九年级上册学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·19　 · 九年级上册学业水平测试 (时间:120 分钟 满分:120 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 一元二次方程 9x2 = 8x+2 化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是 (　 　 ) A. 9x2,8x,2 B. -9x2,-8x,-2 C. 9x2,-8x,-2 D. 9x2,-8x,2 2. 如图,AC 与 BD 相交于点 O,DC∥AB. 若BO OD = 3 4 ,CO= 8,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 3. (新素材·地域特色)“灼灼媚眼沁桃花,皮薄肉腴入口佳. 天女贪食怕人笑,强留云腿作琵琶” . 诗中 提到的宣威火腿是云南著名地方特产之一,也是国家地理标志证明商标. 某县大力推进宣威火腿产 业发展,助力乡村振兴. 已知该县 2021 年生产宣威火腿 657 吨,2023 年产量达到 795 吨. 若设这两年 宣威火腿产量的年平均增长率为 x,则可列方程为 (　 　 ) A. 795(1+x) 2 = 657 B. 657(1+x) 2 = 795 C. 657(1+2x)= 795 D. 795(1-x) 2 = 657 4. 在 Rt△ABC 中,AB= 6,BC= 8,则这个三角形的内切圆的半径是 (　 　 ) A. 5　 B. 2　 C. 5 或 2　 D. 2 或 7 -1 5. 《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆. ”度方知圆,感悟数学之美. 如图,正方形 ABCD 的 面积为 1,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形 A′B′C′D′. 若 A′B′ ∶ AB = 2 ∶ 1,则四边 形 A′B′C′D′的外接圆的周长为 (　 　 ) A. 4 2 π B. 3 2 π C. 2 2 π D. 2 π 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 如图,为方便行人推车过天桥,市政府在 10 m 高的天桥两端分别修建了 50 m 长的斜道. 用科学计算 器计算这条斜道的倾斜角,下列按键顺序正确的是 (　 　 ) A. sin 0 . 2 = 　 B. 2ndF sin 0 . 2 = C. tan 0 . 2 = 　 D. 2ndF tan 0 . 2 = 7. 为了测量一个铁球的直径,工人将该铁球放入工件槽内,测得的有关数据如图所示(单位:cm),则该 铁球的直径为 (　 　 ) A. 12 cm　 B. 10 cm　 C. 8 cm　 D. 6 cm 8. 如图,在 Rt△ACB 中,∠CAB= 90°,AD⊥BC 于点 D,BD= 2,tanC= 1 2 ,则线段 AC 的长为 (　 　 ) A. 10　 B. 8　 C. 8 5 　 D. 4 5 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 我们都知道蜂巢是由很多个正六边形组合成的. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空 间最大、也最为坚固. 如图,某蜂巢的房孔是边长为 6 的正六边形 ABCDEF. 若☉O 的内接正六边形 为正六边形 ABCDEF,则 BF 的长为 (　 　 ) A. 12 B. 6 2 C. 6 3 D. 12 3 10. 如图,一块材料的形状是等腰三角形 ABC,底边 BC = 120,高 AD = 120. 若把这块材料加工成正方体 零件(阴影部分为正方体展开图),则正方体的棱长为 (　 　 ) A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 已知 m,n 是关于 x 的一元二次方程 x2 -2ax+a2 +a-2 = 0 的两实根,那么 m+n 的最大值是　 　 　 　 . 12. 如图,☉O 上有三点 A,B,C,半径 OC = 1,∠ABC = 30°,☉O 的切线 PA 交 OC 的延长线于点 P. 从现 图中选取一条以 P 为端点的线段,此线段的长为　 　 　 　 . (注明选取的线段) 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 13. 点 A( t,2)在第二象限内,OA 与 x 轴所夹的锐角为 α,tanα= 3 2 ,则 t 的值为　 　 　 　 . 14. (新素材·传统文化)扇子最早称“翣”,在我国已有两千多年历史. “打开半个月亮,收起兜里可装, 来时荷花初放,去时菊花正黄. ”这则谜语的谜底就是扇子. 如图,一竹扇完全打开后,外侧两竹条 AB,AC 的夹角为 135°,AB 的长为 30 cm,贴纸部分的宽 BD 为 20 cm,则扇面的面积为 . 15. (新考法·跨学科)如图是凸透镜成像的原理示意图,且 AD∥l∥BC,光屏上显示的缩小的实像高 8 cm. 若物体 AH 到焦点 F1 的距离 HF1 与焦点 F1 到凸透镜中心线 BD 的距离 OF1 之比为 5 ∶ 4,则 物体的高为 . 16. 如图,在☉O 中,MF 为直径,OA⊥MF,圆内接正五边形 ABCDE 的部分尺规作图步 骤如下:①作出半径 OF 的中点 H;②以点 H 为圆心,HA 的长为半径作圆弧,交直径 MF 于点 G;③AG 的长即为正五边形的边长,依次作出各等分点 B,C,D,E. 已知☉O 的半径 R= 2,则 AB2 = 　 　 　 　 . (结果保留根号) 三、解答题(共 72 分) 17. (8 分)解方程: (1)2x2 -2 2 x+1 = 0;　 　 (2)(x+2) 2 -2x= 4. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. (8 分)如图,四边形 ABCD 内接于一圆,CE 是边 BC 的延长线. (1)求证:∠DAB= ∠DCE; (2)若∠DAB= 60°,∠ACB= 70°,求∠ABD 的度数. 19. (8 分)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,E 为边 BC 上一点,连接 BD,AE,它们相交于点 F,且 ∠BDA= ∠BAE. (1)求证:BE2 =EF·AE; (2)若 BE= 4,EF= 2,DF= 9,求 AB 的长. 20. (8 分)某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动,如图,此时无人机 在离地面 30 m 的点 D 处,操控者站在点 A 处,无人机测得点 A 的俯角为 37°,测得教学楼楼顶点 C 处的俯角为 45°. 又经过人工测量得到操控者和教学楼 BC 的距离为 57 m. 求教学楼 BC 的高度. (注:点 A,B,C,D 都在同一平面内,无人机大小忽略不计. 参考数据:sin37°≈0. 60,cos37°≈0. 80, tan37°≈0. 75) 21. (8 分)如图,四边形 ABCD 内接于☉O,∠BAD = 90°,AC 是四边形 ABCD 的对角线. 点 E 在 BC 的延 长线上,且∠CED= ∠BAC. (1)判断 DE 与☉O 的位置关系,并说明理由; (2)BA 与 CD 的延长线交于点 F. 若 DE∥AC,AB= 4,AD= 2,求 AF 的长. 22. (10 分)已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 +2(m-3)x+m2 +1 = 0 的两个根. (1)当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根; (2)若以 x1,x2 为对角线的菱形的边长是 3 ,试求 m 的值. 23. (10 分)李明在家制作一种工艺品,并通过网络平台进行线上销售. 经过一段时间后发现:当售价是 40 元 /件时,每天可售出该工艺品 60 件,且售价每降低 1 元,就会多售出 3 件. 设该工艺品的售价为 x(20≤x≤40)元 /件. (1)请用含 x 的代数式表示每天能售出该工艺品的件数; (2)已知每件工艺品的成本为 20 元,每天销售该工艺品的纯利润为 900 元. ①求该工艺品的售价; ②为了支持困难群众,李明决定每销售 1 件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款 0. 5 元. 求李明每天通过销售该工艺品捐款的数额. 24. (12 分)(新考法·阅读理解)【阅读理解】如图 1,在 Rt△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对 边,∠C= 90°,其外接的圆半径为 R. 根据锐角三角函数的定义:sinA= a c ,sinB= b c ,可得 a sinA = b sinB = c = 2R,即 a sinA = b sinB = c sinC = 2R(规定 sin 90° = 1) . 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 【探究活动】如图 2,在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,其外接圆的半径为 R,那么 a sinA 　 　 　 　 b sinB 　 　 　 　 c sinC (用“ >”“ = ”或“ <”连接),并说明理由. 事实上,以上结论适用于任意三角形. 【初步应用】在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,∠A= 60°,∠B= 45°,a= 8. 求 b. 【综合应用】如图 3,在某次数学活动中,小凤同学测量一古塔 CD 的高度,在 A 处用测角仪测得塔顶 C 的仰角为 15°,又沿古塔的方向前行了 100 m 到达 B 处,此时 A,B,D 三点在一条直线上,在 B 处 测得塔顶 C 的仰角为 45°. 求古塔 CD 的高度. (结果保留小数点后一位,参考数据: 3 ≈1. 732, sin 15° = 6 - 2 4 ) · 20·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 综上所述,a4 +b4 的值为45 4 或 45±7 41 4 . (3)令 1 m2 =a,-n= b. 则实数 a,b 满足 a2 +a-7 = 0,b2 +b-7 = 0. ∵ n>0,∴ 1 m2 ≠-n,即 a≠b. ∴ a,b 是方程 x2 +x-7 = 0 的两个不相等的实数根. ∴ a+b= -1, ab= -7.{ ∴ 1 m4 +n2 =a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab= 15. 九年级上册学业水平测试 1. C　 【解析】方程整理,得 9x2 -8x-2 = 0,则二次项、一次 项、常数项分别为 9x2,-8x,-2. 故选 C. 2. C　 【解析】∵ AC 与 BD 相交于点 O,DC∥AB,∴ BO OD = AO CO . ∵ BO OD = 3 4 ,CO = 8,∴ 3 4 = AO 8 . ∴ AO = 6. ∴ AC = AO+ CO= 6+8 = 14. 故选 C. 3. B 4. D　 【解析】设 Rt△ABC 内切圆的圆心为点 I,半径为 r, 三边上的切点分别为 D,E,F,连接 ID,IE,IF,得正方形, 则正方形的边长即为内切圆的半径 r. 如图 1,当 BC 为 直角边时,AC = AB2 +BC2 = 10. 根据切线长定理,得 AF=AD= AB-BD = 6-r,CF = CE = BC-BE = 8- r. ∵ AC = AF+FC= 10,∴ 6-r+8-r= 10. 解得 r= 2. 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 如图 2,当 BC 为斜边时,AC = BC2 -AB2 = 2 7 . 根据切 线长定理,得 BF=BD= 6-r,CF=CE = 2 7 -r. ∴ BC =BF+ CF= 6-r+2 7 -r = 8. 解得 r = 7 -1. 故这个三角形的内 切圆的半径是 2 或 7 -1. 故选 D. 5. C　 【解析】如图,连接B′D′,设B′D′的中点为 O.∵ 正方形ABCD∽正方形 A′B′C′D′,相似 比为 1 ∶ 2,正方形 ABCD 的面积为 1, ∴ 正方形 A′B′C′D′的面积为 4. ∴ A′B′= A′D′ = 2. ∵ ∠B′A′D′ = 90°,∴ B′D′ = 2A′B′ = 2 2 . ∴ 四边形 A′B′C′D′的外接圆的周长为 2 2 π. 故选 C. 6. B　 【解析】∵ sinA = 10 50 = 0. 2,∴ 用科学计算器按键的顺 序为 2ndF sin 0 . 2 = . 故选 B. 7. B　 【解析】如图,各点用字母表示,连接 AB,OA,OC,OC 交 AB 于点 E. ∵ CD 是☉O 的切线, C 为切点, ∴ OC ⊥ CD. ∵ AB∥CD, ∴ OC ⊥ AB. ∴ AE = 1 2 AB = 4 cm. ∵ OA= OC, CE = AD = 2 cm, ∴ 在 Rt△OAE 中,OA2 = AE2 +(OC-CE) 2,即 OA2 = 42 +(OA- 2) 2 . 解得 OA = 5. ∴ 该铁球的直径为 2OA = 10 cm. 故 选 B. 8. D　 【解析】∵ ∠CAB = 90°,AD⊥BC 于点 D,∴ ∠B+∠C = 90°,∠B+∠BAD = 90°. ∴ ∠BAD = ∠C. 在 Rt△ABD 中, ∠ADB= 90°,BD = 2,∵ tan∠BAD=BD AD = 1 2 ,∴ AD = 2BD = 4. ∴ AB = BD2 +AD2 = 2 5 . 在 Rt△BAC 中, ∠CAB = 90°,AB= 2 5 ,tanC=AB AC = 1 2 ,∴ AC= 2AB= 4 5 . 故选 D. 9. C　 【解析】如图,连接 OA,OB,BF 与 OA 交于点 G. ∵ 六边形 ABCDEF 是☉O 的 内接正六边形,∴ AB = AF = 6,∠AOB = 360° 6 = 60°. ∴ OA⊥BF. ∴ BG =FG. ∵ OA = OB,∴ △OAB 是等边三角形. ∴ OB = AB = 6. 在Rt△BOG 中,∠O = 60°,OB = 6, sin ∠GOB = BG OB ,∴ BG = 3 2 OB = 3 3 . ∴ BF= 2BG= 6 3 . 故选 C. 10. B　 【解析】设正方形的边长 MN 为 a. ∵ AD 为△ABC 的高,∴ ∠ADB = 90°. ∵ MN∥BC,∴ ∠APM = ∠ADB = 90°. ∵ MN∥BC,∴ △AMN∽△ABC. ∴ MN BC =AP AD ,即 a 120 = 120-4a 120 . ∴ a= 24,即正方体的棱长为 24. 故选 B. 11. 4　 【解析】∵ m,n 是关于 x 的一元二次方程 x2 -2ax+ a2 +a-2 = 0 的两实根,∴ Δ = 4a2 -4(a2 +a-2)= 8-4a≥ 0. ∴ a≤2. 由一元二次方程根与系数的关系可得 m+n = 2a. ∴ m+n= 2a≤4. ∴ m+n 的最大值是 4. 12. PA= 3 (答案不唯一) 【解析】如图,连接 OA. ∵ ∠ABC= 30°,∴ ∠AOC = 2∠ABC = 60°. ∵ AP 是☉O 的切线,∴ ∠OAP = 90°. ∵ OA=OC = 1,tan∠AOP = AP OA ,∴ AP =OA·tan 60° = 1× 3 = 3 . 13. - 4 3 　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥ x 轴于点 E. 由题意,得 tanα = AE EO = 3 2 . ∵ 点 A( t,2),∴ AE = 2,OE = - t. ∴ 2-t = 3 2 . ∴ t= - 4 3 . 14. 300π cm2 　 【解析】 ∵ AB = 30 cm,BD = 20 cm,∴ AD = 10 cm. ∵ ∠BAC=135°,∴ 扇面的面积为 S扇形BAC -S扇形DAE = 135π×(302 -102) 360 = 300π(cm2) . 15. 10 cm　 【解析】∵ l∥BC,CG⊥l,BO⊥l,∴ 四边形 OBCG 是矩形. ∴ OB = CG = 8 cm. ∵ AH∥OB,∴ △AHF1 ∽ △BOF1 . ∴ AH BO = HF1 OF1 = 5 4 ,即AH 8 = 5 4 . ∴ AH = 10 cm,即 物体的高为 10 cm. 16. 10- 2 5 　 【解析】如图,连接 AG. 由 作图步骤,可知 OA = 2,OH = 1,AH = 22 +12 = 5 . ∵ AH=HG= 5 ,∴ OG = GH-OH = 5 - 1. ∴ AB2 = AG2 = OA2 + OG2 = 4+( 5 -1) 2 = 10-2 5 . 17.解:(1)( 2 x-1) 2 = 0, 2 x-1 = 0, x1 = x2 = 2 2 . (2)x2 +4x+4-2x-4 = 0, x2 +2x= 0, x(x+2)= 0, x= 0 或 x+2 = 0, x1 = 0,x2 = -2. 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 内接于一圆, ∴ ∠DAB+∠DCB= 180°. ∵ ∠DCE+∠DCB= 180°,∴ ∠DAB= ∠DCE. (2)解:∵ ∠ACB= 70°,∴ ∠ADB= ∠ACB= 70°. 在△ABD 中,∠DAB= 60°,∠ADB= 70°, ∴ ∠ABD= 180°-60°-70° = 50°. 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DBC= ∠BDA. ∵ ∠BDA= ∠BAE,∴ ∠DBC= ∠BAE. ∵ ∠BEF= ∠AEB,∴ △EBF∽△EAB. ∴ BE AE =EF EB . ∴ BE2 =EF·AE. (2)解:∵ BE2 =EF·AE,BE= 4,EF= 2, ∴ AE=BE 2 EF = 4 2 2 = 8. ∴ AF=AE-EF= 8-2 = 6. ∵ BE∥AD,∴ BF DF =EF AF ,即BF 9 = 2 6 . 解得 BF= 3. ∵ △EBF∽△EAB,∴ BF AB =EF EB ,即 3 AB = 2 4 . ∴ AB= 6. 20. 解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,过点 C 作 CF⊥DE 于点 F,则四边形 BCFE 是矩形. 由题意,得 AB = 57 m,DE = 30 m,∠DAB = 37°,∠DCF = 45°. 在 Rt△ADE 中,∠AED=90°, ∴ tan∠DAE=DE AE ,即30 AE ≈0. 75. ∴ AE= 40 m. ∵ AB= 57 m, ∴ BE=AB-AE= 17 m. ∵ 四边形 BCFE 是矩形, ∴ CF=BE= 17 m,BC=EF. 在 Rt△DCF 中,∠DFC = 90°, ∠DCF= 45°, ∴ ∠CDF= ∠DCF= 45°. ∴ DF=CF= 17 m. ∴ EF=DE-DF= 30-17 = 13(m) . ∴ BC=EF= 13 m. ∴ 教学楼 BC 的高度约为 13 m. 21.解:(1)DE 与☉O 相切. 理由如下: 如图 1,连接 BD. 图 1 ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于 ☉O, ∠BAD= 90°, ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°, BD 是 ☉O 的直径,即点 O 在 BD 上. ∴ ∠BCD= 90°. ∴ ∠CED+∠CDE= 90°. ∵ ∠CED=∠BAC,∠BAC=∠BDC, ∴ ∠CED= ∠BDC. ∴ ∠BDC+∠CDE= 90°,即∠BDE= 90°. ∴ DE⊥BD. ∵ BD 是☉O 的直径,∴ DE 与☉O 相切. (2)如图 2,设 BD 与 AC 交于点 H. 图 2 ∵ DE∥AC, ∴ ∠BHC= ∠BDE= 90°. ∴ BD⊥AC. ∴ AH=CH. ∴ BC=AB= 4,CD=AD= 2. ∵ ∠FAD=∠FCB=90°,∠F=∠F, ∴ △FAD∽△FCB. ∴ AF CF =AD CB = 2 4 . ∴ CF= 2AF. 设 AF= x,则 DF=CF-CD= 2x-2. 在 Rt△ADF 中,DF2 =AD2 +AF2, ∴ (2x-2) 2 = 22 +x2 . 解得 x1 = 8 3 ,x2 = 0(舍去) . ∴ AF 的长为 8 3 . 22.解:(1)由题意,得 Δ = [2(m-3)] 2 -4(m2 +1)= 32-24m. 要使方程有两个不相等的实数根,则 Δ>0,即 32-24m> 0. 解得 m< 4 3 . ∴ 当 m< 4 3 时,方程有两个不相等的实数根. (2)∵ x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 +2(m-3)x+m2 + 1 = 0 的两个根, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 62·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·63　 · ∴ x1 +x2 = -2(m-3),x1x2 =m2 +1. ∵ x1,x2 为菱形的对角线,且菱形的对角线互相垂直 平分, ∴ ( 12 x1 ) 2 + ( 12 x2 ) 2 = 3. ∴ x21 +x22 = 12. ∴ (x1 +x2) 2 -2x1x2 = 12. ∴ [ -2(m-3)] 2 -2(m2 +1)= 12. ∴ m2 -12m+11 = 0. 解得 m1 = 1,m2 = 11. ∵ m< 4 3 ,∴ m= 11 不符合题意,舍去. ∴ m 的值为 1. 23.解:(1)∵ 该工艺品的售价为 x(20≤x≤40)元 /件,当 售价是 40 元 /件时,每天可售出该工艺品 60 件,且售 价每降低 1 元,就会多售出 3 件, ∴ 每天能售出该工艺品的件数为 60 + 3 ( 40 - x) = 180-3x. (2)①依题意,得(x-20)(180-3x)= 900. 整理,得 x2 -80x+1 500 = 0. 解得 x1 = 30,x2 = 50(不符合题意,舍去) . ∴ 该工艺品的售价为 30 元 /件. ②0. 5×(180-3×30)= 45(元) . ∴ 李明每天通过销售该工艺品捐款 45 元. 24.解:【探究活动】 a sinA = b sinB = c sinC . 理由如下: 如图,连接 CO 并延长交☉O 于点 D, 连接 BD. ∵ ∠A= ∠D,∠DBC= 90°, ∴ sinA= sinD,sinD= a 2R . ∴ a sinA = a a 2R = 2R. 同理可证: b sinB = 2R, c sinC = 2R. ∴ a sinA = b sinB = c sinC = 2R. 【初步应用】∵ a sinA = b sinB = 2R,∴ 8 sin 60° = b sin 45° . ∴ b= 8sin 45° sin 60° = 8× 2 2 3 2 = 8 6 3 . 【综合应用】由题意,得∠CDB = 90°,∠A = 15°,∠DBC = 45°,AB = 100 m,∴ ∠ACB = ∠DBC - ∠A = 45° - 15° = 30°. 设古塔 CD 的高度为 x m,则 BC= 2 x m. ∵ AB sin∠ACB = BC sinA ,∴ 100 sin 30° = 2 x sin 15° ,即100 1 2 = 2 x 6 - 2 4 . ∴ x= 50( 3 -1)≈50×0. 732 = 36. 6(m) . ∴ 古塔 CD 的高度约为 36. 6 m. 第 5 章考点梳理与复习 考点一　 函数 1. A　 2. C　 【解析】由题意,可得 x +1>0, x-2≠0.{ 解得 x>-1 且 x≠2. 故 选 C. 3. D　 【解析】海拔越高,大气压越小,A 选项不符合题意; 图中的图象不是一条直线,所以不是一次函数的图象,B 选项不符合题意;海拔为 4 千米时,由图中读数,可知大 气压应该是 60 千帕左右,C 选项不符合题意;图中曲线 表达的是大气压和海拔两个量之间的变化关系,D 选项 符合题意. 故选 D. 考点二　 反比例函数 4. C　 【解析】反比例函数 y = -2 024 x ,当 x>0 时,y 随 x 的 增大而增大,C 选项不正确,符合题意. 故选 C. 5. B 6. A　 【解析】∵ 反比例函数 y = - 1 x ,k = -1<0,∴ 函数图象 的两个分支分别位于第二、四象限,且在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. ∵ x1 <0<x2,∴ 点 A 在第二象限,点 B 在第四象限. ∴ y1 >0,y2 <0. ∴ y1 >y2 . 故选 A. 7. A　 【解析】设反比例函数的表达式为 y = k x (x≥10) . 将 (10,80)代入,得 y= 800 x . 当车辆的行驶速度为 20 km / h 时,有 20 = 800 x . 解得 x= 40. 故高架桥上每百米拥有车的 数量 x 应该满足的范围是 0<x≤40(x 为整数) . 故选 A. 8. -9　 【解析】如图,过点 A 作 AC⊥x 轴 于点 C,过点 B 作 BD⊥ x 轴于点 B. ∵ A 是双曲线 y= 1 x (x<0)上一动点,设 A ( x, 1x ) . ∴ OC= -x,AC = - 1 x . ∵ OB⊥ OA,∴ ∠BOD+∠AOC= ∠AOC+∠OAC = 90°. ∴ ∠BOD = ∠OAC. ∵ ∠BDO = ∠OCA,∴ △BDO∽ △OCA. ∴ BD OC = OD AC = BO OA = 3. ∴ OD = 3AC = - 3 x , BD = 3OC = - 3x. ∴ B ( - 3x ,3x ) . ∵ 点 B 在双曲线 y = k x 上,∴ k = - 3 x ×3x = -9. 9.解:(1)将 A(1,6)代入 y= m x ,得 m= 6. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . 把 B(3,n)代入 y= 6 x ,得 n= 6 3 = 2. ∴ B(3,2) . 将 A(1,6)和 B(3,2)代入 y= kx+b,得 k +b= 6, 3k+b= 2.{ 解得 k= -2, b= 8.{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -2x+8. (2)kx+b>m x (x>0)时 x 的取值范围为 1<x<3. (3)如图,设直线 AB 交 x 轴于点 D. 当 y= 0 时,-2x+8 = 0. 解得 x= 4. ∴ D(4,0) . ∴ S△AOB =S△AOD -S△BOD = 1 2 ×4×6- 1 2 × 4×2 = 8. 