精品解析：北京市第二十中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京二十中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 2. 下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转得到的图案是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转得到的图案是． 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变了图形的方向、不改变形状． 3. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵抛物线经过点、，， ∴， 故选：C． 4. 用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-5=0，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵x2-2x-5=0， ∴x2-2x=5， 则x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6， 故选D． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 5. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 6. 如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果． 【详解】解：，，， ， 由旋转所得， ， ， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列说法中不正确的是（ ） A. a＜0，c＜0 B. 4a＋b＝0 C. 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3 D. 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，可得a＜0，c＜0；根据抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，可得 ；设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为 ，再由抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，可得抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为，可得到方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3，根据图象可得当 或 时，抛物线的图象位于x轴的下方，从而得到不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 或，即可判断． 【详解】解：A、观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴a＜0，c＜0，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2， ∴ ，即 ，故B正确，不符合题意； C、设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为 ， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)， ∴ ，解得： ， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3，故C正确，不符合题意； 观察图象得：当 或 时，抛物线的图象位于x轴的下方， ∴不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 或，故D不正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与x轴、y轴的交点，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 8. 如图，中，，，射线绕点逆时针旋转，得到射线，若射线与直线相交，则交点记作点．给出3个结论：①当时，；②当时，；③当时，射线与直线没有交点．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得到，，①如图，由，，得到，，根据等腰三角形的性质得到①正确；②如图，由，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到，故②正确；③如图，由，，得到当时，，于是得到当时，射线与直线没有交点．故③正确． 【详解】解：，， ，， ①如图，，， ，， ， ，故①正确； ②如图，， ， ， ，故②正确； ③如图，，， 当时，， 当时，射线与直线没有交点．故③正确； 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴, 即，， 故答案为：，． 10. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②图象过原点____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，根据二次函数的图象，开口向下即，经过原点即，即可以写出一个二次函数，注意本题答案不唯一． 【详解】解：一个二次函数满足条件：①开口向下；②图象过原点， 该函数可以是：， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点的坐标为（2，0），则点B的对应点的坐标为________． 【答案】（0,1） 【解析】 【详解】由图可知：的坐标为（0，1）， 故答案为：（0,1）． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程，根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：1． 13. 某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用第3年的销售量=第一年的销售量每年销售量的增长率，即可得出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，据此作图确定旋转中心，然后直接读出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为旋转中心． 故答案为：． 16. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程 __（填“是”或“否” “邻根方程”； （2）已知关于的方程是非负数）是“邻根方程”，则 __． 【答案】 ①. 是 ②. 0 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解一元二次方程因式分解法，一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出方程的根即可判断； （2）求出方程的根，再根据“邻根方程”的定义求出的值． 【详解】解：（1）， ， 或， ，， 方程是“邻根方程”． 故答案为：是； （2）， ， 或， ，， 关于的方程是非负数）是“邻根方程”， 或0， 是非负数， ． 故答案为：0． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26每小题5分，第27-28题每小题5分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解方程的方法是解题的关键；利用因式分解即可求解． 【详解】解：分解因式得：， 即， ∴，． 18. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ，． 线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE， ，． ． ． 在△EAB和△DAC中， ， ≌． （2）45° 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，，再由旋转的性质，可得，，从而得到，再证≌即可； （2）根据题意可得为等边三角形．可得，根据三角形全等可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】（1）略 解： ，， 为等边三角形． ， ≌． ． ∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程的解的定义可得，再化简代数式，然后把代入，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 20. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 【答案】（1） （2）上；不在． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数为，则，故该二次函数的图象的开口向上，又当时，，故点不在该函数的图象上，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，二次函数为， 该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 由题意，二次函数为， ． 该二次函数的图象的开口向上． 又当时，， 点不在该函数的图象上． 故答案为：上；不在． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值． 【答案】（1） 证明： ． ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解方程， 可得， 解得，， 若方程有一个根为负数，则， 故， 正整数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）点B的坐标为； 画图得： （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式求解， （2）根据点A，B坐标及图象求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴B点坐标为， 列表得： x 0 1 2 3 y 3 0 0 3 【小问2详解】解：，，如图，一次函数的图象过A，B两点， 由图形可得：或时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 23. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标； （2）将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并直接写出将点向右平移到内部（不包括三角形的边界）的长度m的取值范围． 【答案】（1）点B1的坐标为． （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质． （1）利用平移的性质作出对应点，再写出坐标即可． （2）利用旋转的性质作图，设与网格的交点分别为，由图可得向右平移个单位长度到，平移个单位长度到，即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的坐标为， 设与网格的交点分别为，如图， 点坐标为，点坐标为， 向右平移从点到点，在的内部， 向右平移个单位长度到，平移个单位长度到， 24. 如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． （1）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； （2）若使得改造后的面积最大，求此时的值． 【答案】（1），2 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． （1）根据 ，表示出和，然后利用面积公式求解，再若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等列出方程求解． （2）由改造后的矩形苗圃的面积来求解． 【小问1详解】 解：设的长度为米， 根据题意得（米），（米）， 改造后的矩形苗圃的面积为. 若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等， ， 整理得， 解得，（不符合题意合去） 答：此时的值为2． 故答案为：． 【小问2详解】 解：改造后的矩形苗圃的面积， 当时，使得改造后的面积最大， 即此时的值为1． 25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出击球点的高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， 故击球点的高度为； 【小问2详解】 由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， 【小问3详解】 第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识， （1）将，代入解析式，得出即可得解； （2）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 ，， ， ， ， 【小问2详解】 ， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧，随的增大而减小． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 27. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）依据题意，补全图形； （2）求的度数； （3）作于点E，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 根据题意补全图形如下： （2） （3） ，证明如下： 如图：作，交于点F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， 在和中 ， ∴， ∴，， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得，进而得到得到．进一步即可得到答案； （3）如图：作，交于点F．证明．再证明，得到、、，，进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点， （1）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　 　（填序号） ①，②，③ （2）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围； （3）若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当绕点旋转时有最小值，求出此时，当绕中点旋转时，有最大值为，根据的取值判断即可； （2）求出直线与轴和轴的交点和，连接，由勾股定理得出，且，要使直线是线段的联络图形，则，即可求出的取值范围； （3）当点在轴和轴上时分别求出的临界值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于， ，， ，， ， 在中，， 即若直线是线段的联络图形，最小取值为， 如图，将线段绕中点顺时针旋转， 此时点刚好落到直线上的点， 即若直线是线段的联络图形，最大取值为， ， 故答案为：②③； 【小问2详解】 设直线与轴和轴的交点分别为点和点， 在直线中，当时，，当时，， ，， ，， 在中，， ， ①若点在点左侧，连接，如图， ， ， 在中，， ，， ， 故， 直线是线段的联络图形， ， 即， ； ②若点在点右侧，在上取一点，使，如图， 由①知， ， ， 直线是线段的联络图形， ， 即， ， 综上，的取值范围为或； 【小问3详解】 由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限， 当点在轴上时，绕点旋转顺时针旋转得到，交于点， ，， ， ； 当点在轴上时，如图， 绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，延长交轴于， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 即此时， 点在第一象限， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，特殊角三角函数等知识，熟练掌握一次函数的性质，特殊角三角函数及正确理解线段的联络图形这一新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京二十中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，， 2. 下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转得到的图案是（　　） A. B. C. D. 3. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-5=0，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列说法中不正确的是（ ） A. a＜0，c＜0 B. 4a＋b＝0 C. 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3 D. 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3 8. 如图，中，，，射线绕点逆时针旋转，得到射线，若射线与直线相交，则交点记作点．给出3个结论：①当时，；②当时，；③当时，射线与直线没有交点．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的解是______． 10. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②图象过原点____________． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点的坐标为（2，0），则点B的对应点的坐标为________． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_______． 13. 某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为______． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到____________． 16. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程 __（填“是”或“否” “邻根方程”； （2）已知关于的方程是非负数）是“邻根方程”，则 __． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26每小题5分，第27-28题每小题5分） 17. 解方程：． 18. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 19. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 20. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 23. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标； （2）将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并直接写出将点向右平移到内部（不包括三角形的边界）的长度m的取值范围． 24. 如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． （1）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； （2）若使得改造后的面积最大，求此时的值． 25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出击球点的高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）依据题意，补全图形； （2）求的度数； （3）作于点E，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点， （1）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　 　（填序号） ①，②，③ （2）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围； （3）若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $