阶段性检测-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 9　 · 阶段性检测 (考试范围:第 1 章~第 2 章)(时间:120 分钟 满分:120 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 3tan 60°的值为 (　 　 ) A. 3 6 B. 3 C. 3 3 2 D. 3 3 2. 在 Rt△ABC 中,各边都扩大至原来的 10 倍,则∠A 的三角函数值 (　 　 ) A. 不变 B. 扩大至原来的 10 倍 C. 缩小至原来的 1 10 D. 不能确定 3. 已知 cosA= 0. 265 9,用科学计算器求锐角 A 时(在开机状态下),按下的第一个键是 (　 　 ) A. sin B. DMS C. ab / c D. 2ndF 4. 如图,直线 l1∥l2∥l3,直线 AC 和 DF 被直线 l1,l2,l3 所截,AB= 5,BC= 6,EF= 4,则 DF 的长为 (　 　 ) A. 2 B. 10 3 C. 22 3 D. 6. 5 第 4 题图 　 　 图 1 　 图 2 第 5 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 5. (新素养·抽象能力)如图 1 是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图,图 2 是它的侧面示意图,AD 和 CB 相交于点 O,点 A,B 之间的距离为 1. 2 m,AB∥CD,根据图 2 中的数据,可得点 C,D 之间的距离为 (　 　 ) A. 0. 8 m B. 0. 86 m C. 0. 96 m D. 1 m 6. 如图,平行于正多边形一边的直线,将正多边形分割成两部分,则阴影部分多边形与原多边形相似 的是 (　 　 ) A B C D 7. 如图,在△AOB 中,AD,BC 是△AOB 的两条高,AD = 2OD,连接 CD,有下列结论: ①BC = 2OC; ②△AOB∽△DOC;③AB CD = 5 . 其中正确的结论有 (　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 8. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层,会考虑使用“飞梯”(可跨楼层抵达的超高超长 的自动扶梯) . 上海大悦城的“飞梯”从 3 层直达 7 层,“飞梯”的截面如图所示,AB = 50 m,AB 与 AC 的夹角为 24°,则 BC= (　 　 ) A. 50sin 24° m B. 50cos 24° m C. 50 sin 24° m D. 50 cos 24° m 9. 如图是一个左右两侧不等长的跷跷板,跷板 AB 的长为 4 m,支柱 OH 垂直于地面. 如图 1,当 AB 的一 端 A 接触地面时,AB 与地面的夹角的正弦值为 1 2 ;如图 2,当 AB 的另一端 B 接触地面时,AB 与地面 的夹角的正弦值为 1 3 ,则支柱 OH 的长为 (　 　 ) A. 0. 5 m B. 0. 6 m C. 0. 8 m D. 3 2 m 图 1 　 图 2 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在▱ABCD 中,E 是 AB 边的中点,DE 交 AC 于点 F,AC,DE 把它分成的四部分的面积分别为 S1,S2,S3,S4,有如下结论:①只有一对相似三角形;②EF ∶ ED = 1 ∶ 2;③S1 ∶ S2 ∶ S3 ∶ S4 = 1 ∶ 2 ∶ 4 ∶ 5. 其中正确的结论是 (　 　 ) A. ①③ B. ③ C. ① D. ①② 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 如图,在△ABC 中,点 D 在 AB 边上,点 E 在 AC 边上,请添加一个条件:　 　 　 　 　 　 　 　 ,使△ADE ∽△ABC. 第 11 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 13 题图 12. (新考法·跨学科)如图,图图制作了一个小孔成像的装置,其中纸筒的长度为 15 cm,蜡烛的长为 20 cm,要想得到高度为 5 cm 的像,则蜡烛应放在距离纸筒点 O 处　 　 　 　 cm 的地方. 13. 如图,△ABC 的顶点都在正方形网格纸的格点上,则 sinC= 　 　 　 　 . 14. 如图 1,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸边点 A 处,测得河 的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向,然后向西走 60 m 到达 C 点,测得点 B 在点 C 的北偏东 60°方 向,如图 2,则这段河的宽是　 　 　 　 　 m(结果保留根号) . 图 1 　 图 2 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 15. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点为 O(0,0),A(3,2),B(2,0) . 以点 O 为位似中心,在第 三象限内作与△OAB 的相似比为 1 3 的位似图形△OCD,则点 C 的坐标为　 　 　 　 . 16. 小明在学习“锐角三角比”时发现,将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 E 处,还原后,再沿过点 E 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,这样就可以求 出 tan 67. 5° = 　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分) 17. (4 分)计算:tan 45°-sin 30°cos 60°-cos245°. 18. (8 分)如图,已知点 O 是坐标原点,A,B 两点的坐标分别为(3,-1),(2,1) . (1)以点 O 为位似中心在 y 轴的左侧将△OAB 放大为原图的 2 倍,画出对应的△OA′B′,并写出点 A 的对应点 A′的坐标; (2)直接写出△OA′B′的面积. 19. (8 分)某水库大坝横截面是梯形 ABCD,坝顶宽 CD= 5 m,斜坡 AD= 12 m,坝高 CF= 6 m,斜坡 BC 的 坡度 i= 1 ∶ 3. 求斜坡 AD 的坡角和坝底宽 AB. 20. (8 分)如图,AD,BE 是△ABC 的高,连接 DE. (1)求证:△ACD∽△BCE; (2)若 D 是 BC 的中点,CE= 3,BE= 4. 求 AB 的长. 21. (10 分)(新考法·跨学科)小强在物理课上学过平面镜成像知识后,在老师的带领下到某厂房做验 证实验. 如图,老师在该厂房顶部安装一平面镜 MN,MN 与墙面 AB 所成的∠MNB= 118°,厂房高 AB = 8 m,房顶 AM 与水平地面平行,小强在点 M 的正下方 C 处从平面镜观察,能看到的水平地面上最 远处 D 到他的距离 CD 是多少? (结果精确到 0. 1 m,参考数据:sin 34°≈0. 56,tan 34°≈0. 67, tan 56°≈1. 48) 22. (10 分)如图,O 是△ABC 外一点,分别在射线 OA,OB,OC 上取一点 A′,B′,C′,使得OA′ OA =OB′ OB =OC′ OC = 3,连 接 A′B′,B′C′,C′A′,所得△A′B′C′与△ABC 是否相似? 证明你的结论. 23. (12 分)(新情景·项目式学习)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动. 他们 制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量. 他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不 同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离. 为了减小测量误差,小组在测 量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测 量数据如下表(不完整) . 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:×××　 组员:×××,×××,××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明:线段 GH 表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度 AC = BD= 1. 5 m,测点 A,B,H 在同一条水平直线上,A,B 之间的距 离可以直接测得,且点 G,H,A,B,C,D,E 都在同一竖直平面 内. 点 C,D,E 在同一条直线上,点 E 在 GH 上 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 ∠GCE 的度数 25. 6° 25. 8° 25. 7° ∠GDE 的度数 31. 2° 30. 8° 31° A,B 之间的距离 5. 4 m 5. 6 m 任务一:两次测量,A,B 之间的距离的平均值是　 　 　 　 m; 任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 GH 的高度;(参考数据: sin 25. 7°≈0. 43,cos 25. 7°≈0. 90,tan 25. 7°≈0. 48,sin 31°≈0. 52,cos 31°≈0. 86,tan 31°≈0. 60) 任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度的方 案,但未被采纳. 你认为其原因可能是什么? 24. (12 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,D,E 两点分别在 AC,BC 上,且 DE∥AB,将 △CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为 α. (1)问题发现:当 α= 0°时,AD BE 的值为　 　 　 　 ; (2)拓展探究:当 0°≤α<360°时,若△EDC 旋转到如图 2 所示的位置,求AD BE 的值; (3)问题解决:当△EDC 旋转至 A,B,E 三点共线时,若设 CE= 5,AC= 4,直接写出线段 BE 的长度. 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 · 10·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·57　 · ∴ BC= 2CF≈1. 41×1. 82≈2. 6(m) . ∴ BC 的长度约为 2. 6 m. 22.解:(1)∵ 该截面图是轴对称图形,∴ CD= 2OD. 在 Rt△AOD 中,∠OAD= ∠α= 65°. ∵ sinα=OD AD , ∴ OD=AD·sinα= 2×sin 65°≈2×0. 91 = 1. 82(m) . ∴ CD= 2OD= 2×1. 82≈3. 6(m) . ∴ 遮阳宽度 CD 约为 3. 6 m. (2)如图,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H. ∴ ∠BHE= 90°. ∵ AB⊥BF,EF⊥BF, ∴ ∠ABF= ∠EFB= 90°. ∴ 四边形 BFEH 是矩形. ∴ EH=BF= 3 m. 在 Rt△AHE 中,tanα=EH AH ,∴ AH= EH tanα . 当∠α= 65°时,AH= 3 tan 65° ≈ 3 2. 14 ≈1. 4(m) . 当∠α= 45°时,AH= 3 tan 45° = 3 m. ∴ 点 E 下降的高度约为 3-1. 4 = 1. 6(m) . 第 2 章学业水平测试 1. B　 2. C　 3. B　 4. A　 5. C　 6. B　 7. C　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥ OB 于点 D. 由题意,知 ∠EOA = 90°,∠EOB= 60°,∴ ∠AOD= 30°. ∴ 在 Rt △AOD 中, AD = 1 2 OA = 2 km,∠OAD = 60°. ∵ ∠FAO = 90°, ∴ ∠FAD = 30°. ∴ ∠DAB = 45°. ∴ BD = AD = 2 km. ∴ AB = 2 AD = 2 2 km. 故选 C. 8. B　 【解析】如图,把 AB 向上平移一个单 位长 度 到 DE, 连 接 CE. ∴ DE ∥AB, ∴ ∠APC = ∠EDC. 在 △DCE 中, EC = 22 +1 = 5 ,DC = 42 +22 = 2 5 ,DE = 32 +42 = 5. ∵ EC2 +DC2 =DE2,∴ △DCE 为直角三角形, ∠DCE = 90°. ∴ cos ∠APC = cos ∠EDC = DC DE = 2 5 5 . 故选 B. 9. A 10. A　 【解析】∵ 动力×动力臂 = 阻力×阻力臂,∴ 当阻力 及阻力臂不变时,动力×动力臂为定值,且该值>0. ∴ 动 力随着动力臂的增大而减小. ∵ 杠杆向下运动时 α 的 度数越来越小,此时 cosα 的值越来越大,动力臂 L1 = Lcosα,∴ 此时动力臂也越来越大. ∴ 此时的动力越来 越小. 故选 A. 11. 159　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B = 30°,AC = 500 m,则 AB= 2AC= 2×500 = 1 000(m) . ∵ 每爬 1 m 耗能 1. 025- cos 30° = 1. 025 - 3 2 ≈0. 159( J),∴ 爬 1 000 m 耗能 0. 159×1 000 = 159(J) . 12. 17 13. 5 m　 【解析】如图,过点O 作EF⊥OM,过点A 作AG⊥EF 于点 G. ∵ AB = 6 m,OA ∶ OB = 2 ∶ 1,∴ OA = 4 m. ∵ ∠AOM = 120°,∠EOM = 90°,∴ ∠AOE = 30°. ∴ AG = 1 2 OA = 1 2 × 4 = 2(m). ∴ 点 A 到地面的距离为 2+3=5(m). 14. 10 3 + 20 2 　 【解析】∵ 在 C 处测得点 M 的俯角为 60°,∴ ∠C= 90°-60° = 30°. 在 Rt△ACM 中,cosC = AC CM , AC= 30,∴ CM = 20 3 . ∴ AM = 1 2 CM = 10 3 . 又∵ CM = DM,∴ DM= 20 3 . 在 Rt△BMD 中,BM = DM2 -BD2 = (20 3 ) 2 -202 = 20 2 . ∴ AB=AM+BM= 10 3 +20 2 . 15. 6 5 　 【解析】如图,延长 AD,BC, 两线交于点 O. 在 Rt△ABO 中, ∵ ∠B= 90°,tanA= 4 3 =OB AB ,AB= 3,∴ OB=4. ∵ BC= 2,∴ OC=OB- BC= 4-2 = 2. 在 Rt△ABO 中,∠B = 90°,AB = 3,OB = 4, 由勾股定理,得 AO = 5. ∵ ∠ADC = 90°, ∴ ∠ODC = 90° =∠B. ∵ ∠DOC= ∠BOA,∴ △ODC∽△OBA. ∴ DC BA = OC OA ,即DC 3 = 2 5 . 解得 DC= 6 5 . 16. 24　 【解析】如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. 设 EF = x km. ∵ ∠DEB = 45°,∴ DF = EF = x km. ∵ tan∠ABC = DF BF = 3 4 . ∴ BF = 4 3 x km. 在 Rt △BFD 中, BD = BF2 +DF2 = 5 3 x km. ∵ D 地在 AB 的正中位置,∴ AB = 2BD = 10 3 x km. ∵ tan ∠ABC = 3 4 , ∴ cos∠ABC= 4 5 . ∴ BC AB = 4 5 . ∴ EF +BF+EC AB = 4 5 , 即 x+ 4 3 x+1 10 3 x = 4 5 . 解得 x= 3. 则 BC=EF+BF+EC = 3+4+1 = 8(km),AB= 10 km. ∴ AC = 6 km. ∴ 他跑了 6+8+10 = 24(km) . 17.解:如图,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D. 在 Rt△ACD 中,tanC= AD DC = 12 5 . 设 AD= 12x,DC= 5x, 则 AC = (12x) 2 +(5x) 2 = 13x = 13. ∴ x= 1. ∴ AD = 12,DC = 5. ∴ BD = BC - DC= 21-5 = 16. 在 Rt△ABD 中,AB= AD2 +BD2 = 122 +162 = 20. ∴ sinB=AD AB = 12 20 = 3 5 . 18.解:在 Rt△ADB 中,∠BAD= 45°, ∴ BD=AD= 100 m. 在 Rt△ADC 中,∠DAC= 60°,tan∠DAC=CD AD , ∴ CD=AD·tan∠DAC= 100 3 m. ∴ BC=BD+CD= (100+100 3 )m. ∴ 这栋楼的高度为(100+100 3 )m. 19.解:∵ AB= 34 cm,BC= 70 cm, ∴ AC=AB+BC= 34+70 = 104(cm) . 在 Rt△ACE 中,sin∠ACE=AE AC , ∴ AE = AC· sin ∠ACE = AC· sin 58° ≈ 104 × 0. 85 ≈ 88(cm) . ∴ 点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约为 88 cm. 20.解:如图,延长 DA,交 PE 于点 F. 则 DF⊥PE,AD=BC= 2 m,AB=CD=EF= 1. 6 m. 设 AF= x m. ∴ DF=AF+AD= (x+2)m. 在 Rt△PFA 中,∠PAF= 58°,tan∠PAF=PF AF , ∴ PF=AF·tan 58°≈1. 6x m. 在 Rt△PDF 中,∠PDF= 31°, ∴ tan∠PDF= tan 31° =PF DF = 1. 6x x+2 ≈0. 6. ∴ x= 1. 2. ∴ PF= 1. 6×1. 2 = 1. 92(m) . ∴ PE=PF+EF= 1. 92+1. 6≈3. 5(m) . ∴ 路灯顶部到地面的距离 PE 约为 3. 5 m. 21.解: a sinA = b sinB = c sinC . 探究过程如下: 如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AC 于 点 E. 在 Rt△ABD 中,sin∠ABD=AD c , 即 AD= csin∠ABD. 在 Rt△ADC 中,sinC=AD b , 即 AD= bsinC. ∴ csin∠ABD= bsinC,即 b sin∠ABD = c sinC . 在 Rt△ABE 中,sin∠BAE=BE c ,即 BE= csin∠BAE. 在 Rt△CBE 中,sinC=BE a ,即 BE=asinC. ∴ csin∠BAE=asinC,即 a sin∠BAE = c sinC . 则 a sin∠BAE = b sin∠ABD = c sinC ,即 a sinA = b sinB = c sinC . 22.解:(1) 如图 1,过点 A 作 CD 的垂线,垂足为 M,连 接 AC. 图 1 ∵ CD⊥OD,OA⊥OD, ∴ 四边形 AMDO 是矩形. ∴ AM=OD= 2 5 m,DM=OA= 1 m. 在 Rt △ACM 中,CM = AC2-AM2 = (3 5)2-(2 5)2 = 5(m), ∴ CD=CM+DM= 6 m. ∴ 点 C 到工作台的距离为 6 m. (2)如图 2,连接 AC,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 N. 图 2 ∵ ∠ABC= 143°,∴ ∠ABN= 37°. 在 Rt△ABN 中,sin∠ABN=AN AB , ∴ AN=AB·sin 37°≈5×0. 60 = 3(m) . 在 Rt△ABN 中,BN= AB2 -AN2 = 52 -32 = 4(m) . 在 Rt△ACN 中,CN= AC2-AN2 = (3 5)2-32 =6(m), ∴ BC=CN-BN= 6-4 = 2(m) . ∴ 机械臂 BC 的长为 2 m. 阶段性检测 1. D　 2. A　 3. D 4. C　 【解析】∵ 直线 l1∥l2∥l3,∴ AB BC =DE EF . ∴ 5 6 =DE 4 . ∴ DE= 10 3 . ∴ DF=DE+EF= 10 3 +4 = 22 3 . 故选 C. 5. C　 【解析】∵ AB∥CD,∴ △AOB∽△DOC. ∴ AB DC = 1 0. 8 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 即 1. 2 CD = 1 0. 8 . ∴ CD= 0. 96 m. 故选 C. 6. A　 【解析】A. 阴影正三角形与原正三角形的对应角相 等,对应边的比相等,符合相似多边形的定义,符合题 意;B. 阴影矩形与原正方形的对应角相等,但对应边的 比不相等,不符合相似多边形的定义,不符合题意;C. 阴 影五边形与原正五边形的对应角相等,但对应边的比不 相等,不符合相似多边形的定义,不符合题意;D. 阴影六 边形与原正六边形的对应角相等,但对应边的比不相 等,不符合相似多边形的定义,不符合题意. 故选 A. 7. D　 【解析】 ∵ AD,BC 是△AOB 的两条高,∴ ∠ADO = ∠BCO= 90°. 又∵ ∠AOD = ∠BOC,∴ △AOD∽△BOC. ∴ AD BC =OD OC = OA OB . ∴ BC OC = AD OD = 2. ∴ BC = 2OC. 故①正确; 由①可知,OA OB =OD OC . ∵ ∠AOB=∠DOC,∴ △AOB∽△DOC. 故②正确;∵ △AOB∽△DOC,∴ AB DC = AO DO . 设 OD = x,则 AD= 2x. ∴ AO = AD2 +OD2 = 5 x. ∴ AB CD = AO DO = 5 x x = 5 . 故③正确. 综上可知,正确的结论有 3 个. 故选 D. 8. A　 【解析】∵ ∠BCA = 90°,AB = 50 m,∠A = 24°,∴ sinA = BC AB =BC 50 . ∴ BC= 50sinA= 50sin 24° m. 故选 A. 9. C　 【解析】在 Rt△AOH 中,sin∠OAH = OH OA = 1 2 ,∴ OA = 2OH. 同理可得 OB = 3OH. ∵ AB = 4 m,∴ 2OH+3OH = 4. 解得 OH= 0. 8. 故选 C. 10. B 　 【解析】 ① 有两对相似三角形:△AEF∽ △CDF, △ABC∽△CDA,故该选项错误;②∵ AB∥CD,∴ AE ∶ CD=EF ∶ DF= 1 ∶ 2. ∴ EF ∶ ED= 1 ∶ 3. 故该选项错误; ③△AEF∽△CDF,相似比为 1 ∶ 2,∴ S1 ∶ S3 = 1 ∶ 4. 又 ∵ △AEF 与△AFD 同高,底的比是 1 ∶ 2,∴ S2 = 2S1 . 由 题意可知△ABC≌△CDA,∴ S1 +S4 = S2 +S3 . ∴ S4 = 5S1 . ∴ S1 ∶ S2 ∶ S3 ∶ S4 = 1 ∶ 2 ∶ 4 ∶ 5. 故选 B. 11. ∠ADE= ∠B(答案不唯一) 12. 60　 【解析】如图,过点 O 作 EF⊥AB 于点 E,交 CD 于 点 F,则 AB= 20 cm,OF= 15 cm,CD= 5 cm. ∵ AB∥CD, EF⊥AB,∴ EF⊥CD. ∴ △OAB∽△ODC. ∴ DC AB =OF OE ,即 5 20 = 15 OE . 解得 OE= 60. 13. 3 10 10 　 【解析】 如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, ∴ △ACD 是直角三角形,∠ADC= 90°. 设正方形网格的 边长均为 1. 在 Rt△ACD 中,AD = 62 +32 = 3 5 ,AC = 72 +12 = 5 2 ,∴ sinC=AD AC = 3 5 5 2 = 3 10 10 . 14. 30( 3 +1) 　 【解析】如图,过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于点 D,设 BD= x m. 由题意,得∠BCD = 30°. 在 Rt△BDC 中,tan∠BCD = BD CD ,∴ CD = BD tan 30° = 3 x m. ∵ ∠BAD = = 90°-45° = 45°,∴ AD =BD = x m. ∴ AC=CD-AD = 3 x-x = 60 m. 解得 x = 30( 3 + 1) . ∴ 这段河的宽是 30( 3 +1)m. 15. -1,- 2 3( ) 　 【解析】∵ 以点 O 为位似中心,在第三象限 内作与△OAB 的相似比为 1 3 的位似图形△OCD,A(3, 2),∴ 点 C 的横坐标为 3× - 1 3( ) ,纵坐标为 2× - 1 3( ) , 即点 C 的坐标为 -1,- 2 3( ) . 16. 2 +1　 【解析】将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 E 处,∴ AB = BE,∠AEB= ∠EAB= 45°. 还原后,再沿过点 E 的直线折 叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,∴ AE =EF,∠EAF = ∠EFA = 45° 2 = 22. 5°. ∴ ∠DAF = 22. 5°. ∴ ∠FAB = 67. 5°. 设 AB= x,则 BE= x,AE=EF= 2 x,∴ tan 67. 5° = tan∠FAB=FB AB = 2 x+x x = 2 +1. 17.解:原式= 1- 1 2 × 1 2 - ( 22 ) 2 = 1- 1 4 - 1 2 = 1 4 . 18.解:(1)如图所示,△OA′B′即为所求作,点 A 的对应点 A′的坐标为( -6,2) . (2)S△OA′B′ = 10. 19.解:由题意,可知 CD=FE= 5 m,CF=DE= 6 m. ∴ sinA=DE AD = 6 12 = 1 2 . ∴ ∠A= 30°. ∵ cosA= AE AD ,∴ AE = AD·cosA = AD·cos 30° = 12× 3 2 = 6 3(m). ∵ CF ∶ BF= i= 1 ∶ 3, ∴ BF= 3CF= 18 m. ∴ AB=BF+EF+AE= 18+5+6 3 = (6 3 +23)m. ∴ 斜坡 AD 的坡角为 30°,坝底宽 AB 为(6 3 +23)m. 20. (1)证明:∵ AD,BE 是△ABC 的高, ∴ ∠ADC= ∠BEC= 90°. ∵ ∠ACD= ∠BCE,∴ △ACD∽△BCE. (2)解:∵ D 是 BC 的中点,AD 是△ABC 的高, ∴ AB=AC,CD= 1 2 BC. 在 Rt△BEC 中,∵ CE= 3,BE= 4, ∴ BC= CE2 +BE2 = 32 +42 = 5. ∴ CD= 1 2 BC= 5 2 . ∵ △ACD∽△BCE,∴ AD BE =CD CE . ∴ AD= 4× 5 2 3 = 10 3 . 在 Rt△ACD 中,AC = AD2 +CD2 = ( 103 ) 2 + ( 52 ) 2 = 25 6 . ∴ AB=AC= 25 6 . 21.解:如图,连接 MC,过点 M 作 HM⊥NM. 由题意,得∠DMC = 2 ∠CMH,∠MCD = ∠HMN = 90°, AB=MC= 8 m,AB∥MC. ∴ ∠CMN= 180°-∠MNB= 180°-118° = 62°. ∴ ∠CMH= ∠HMN-∠CMN= 90°-62° = 28°. ∴ ∠DMC= 2∠CMH= 56°. 在 Rt△CMD 中,CM=8 m,tan∠DMC=CD CM , ∴ CD=CM·tan 56°≈8×1. 48≈11. 8(m). ∴ 能看到的水平地面上最远处 D 到他的距离 CD 约是 11. 8 m. 22.解:△A′B′C′与△ABC 相似. 证明:∵ OA′ OA =OC′ OC = 3,∠AOC= ∠A′OC′, ∴ △AOC∽△A′OC′. ∴ A′C′ AC =OA′ OA = 3. 同理 B′C′ BC = 3,A′B′ AB = 3. ∴ A′C′ AC =B′C′ BC =A′B′ AB . ∴ △A′B′C′∽△ABC. 23.解:任务一:5. 5 任务二:设 EG= x m. 在 Rt△DEG 中,∠GDE= 31°,∠DEG= 90°, ∵ tan 31° =EG DE ,∴ DE= x tan 31° ≈ x 0. 60 = 5 3 x m. 在 Rt△CEG 中,∠GCE= 25. 7°,∠CEG= 90°, ∵ tan 25. 7° =EG CE ,∴ CE= x tan 25. 7° ≈ x 0. 48 = 25 12 x m. ∵ CD=AB= 5. 5 m,CD=CE-DE, ∴ 25 12 x- 5 3 x= 5. 5. ∴ x= 13. 2. ∴ GH=EG+EH= 13. 2+1. 5 = 14. 7(m),即学校旗杆 GH 的高度约为 14. 7 m. 任务三:原因可能是没有太阳光. (答案不唯一) 24.解:(1) 2 2 (2)∵ ∠BAC= 90°,AB=AC. ∴ △ABC 为等腰直角三角形,∠ABC= 45°. ∵ DE∥AB,∠DEC= ∠ABC= 45°,∠CDE= ∠BAC= 90°, ∴ △CDE 为等腰直角三角形. ∴ AC BC =DC EC = 2 2 . 又∵ ∠BCE= ∠ACD,∴ △BCE∽△ACD. ∴ AD BE = AC BC = 2 2 ,即AD BE = 2 2 . (3)7 或 1 第 3 章考点梳理与复习 考点一　 圆的对称性 1. B　 2. D 3. D　 【解析】如图,连接 MC,DN. ∵ 点 C,D 三等分 MN ( ,∴ CM ( =CD ( =DN ( . ∴ CM =CD=DN. ∵ MC+CD+DN>MN,∴ MN<3CD. 故 D 选项结论错误,符 合题意. 故选 D. 4. 3 5. 90° 　 【解析】如图,延长 CD 交☉O 于点 P,延长 CE 交☉O 于点 T,连接 OC,PT,OP,OT. ∵ CD ⊥ OA, CE ⊥ OB,∴ CD = DP, CE = TE. ∴ DE 是 △PCT 的中位线. ∴ DE = 1 2 PT. ∴ 当 PT 是直径时,DE 的长最大. ∵ OP = OC = OT,CD⊥OA, CE⊥OB,∴ ∠COD= ∠POA,∠COB = ∠BOT. ∴ ∠AOB = ∠COA+∠COB= 1 2 ∠POT= 90°. 6.解:如图,过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,MO 的延长线交 AB 于点 N,连接 OD,OB. ∵ CD∥AB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 58·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册