考点三　 二次函数的图象和性质 10. C　 11. D　 12. C 13. D　 【解析】①由图象,可知 a<0,b>0,c>0,∴ abc<0. 故 ①错误;②由于 a<0,∴ -2a>0. 又∵ b>0,∴ b-2a>0. 故 ②错误;③当 x= -1 时,y=a-b+c<0,故③错误. 故选 D. 14.解:(1)3 (2)根据题意,得 c= 3, a+b+c= 0, 4a+2b+c= -1. { 解得 a= 1, b= -4, c= 3. { ∴ 这个二次函数的表达式是 y= x2 -4x+3. (3) -1≤y<3 考点四　 二次函数与一元二次方程 15. B　 【解析】∵ x1,x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的两 个根,∴ x1,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标. ∵ 抛物 线的对称轴为直线 x = 2,∴ x1 +x2 = 4>0. 故选项 A 错 误;∵ x1 <x2,-1<x1 <0,∴ -1<4-x2 <0. 解得 4<x2 <5. 故 选项 B 正确. 故选 B. 16. D　 【解析】如图,关于 x 的一元二次方程-x2 +mx-t = 0 的解就是抛物线 y= -x2 +mx 与直线 y = t 的交点的横坐 标. 由题意,可知 m= 4. 当 x= 1 时,y = 3. 当 x = 2 时,y = 4. 当 x = 5 时,y = - 5. ∵ 关于 x 的一元二次方程-x2 + mx-t= 0( t 为实数)在 1<x<5 的范围内有解,则直线 y= t 在直线 y= -5 和直线 y= 4 之间,包括直线 y= 4. ∴ t 的 取值范围为-5<t≤4. 故选 D. 17. C 考点五　 二次函数的应用 18. D 19.解:(1)我认同小莹的观点. 理由如下: 在第一象限内,函数 y= m x (m>0)中 y 随 x 的增大而减 小,这与两幅图中年产量 y 随 x 的增大而增大不符, ∴ 不能选 y= m x (m>0) . (2)用 y= kx+b(k>0)模拟①号田的年产量变化趋势. 将(1,1. 5)(2,2. 0)代入 y= kx+b,得 k +b= 1. 5, 2k+b= 2.{ 解得 k= 0. 5, b= 1.{ ∴ ①号田的函数表达式为 y= 0. 5x+1. 用 y= -0. 1x2 +ax+c 模拟②号田的年产量变化趋势. 将(1,1. 9)(2,2. 6)代入 y= -0. 1x2 +ax+c, 得 -0. 1+a+c= 1. 9, -0. 4+2a+c= 2. 6.{ 解得 a= 1, c= 1.{ ∴ ②号田的函数表达式为 y= -0. 1x2 +x+1. (3)设总年产量为 w 吨. w= 0. 5x + 1 + ( - 0. 1x2 + x + 1) = - 0. 1x2 + 1. 5x + 2 = -0. 1(x-7. 5) 2 +7. 625. 当 x= 7 或 8 时,w 取得最大值 7. 6. ∴ ①号田和②号田总年产量在 2025 年或 2026 年最 大,最大是 7. 6 吨. 20.解:(1)∵ y= x·50 -x 2 = - 1 2 (x-25) 2 +625 2 , ∴ 当 x= 25 时,y 最大,即饲养室的长 x 为 25 m 时,占 地面积 y 最大. (2)∵ y= x·50 -(x-2) 2 = - 1 2 (x-26) 2 +338, ∴ 当 x= 26 时,y 最大,即饲养室的长 x 为 26 m 时,占 地面积 y 最大. ∵ 26-25 = 1(m),1≠2, ∴ 小敏的说法不正确. 21.解:(1)将 B(3,0),D ( -2,- 52 )代入 y=ax 2 +x+c, 得 9a+3+c= 0, 4a-2+c= - 5 2 .{ 解得 a= - 1 2 , c= 3 2 . ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 +x+ 3 2 . 令 x= 0,则 y= 3 2 ,∴ 点 C 的坐标为 (0, 32 ) . (2)如图,连接 BC,过点 M 作 MN∥y 轴交 BC 于点 N. 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b. 将 B(3,0),C 0, 3 2( ) 代入, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