精品解析：福建省福州市仓山区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期校内期中质量检查 九年级数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知O，M两点之间的距离为6，若点M在内，则的半径可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 关于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线与y轴交点坐标是 D. 当时，y随着x增大而增大 8. 某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至，若点E在上，则的长为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 10. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 如下表是某学校食堂提供3种价位午餐（每人限购一份），已知A，B，C三种套餐在某天销售数量之比为，则当天学生购买午餐的平均费用是______元． A套餐 B套餐 C套餐 午餐费/元 10元 12元 15元 14. 如图，四边形的三个顶点在上，点D在的延长线上，若，则的度数为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于A，B，将绕点A顺时针旋转得到，若点D的坐标为，则直线l的解析式为_____． 16. 如图，是的直径，弦，交于点F，满足，，若的半径长为3，，则的长为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 19. 列方程解决实际问题： 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多，乙公司比甲公司人均多捐20元，甲、乙两公司各有多少人？ 20. 在数学实验课上，老师拿出一块如图所示的残缺圆形工件，让同学们运用已学知识，借助一些实验器材测出此残缺圆形工件的半径，小明的做法是：在工件圆弧上取A，B两点，连接，作的垂直平分线交于点C，交于点D，测出，，请你根据小明的做法，求出圆形工件的半径． 21. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，P是y轴右侧抛物线上一点，过点P作x轴垂线交直线于D，，求点P的坐标． 22. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，点C的对应点为点D． （1）尺规作图：求作，使点A的对应点E恰好落在的延长线上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求证：平分． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根等于另一根的倍，那么称这个方程为“系方程”． （1）若一元二次方程是“系方程”，求的值； （2）若一元二次方程是“系方程”，求证：． 24. 综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； （2）求7m篱笆材料恰好用完时与之间的距离； （3）种植区域分隔完成后，榕榕又想用灯带对该金银花种植区域进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．为此，她尝试设计了如图3所示的矩形灯带，其中两个顶点G，H在抛物线上（可与A，B重合），另外两个顶点K，J在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 25. 如图，在中，，，D是的中点，连接，P在延长线上，将绕点P顺时针旋转90°得到点，且B，C，E三点在同一直线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点G，若交于点F，连接． ①求证：F是的中点． ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期校内期中质量检查 九年级数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，由此逐项判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.是中心对称图形； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据二次函数的顶点坐标是，求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵； ∴顶点坐标为：． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义是解决问题的关键． 3. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，先根据邻补角求出，然后利用圆周角定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知O，M两点之间的距离为6，若点M在内，则的半径可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 【详解】解：∵点M在内， ∴， 符合的数为7， 故选：D． 7. 关于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线与y轴交点坐标是 D. 当时，y随着x增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而增大， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 8. 某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，根据“销售单价每降价1元，每天销量增加10个”，可得销售量y与销售单价x之间的函数关系；根据利润销售量（单价成本）列出利润w与销售单价x之间的函数关系即可解题． 【详解】解：设每个降价x元， 每天销售量为， 每天销售商品获得的利润， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至，若点E在上，则的长为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，根据旋转的性质可以得到 ，然后利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：， ∴根据勾股定理得：， 由旋转的性质可知 ， ， ， 故选: A. 10. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，然后判断抛物线过的两点为，，即可求出，代入计算得到，然后得到点D的坐标为，点B的坐标为，，，再求出直线的解析式，然后表示，，利用比差法解题即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； ∴抛物线经过点，， 则，解得，故B错误； ∴，，代入得： ，解得，故C错误； ∵， ∴，故A错误； ∴抛物线解析式为， ∵点D的坐标为，点B的坐标为，，， 设直线的解析式为， 则，解的， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为与y轴交点坐标为， ∴，， ∴， ∴，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标，求直线解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 13. 如下表是某学校食堂提供3种价位午餐（每人限购一份），已知A，B，C三种套餐在某天销售数量之比为，则当天学生购买午餐的平均费用是______元． A套餐 B套餐 C套餐 午餐费/元 10元 12元 15元 【答案】 【解析】 【分析】设当天种套餐销售了份，则当天种套餐销售了份，种套餐销售了份，利用当天学生购买午餐的平均费用等于总费用除以总份数，即可求出结论．本题考查了加权平均数，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出当天学生购买午餐的总费用及总份数是解题的关键． 【详解】解：设当天种套餐销售了份，则当天种套餐销售了份，种套餐销售了份， 根据题意得：， 当天学生购买午餐的平均费用是元． 故答案为：． 14. 如图，四边形的三个顶点在上，点D在的延长线上，若，则的度数为_____． 【答案】82 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作所对的圆周角，如图，先利用邻补角计算出，再利用圆内接四边形的性质计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：所对的圆周角，如图， ， ， ， ， ． 故答案为：82． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于A，B，将绕点A顺时针旋转得到，若点D的坐标为，则直线l的解析式为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，先根据旋转的性质得到点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法求出直线解析式即可． 【详解】∵点D的坐标为， ∴，， 由旋转可得， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线l的解析式为， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，弦，交于点F，满足，，若的半径长为3，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质．连接，，，先证明，推出，在和中利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 若的半径长为3， ∴，， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】x1=3+，x2=3﹣ 【解析】 【分析】先把-4移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. 【详解】解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13， 开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 18. 如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形 ， 在和中 ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，结合已知条件进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 19. 列方程解决实际问题： 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多，乙公司比甲公司人均多捐20元，甲、乙两公司各有多少人？ 【答案】甲公司有30人，乙公司有25人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙公司有x人，则甲公司有人，根据人均捐款钱数=捐款总数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙公司有x人，则甲公司有人， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲公司有300人，乙公司有250人． 20. 在数学实验课上，老师拿出一块如图所示的残缺圆形工件，让同学们运用已学知识，借助一些实验器材测出此残缺圆形工件的半径，小明的做法是：在工件圆弧上取A，B两点，连接，作的垂直平分线交于点C，交于点D，测出，，请你根据小明的做法，求出圆形工件的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 设圆心为O，连接，由题意知，O在直线上，则，，设圆形工件的半径为，则， ，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：设圆心为O，连接， 由题意知，O在直线上， 是的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， 圆形工件的半径为． 21. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，P是y轴右侧抛物线上一点，过点P作x轴垂线交直线于D，，求点P的坐标． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和结合综合，二次函数与x轴交点问题，解题的关键是分情况讨论． 首先求出，，，设，根据题意分和两种情况讨论，分别根据列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴当时， ∴，即， 当时， 解得或 ∴， ∴， 设 ①当时，如图作轴于E，连接， ∴， ． ②当时，如右图作轴于E，于F，连接， ∴， ． 综上所述，P的坐标为或． 22. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，点C的对应点为点D． （1）尺规作图：求作，使点A的对应点E恰好落在的延长线上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，作线段等于已知线段，即为所求； （2）设，由，可得，由旋转可知，，则，，证明，则，由，可得，则，进而结论得证． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴即为所求； 【小问2详解】 证明：设， ， ， 由旋转可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根等于另一根的倍，那么称这个方程为“系方程”． （1）若一元二次方程是“系方程”，求的值； （2）若一元二次方程是“系方程”，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）设、是的两个实数根，由根和系数的关系可得，，据此即可求解； （）由方程可得，， ，进而得或，得到或，分别代入方程计算即可求证； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，理解方程的新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，是的两个实数根， ，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由可得，， ， ∴方程是“系方程”， ∴或， ∴或， 即或， ①当时，； ②当时，； 综上所述，． 24. 综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； （2）求7m篱笆材料恰好用完时与之间的距离； （3）种植区域分隔完成后，榕榕又想用灯带对该金银花种植区域进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．为此，她尝试设计了如图3所示的矩形灯带，其中两个顶点G，H在抛物线上（可与A，B重合），另外两个顶点K，J在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） （2）1 （3）当时，矩形的周长取最大值 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可； （3）设G的横坐标为n，则H的横坐标为；表示矩形的面积，然后利用顶点式求出最值即可． 【小问1详解】 解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为， 由题意知，，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， 抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 则，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ，， 设直线解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ，， ，， ， ，解得或． 在的左侧， 与之间的距离为1； 【小问3详解】 解：如图，设G的横坐标为n，则H的横坐标为； ， ， 矩形的周长 当时，矩形的周长取最大值． 25. 如图，在中，，，D是的中点，连接，P在延长线上，将绕点P顺时针旋转90°得到点，且B，C，E三点在同一直线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点G，若交于点F，连接． ①求证：F是的中点． ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知，，， ， ， ， ； （2）①证明：连接，过点D作于M，于H， ，D是的中点， 平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， F是的中点； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，，然后利用同角的余角相等解题； （2）①连接，过点D作于M，于H，证明，然后得到，再连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； ②先证明四边形是正方形，然后根据勾股定理求出，然后过点G作于L，于K，根据面积求出，然后利用勾股定理解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， F是的中点， ， 过点G作于L，于K， 平分， ， ，， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $