安徽省六安第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

六安二中河西校区2024年秋学期高二年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟满分：150分命题人：李玉审题人：刘春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.己知点A(0,√3)，点B(-1,2√3)，则直线AB的倾斜角为() B. x 3π 3 D. 2.ā=(2，-2,4)，b=(-4,2,x),且ā⊥b,则a+b为（〉 A.4V2 B.V53 C.6 D.√63 3.椭圆C:X+=1a>b>0)满足a=3b,则该椭圆的离心率() 422 B时 3 3 4.如图，在平行六面体中ABCD-AB,CD,中，AA=a,AB=b,AD=c, 点P在AC上，且AP:PC=3:4,则AP=() 4,3x,3 42a+5b+-d 77 afa-36.e 1 > c.4a+36-3c D.-4a+36-3 777 77 7 5唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍 交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火 之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最 短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的 点A1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4,则“将军饮马”的最短总 路程为() A45 B.√45 D 16 3 3 第1页，共4页 蒸全 44 6.已知在三棱柱ABC-AB,C中，侧棱BB⊥底面ABC,BC⊥CA,点D,F分别是AB, AC的中点，若BC=CA=CC,则异面直线BD,与AR所成角的余弦值为() A. D.30 10 B.2 C.30 15 10 7.若圆C的圆心为1,2)，且被直线3x-y-6=0截得的弦长为√10，求圆 C的一般方程() A.x2+y2-2x-4y-20=0 B.x2+y2-2x+4y-20=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 8.已知椭圆C的其中一个焦点为F(0,-4),过点F的直线交椭圆C于A,B两 点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则C的方程为（) A.y =1B.+y =1c. x2.y2 x2,y2 =1D. =1 420 248 824 204 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.圆0：x2+y2-2x-2y=0和圆0：x2+y2+4x-8y=0的交点为 A,B则() A.两圆圆心距0，O,=3V2 B.公共弦AB所在直线的方程为x+y=0 C.圆O,和圆O,的公切线有3条D.公共弦AB的长为√2 10.已知椭圆C: +上=1的左、右焦点分别为R,月，点P为椭圆C上一点， 42 则() A.若∠FPE=60,则△FPF的面积为2√5 B.存在点P,使得∠FPE=90 C.△FPF的周长为4+2√2 D.使得aFPF为等腰三角形的点P共有4个 11.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D中，已知 AB=AD=AA=I,∠AAD=∠AAB=∠BAD=60,E为棱CC 上一点，且CE=2EC,则() 第2页，共4页 花装可内西 A.BD B.直线BD与AC所成角的余弦值为 6 C.AE⊥平面BDDB D.直线BD与平面ACC,4所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.答案需要填最简形式， 12.平行于直线x一y-2=0,且与它距离为√2的直线方程是 x2.y2 13.已知椭圆C: =1,点M在椭圆C上，已知点N(2,√2)与点 259 F(-4,0),则MF+W的最小值为 14.已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，E为AB的中点，F为AB的中点，则 直线FC到平面AEC的距离为 ；点B到直线AC的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤 15.(本题13分)已知椭圆C:+上=1a>b>0)长轴长为4，且椭圆C 的离心率二，其左右焦点分别为F,E, 2 (1)求椭圆C的方程： (2)设斜率为√万且过F,的直线l与椭圆C交于P,2两点，求弦长PO 16.(本题15分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形， PB1底面ABCD.AB=BC=3,BP=3,CF=CP,DE-写DA (I)证明：直线EF∥平面ABP: (2)求点P到平面ADF的距离. 第3页，共4页 䶛国全 17.(本题15分)已知过点A(2,6的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 (0<a<3)的圆心在直线y=2x上，且与y轴相切. (1)求圆C的标准方程： (2)求过点(3,0)且被圆C截得的弦长为2√3的直线l的方程， 18.(本题17分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD, AB=AD,O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，且 V-CD=- 5 6 (I)证明：OA⊥CD: (2)求直线CD和平面ABC所成角的正弦值： (3)在棱AD上是否存在点E,使二面角E-BC-D的大小为45°？若存在， AE 并求出 的值。 DE 19(本题17分)定义：若椭圆导+长=e>60上的两个点46，W,,】 满足学+学=0，则称4，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作4、已知椭 b2 圆C:+号=1上-点46) (I)求“共轭点对”[A,B中点B所在直线I的方程 (2)设O为坐标原点，点P,2在椭圆C上，且P211O4,(1)中的直线1与椭圆 C交于两点B,B, ①求点B,B的坐标： ②设四点B,PB2,Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形BPB2的面积小于83， 第4页，共4页 馨③扫描全能王 六安二中河西校区2024年秋学期高二年级期中考试 数学试卷答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 Q B A A B D D 二、多选题 9 10 11 AD BC ABD 三、填空题 12.x-y=0或x-y-4=0 310-6462分)6 3分 6 四、解答题 x2.y2 16 15.(1)+=1(6分) 43 (2)(7分》 5 16.(1)由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，可建立如图所示空间直角坐标 系，则B(0,0,0),43,0,0,C(0,30),D(3,3,0),P(0,0,3)2分 由cF=0P,得示-， 解得F(0,2,1),，同理E(3,2,0)… 4分 .E示=(-3,0,1)，显然面ABP的一个法向量为=(0,10)…6分 显然EF.元=0且EF文面ABP,故EF11面ABP7分 (2)设面ADF的一个法向量为元=（名，y,z,且而=(0,3,0），DF=（3-11)…9分 A而1元∫3y=0 由1-3x-y+a=0 11分 取x=1,则y=0,z=3,所以斤=（儿，0,3）为平面ADF的一个法向量…13分 又丽=(-3,0,3)，点P到平面ADF的距离为d= 而3而 同5 15分 17.(1)(x-2)2+6y-4}=4(2)x=3和15x+8y-45=0 答案第1页，共4页 花装套可内行长 44 [b=2a 【详解】(1)由题意知{r=la=a 3分 (2-a}+(6-b}=r 解得a=2或a=5(舍去)：b=4,r=2… 5分 所以该圆的标准方程为(x一2)2+(y-4=47分 (2)当直线1斜率不存在时，I方程为x=3,此时圆心到直线距离为1， 此时弦长为222-1下=2√乃，符合题意 ,10分 当直线l斜率存在时，设直线I方程为y=k(x-3),即c-y-3k=0 若弦长为2√5，则圆心到直线1距离为1， 即2E-4-3 √k2+1 =1,解得k=-15 …12分 8 将k代入直线1方程化成一般式为15x+8y-45=014分 综上所述，直线1方程为x=3和15x+8y-45=0. 15分 18.(1)见详解 (2)26 5 (3)存在， AE1 DE 2 【详解】(1)明：，AB=AD,O为BD的中点.OA⊥BD 又，平面ABD⊥平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD, OAC平面ABD.OA⊥平面BCD CDC平面BCD.OA LCD3分 (2)分别取CB、CD的中点为F、G,连结OF、OG,,O 为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形 ∴.△BCD是直角三角形，BD=20D=2,CD=1, BC=BD)-(CD)= :CB、CD的中点为F、G,.OFIICD,OGIIBC,OF⊥OG 由(I)得，AO是三棱锥A-BCD底面BCD的高，VAOB是直角三角形 m0x5o40分=点，dA0=l 2 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为x,y,轴，如图建立空直 角坐标系，则00a0,F兮00，c090,4《Q,时-5o,c哈9. 490,西-(1a0,=05,西=吃9-05分 2'2 答案第2页，共4页 蒸国全 44 [5y=0 设m=(:,,)是平面ABC的一个法向量， 则 m·BC=0 %AB=0' 即 1x5 2-2-名=0 令名=l,则写=2，%=（亿，0,1）.7分 6,网1.可25 c品 5 8分 ·直线CD和平面ABC所成角的正弦值等于25 9分 (3)在棱AD上存在点E,使二面角E-BC-D的大小为45° 设正=0≤1s到由2)知，c=a50,西-分5- 而（9，恶-而（ 函在-五（号9{些，小…1分 OA=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量设=(32，y2,z2)是平面BCE的一个法向量， 则 %C=0 即 E=0 2+5%*k“g0 2 5y2=0 取名=2(2-l),2=--l,万=(22-2,0，-1-0… 13分 :二面角E-BC-D的大小为45 o6o +1 (2-2}+(a+1 整理得，32-101+3=0解得，元=或元=3（舍去) 15分 所以，正号而，B=时D 所以，在棱AD上存在点E,使二面角E-BC-D的大小为45°， 19.(1)x+y=0 (2)▣8(-5,5)，8(5，-5)： ②证明见解析 【详解】(1)设[A,]中点B的坐标为B(x,y), 对于椭圆C: 吉苦=1止的点4。由共辐点对K时的定文， 答案第3页，共4页 22年月13号考 可知直线1的方程为登+学=0，即h+y=0 .3分 y=-x, (2)①联立直线1和椭圆C的方程， 124 所以直线1和椭圆C的两个交点的坐标为（-5，)，B,(5,-√)…6分 += 124 ②设点P(xp,),(x2ye),则 两式相减得，-，++-业+】.0： 2 又Pp1o,所以安学-所以⅓*%=-6+】. 即+业=-+卫，线段P2被直线1平分8分 2 设点P(xp,yp)到直线x+y=0的距离为d, 则四边形8Pa,0的面积Sa8=25M=2××BAkd. 由8(5，)，8(5，)，得|=万-+5+=2610分 设过点P且与直线1平行的直线！的方程为x+y=m,则当！与C相切时，d取得 最大值. [x+y=m, 由任+二-l消去y得-6m+3(m-4小-0. 12 令△=36m2-48(m2-4=0,m=4..12分 当m=4时，此时方程为4x2±24x+36=0,即(x±3)'=0，解得x=3, 则此时点P或点2必有一个和点A(3,)重合，不符合条件P11OA 故直线与C不可能相切14分 即d小于平行直线x+y=0和x+y=4(或x+y4)的距离行=25. 故6s%e=2x×刘B4xd<2W6x25=26×25=85 17分 答案第4页，共4页 器田扫猫全能王 44