）（a-b），a2±2ab+b2=（a±b）2是正确应用的前提． 5. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 6. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的判定条件（确定唯一三角形的依据），解题的关键是掌握“、、、、可确定唯一三角形，而$SSA$（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形”这一核心规则． 先明确每个选项给出的条件类型（角与边的位置关系）；再根据三角形判定定理判断：若条件为、、、或直角三角形的，则能画出唯一三角形；若为，则不能；最后筛选出符合“不能画出唯一三角形”的选项． 【详解】解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项： A、已知，，，其中是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； B、已知，，，其中是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一，此选项符合题意； C、已知，，，其中是与的夹角，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； D、已知，，，其中是斜边，是直角边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意． 故选：B． 7. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 8. 已知等式（为正整数），则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴ ∴或或或， ∴的值不可能是， 故选：． 9. 若三边满足，判断的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 10. 已知实数满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先利用完全平方公式求出的取值范围，再把代入即可求解，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若使分式有意义，则x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由分母不为零可得，从而可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键． 12. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 13. 如果，那么___________． 【答案】8 【解析】 【分析】先解一元一次方程求得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查解一元一次方程、幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 14. 若满足，则式子的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，由已知可得，，再利用平方差公式可得，代入数值计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴由②得，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于． 在中，，， ， ，， ， ， ． ，于， ， ． 故答案为：2． 16. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 三、解答题（9大题，共86分）． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式和多项式除以单项式，再合并同类项即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据分式的运算法则计算即可； （）先对分式进行化简，再合并同类项即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点E是AD，BC的交点，求证：△ABE是等腰三角形. 【答案】 证明：在△BAC和△ABD中 ∴△BAC≌△ABD(SAS)， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴EA=EB，即△ABE是等腰三角形. 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质证明∠EAB＝∠EBA即可. 【详解】略 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握利用SAS判定两个三角形全等和等角对等边是解决此题的关键. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 线段，，，即为所求： （2） 证明：∵ ∴ 在与中， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再以D为圆心任意长为半径画弧，交于两点，然后分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧，两弧形相交于两点过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，然后由等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图—作线段、作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 22. 请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题： （1）求证：能被整除； （2）已知多项式能整除，求的值． 【答案】（1） 解：∵ ， ∴能被整除； （2） 【解析】 【分析】（）利用幂的乘方的逆运算，再各幂转化为底数为的幂，再提公因式，最后把整式转化为即可求证； （）设除以等于，利用多项式乘以多项式求出的积，再根据系数相等求出的值即可求解； 本题考查了因式分解，幂的乘方的逆运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设除以等于， 则， ∴，，， ∴，，， ∴． 23. 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：； 情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 【解析】 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法．理由： ∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形图略． 24. 【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，于点，点在上，且，将沿折叠得到，交于点． （1）求证：平分； （2）求的度数； （3）过点作交的延长线于点，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为， ∵，于点， ∴平分， ∵，， ∴， 由折叠可得，，即平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分； （2） （3） 【解析】 【分析】（）过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，得到，再根据角平分线的判定即可求证； （）连接，可证为等边三角形，得到，进而可得，由即可求解； （）由，平分可得，设，则，进而得到，，， ，再由得到，列出方程求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $