专题07 一次函数易错必刷题型专训（81题25个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题07 一次函数易错必刷题型专训（81题25个考点） 【易错必刷一 函数的概念】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（   ） A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数 C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的基本概念，熟练掌握常量与变量及函数是解题的关键；因此此题可根据题意结合函数的基本概念进行排除选项即可． 【详解】解：由圆面积公式中，可知：是常量，S与成正比例； 故选C． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化的过程中，因变量是 ． 【答案】（一个人的）身高 【分析】本题主要考查自变量与因变量，理解自变量以及因变量的定义是解决本题的关键．根据自变量与因变量的定义：自变量是会引起其他变量发生变化的变量，是被操纵的；因变量是由一些变量变化而被影响的量，是被测定或被记录的；据此判断即可． 【详解】解：随着年龄的增加，身高往往也在增长， 在这个变化的过程中自变量是年龄，因变量是身高． 故答案为：（一个人的）身高 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表：请回答下列问题：    刹车时车速 刹车距离 (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______； (2)请用关系式表示变量与之间的数量关系：_______；表格中m的值为_______； (3)若该型号新能源车以的速度前行，且与前车保持直线距离20米，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)， (3)会，理由见解析 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出的值即可得到答案． （3）将代入，进而比较距离的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则， 即， 故答案为：，． （3）解：当， ∴司机紧急制动后会发生追尾事故． 【易错必刷二 求自变量的相关范围】（共3小题） 1．（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，注意函数自变量的范围一般从三个方面考虑（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据题意得：被开方数， 解得， 根据分式有意义的条件，， 解得， 故且． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，圆柱的高为，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化． (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量 (2)请你求出圆柱的体积与圆柱的底面半径之间的关系式 (3)的值能为负值吗为什么 (4)当圆柱的底面半径从变化到时，圆柱的体积变化了多少最后结果保留 【答案】(1)圆柱的底面半径，圆柱的体积 (2) (3)不能为负值，理由见解析 (4)圆柱体积增加了 【分析】本题考查了函数关系式、函数值及变量的知识，关键是能准确理解函数的概念及问题间的数量关系． （1）根据自变量及因变量的定义，即可回答； （2）根据圆柱的体积公式可得出关系式； （3）根据半径的意义解答即可； （4）分别计算出，及时圆柱的体积即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量； 故答案为：圆柱的底面半径；圆柱的体积； （2）解：因为圆柱的体积底面积高， 所以； （3）解：因为为圆柱的底面半径，所以，因此不能为负值； （4）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， ， 所以圆柱体积增加了． 【易错必刷三 函数图象】（共3小题） 1．（24-25八年级上·四川·期中）下列曲线（图象），y不是x的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查函数图象的识别，解题的关键是熟知函数的定义．根据函数的定义即可判断． 【详解】解：根据函数定义，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．而选项D中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 【答案】 C A B 【分析】（1）抛球运动，球的高度，先上升后下降，由此即可得到答案； （2）凉水中倒入开水，水的温度会逐渐上升，由此即可得到答案； （3）给澡盆放水，澡盆中的水的高度逐渐降低，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）一个球被竖直向上抛起，球上升到最高点，垂直下落，直到地面，在此过程中球的高度与时间的关系，图象是C； 故答案为：C； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水，水的温度会逐步上升，图象是A； 故答案为：A （3）在澡盆放水的过程中，水的高度会逐渐下降，图象是B； 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，正确理解题意是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【答案】图（1）（2）（3）中y是x的函数 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数； 故图（1）（2）（3）中y是x的函数 【点睛】本题主要考查了函数概念，关键是掌握注意对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【易错必刷四 动点问题的函数图象】（共3小题） 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】此题考查动点问题的函数图象，从图象中通过确定点P与C重合时的位置得到等边三角形的边长是解题关键． 根据图2可得：等边三角形的边长为4，根据勾股定理求高的长，由三角形面积可得结论． 【详解】解：由图2可知：等边三角形的边长为4， 如图，作高， ∴，， ∴， ． 故选：A． 2．（2024·山东济南·三模）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查动点问题的函数图象，含角的直角三角形的性质，求出是解题的关键． 过点作，为垂足，由点的运动速度为，结合图2可得，然后根据求出，然后由三角形的面积公式求面积． 【详解】解：过点作，为垂足，如图： 由点的运动速度为，结合图2可得， ，， ， ， 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·广东韶关·期末）在长方形中，，，动点从点开始按的方向运动到点．如图，设动点所经过的路程为，的面积为．（当点与点或重合时，）    (1)写出与之间的函数解析式； (2)直接写出的面积的最大值． 【答案】(1) (2)的面积的最大值是6 【分析】（1）分三种情况：点在上运动，点在上运动，点在上运动，分别求出与之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【详解】（1）当点在上运动时，即时，； 当点在上运动时，即时，； 当点在上运动时，即时，， 综上所述，； （2）函数图象如下：    由图象可得，最大为6， 的面积的最大值是6． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． 【易错必刷五 变量间的关系表示】（共3小题） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了函数的变量，用表格表示变量间的关系．解题的关键在于从表格中获取正确的信息． 根据表格中的信息，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，A正确，故不符合要求； 弹簧不挂重物时的长度为，B错误，故符合要求； 物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5，C正确，故不符合要求； 所挂物体质量为7时，弹簧长度为，D正确，故不符合要求； 故选：B． 2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的关系式为 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【易错必刷六 正比例函数】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，熟记正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数，y随x的增大而减小即可判断． 【详解】∵直线中， ∴y随x的增大而减小， 又∵和点是直线上的两个点,且， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，请用“”表示，，的不等关系 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据正比例函数的性质，可以判断，，的大小关系，然后即可用“”表示，，的不等关系．解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得， ，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 【易错必刷七 根据一次函数的定义求参数】（共3小题） 1．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）若函数是关于的一次函数，则满足 ； 若该函数是关于的正比例函数，则，满足 ； 若，，则函数关系式是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据一次函数和正比例函数的定义，注意分析计算即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数， 则有，解得； 若该函数是关于的正比例函数， 则有，且， 解得且； 若，，则函数关系式是． 故答案为：；且；． 3．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 【易错必刷八 一次函数的解析式】（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出． 【详解】解：∵B点在正比例函数的图象上，横坐标为1， ∴， ∴， 设一次函数解析式为：， ∵一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点， ∴可得出方程组 ， 解得 ， 则这个一次函数的解析式为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）将直线关于轴对称后，所得直线过点，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据直线，得出直线与轴交点坐标为，结合点关于轴对称得到点，再设直线的函数表达式为，分别代入和，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令，则， ∴直线与轴交点坐标为， ∴点关于轴对称得到点， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点， ∴把和分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知一次函数 (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值； (2)若一次函数经过点，求k的值； 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）把点代入一次函数解析式得，然后求解即可． 【详解】（1）解：由一次函数的图象经过原点，可知：， ∴； （2）解：把点代入一次函数解析式得， 解得：． 【易错必刷九 一次函数的求值】（共3小题） 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）一次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，把代入计算即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴把代入可得， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，把A、B的坐标代入一次函数解析得出，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象上有两点，点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 3．（23-24八年级下·吉林白城·期末）已知一次函数，当时，； (1)求此函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是一道关于一次函数的题目，关键是掌握利用待定系数法求解函数的解析式． （1）将，代入一次函数解析式中，可得到关于的方程；得到的值，由此得到函数的解析式． （2）将代入中求解即可； 【详解】（1）解：将，代入一次函数解析式，可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：将代入中得：． 【易错必刷十 已知函数经过的象限求参数范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果一次函数的图象经过第一、二、四象限，则有（　　） A． , B．, C．, D．, 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．根据一次函数的性质得出即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数、二、四象限， ∴，， ∴， ∴,． 故选：B． 2．（23-24八年级下·云南红河·期末）函数经过第一、二、四象限，则在第 象限． 【答案】四 【分析】根据函数与象限的关系，判断出 的取值范围，即可得出答案． 【详解】如图，因为函数经过第一、二、四象限，所以 ，则M点在第四象限 故答案为四 【点睛】本题考查一次函数的图像及象限的定义，熟练掌握一次函数与象限的关系为关键，画出图形可以更直观得出答案． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据是的一次函数，且图象经过第一、二、四象限列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）对于关于的函数关系式为： 是的正比例函数， ． （2）对于关于的函数关系式为：， 是的一次函数，且图象经过第一、二、四象限， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的定义，根据题意正确列出等式，不等式或不等式组是解本题的关键． 【易错必刷十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象经过原点 D．图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小，图象经过一，二，四象限，故选项A，B错误； 当时，，， ∴函数的图象不经过原点，与x轴交点坐标是；故C错误，D正确； 故选D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标的求法、点的对称等知识，先求出直线与轴的交点的坐标，再由点的对称性质求解即可得到答案，熟连掌握一次函数图象与性质、点的对称性质是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点， 当时，，解得，即， 点关于轴的对称点是， 故答案为：． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 【易错必刷十二 一次函数图象平移问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）将一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，平移后的函数图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式，然后代入点根据待定系数法即可求得． 【详解】解：一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，则函数解析式变成：， ∵平移后的函数图象经过点， ∴， 解得：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的平移变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案． 【详解】解：直线沿y轴向下平移6个单位长度得到：， 令，即，解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知两直线：，：， 若，则有 若，则有， 若，则有 若，则有， (1)应用：已知与平行，则______； (2)应用：已知与垂直，则______； (3)直线经过，且与平行，求该直线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，则有求解即可； （2）根据，则有求解即可； （3）根据题意设该直线解析式为，然后利用待定系数法求解即可． 本题考查了两直线垂直和平行问题，待定系数法求函数解析式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵与平行， ∴； （2）∵与垂直， ∴ ∴； （3）∵直线经过，且与平行， 设该直线解析式为 将代入得， 解得 ∴该直线解析式为． 【易错必刷十三 一次函数的增减性】（共3小题） 1．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确理解直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数图象的增减性来确定的符号即可． 【详解】解：一次函数的函数值随自变量的值增大而增大， ， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 【答案】6或/或6 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，；据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得，符合题意． 综上可知，m的值为6或． 故答案为：6或． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②1或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得：，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵当时，函数有最大值6， 若，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 若，y随x的增大而减小， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 综上所述，a的值为1或． 【易错必刷十四 比较一次函数值的大小】（共3小题） 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据可知一次函数，y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案． 【详解】解： 一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，在时有最大值 此时 故选B． 2．（江西省吉安市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，据此判断出增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵是直线（为常数）上的三个点，且， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的图象经过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)若点M和N都在这个函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求得到y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得，解得， ∴函数的解析式是． （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点M和N都在这个函数的图象上，且， ∴． 【易错必刷十五 一次函数的规律探究问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标．点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识．先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：对于直线：， 令，则；令，则； ∴， ∴， ，， ∴，，， ，，， ∴的横坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【易错必刷十六 一次函数与二元一次方程】（共3小题） 1．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案． 【详解】解：直线与直线交于点， ∴把代入得：， ∴， 方程组的是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数与的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要查了求一次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，再联立解析式求出点P的坐标，然后根据三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴的面积为． 【易错必刷十七 求直线围成的图形面积】（共3小题） 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于点，为坐标系原点，那么的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入中，求出，代入，求出m值，得到点B坐标，再利用三角形面积公式计算． 【详解】解：在中，令，则， ∴，代入中， 得， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． （1）将点和点的坐标代入即可解决问题． （2）求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． （2）解：将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以， 所以． 【易错必十八 由直线与坐标轴的交点不等式的解集】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等)，做到数形结合． 从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为，即当时，，由图象可看出，不等式的解集． 【详解】解：直线与轴的交点为， 即当时，， 由图象可看出，不等式的解集是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据函数图像直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图像可知：不等式的解集为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 【易错必刷十九 根据两条直线的交点求不等式的解集】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B横坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，根据不等式，即为直线的图象在直线图象的下方的的值，根据图象直接解答即可． 【详解】解：由图象得，直线与直线交点的横坐标为， 当时，直线的图象在直线图象的下方， ∴不等式的解集为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 根据不等式的解集为直线在直线下方部分所对应的的取值范围，数形结合作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【易错必刷二十 一次函数的最值问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为和，点是轴上一个动点，当的周长最小时点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路径问题、一次函数的应用、关于坐标轴对称的点的坐标特征等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．作点关于轴的对称点，作直线，交轴于点，此时的周长最小，设直线的解析式为，利用待定系数法解得直线的解析式，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：如下图，作点关于轴的对称点，作直线，交轴于点，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得，， ∴直线的解析式为， 令，可有，， 解得， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．      【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得出点C，D的坐标，取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值，由点D的坐标可得出点E的坐标，由点C，E的坐标，利用待定系数法可求出直线CE的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标． 【详解】解：当x=0时， ∴点B的坐标为； 当y=0时，， 解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段AB、OB的中点， ∴点C的坐标为，点D的坐标为． 取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值， 如图所示．      ∵点D的坐标为， ∴点E的坐标为． 设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将C（-2，1），E（0，-1）代入y=kx+b， 得：， 解得：， ∴直线CE的解析式为． 当y=0时，， 解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P的位置是解题的关键． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．    (1)作关于轴对称的图形，、、的对应点分别为、、； (2)在轴上存在一点，使的值最小，请在图中画出点，并求出点的坐标． 【答案】(1)即为所求 (2) 【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称的点的性质，轴对称最短路径，即可． （1）点关于轴对称的点的性质：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可； （2）根据轴对称最短路径确定点的位置，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入解析式中，求出，；再根据点在直线上，即可． 【详解】（1）∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ∴关于轴对称的图形中，，，， ∴连接点、、， ∴即为所求．    （2）∵点关于轴对称的点为， 连接交轴于点， ∴有最小值， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴点． 【易错必刷二十一 一次函数的应用之分配方案问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 (1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； (2)什么情况下到甲商场购买更优惠？ 【答案】(1)， (2)当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可． （1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可； （2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可． 【详解】（1）甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：； 乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：． （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 2．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆 (2)（且为整数） (3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． （1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据运输228吨物资，列方程求解． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件 (2)当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式． （1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于20件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件， 依题意，得：， 解得：， 答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件． （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 甲种奖品不少于20件， ． 依题意，得：， ， 随值的增大而增大， 当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元． 【易错必刷二十二 一次函数的应用之最大利润问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支 (2)文具店共有3种进货方案 (3)当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，依题意得：，据此即可求解； （2）设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支，依题意得：，据此即可求解； （3）根据获利即可求解； 【详解】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支， 依题意，得：， 解得. 答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支. （2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支， 依题意得：， 解得：. ∵为整数， ∴a可被2整除， ∴ ∴文具店共有3种进货方案. （3）解：获利， ∵随着的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为元. 此时 ∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 2．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 (2)再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设分别购进款纪念币、款纪念币枚，由题意得：，据此即可求解； （2）设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，；结合即可求解； 【详解】（1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币枚， 由题意得： 解得： ∴购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 （2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为， 则 ∵ 解得： 又∵随的增大而减小 ∴当时，取最大值，且 此时： 故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 3．（2024·云南文山·模拟预测）某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 【答案】(1) (2)5600元 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式及一次函数的应用， （1）用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）先求出x的取值范围，再列出总利润为w关于销售量x的函数，最后求最值即可． 【详解】（1）解：当时，设（k为常数，且）． 将代入得， 解得，， ∴． 当时，设（a、b为常数，）． 将代入得， ， 解得，， ∴． （2）由题意知，购进x千克乙商品，则购进千克甲商品． ∴， 解得，． 设甲、乙两种商品全部销售完的总利润为w元． 由题意得，． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最大值，为． ∴当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润为5600元． 【易错必刷二十三 一次函数的应用之行程问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）某人从A地出发，前往外的B地，他离A地的距离与他行走所用时间(h)之间的函数关系如图所示，回答问题． (1)开始行走时，他距离A地 ； (2)小时后距离A地 ； (3)距离A地时，他行走了 h，他行走的速度是 ； (4)写出的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)；； (4)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获得相关信息； （1）根据函数图象回答即可． （2）根据函数图象回答即可． （3）根据函数图象可得出距离A地时，他行走了，然后用总的路程除以总的时间即可得出答案． （4）根据函数图象回答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴开始行走时，他距离A地， 故答案为：10． （2）当时，， ∴小时后距离A地， 故答案为：30． （3）当时，， ∴距离A地时，他行走了， 他行走的速度是： 故答案为：；； （4）从函数图像可知：的取值范围是． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 【答案】(1)直线的表达式为； (2)小张从家到机场需要30分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法即可求得； （2）把代入函数关系式求出的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【详解】（1）解：设直线为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 把代入得，， 解得， （分钟）． 故小张从家到机场需要30分钟． 3．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）甲车从地去地，同时乙车从地去地，两车都匀速行驶，甲车到达地后停留1小时，然后按原路原速返回地，乙车经过10小时到达地，两车距地的路程与甲车所用的时间的关系如下图所示．    (1)A、B两地的路程为________，甲车返回地时的值是________； (2)求直线、的解析式； (3)甲车到达地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距？ 【答案】(1)600；11 (2)所在直线的解析式为，所在直线的解析式为 (3)乙车出发或小时，两车相距 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解题意，从函数图像中获取信息是解题的关键． （1）根据图像可知，两地的路程，根据速度路程时间可得乙车的速度； （2）根据图像信息，待定系数法求得,的直线解析式即可； （3）分两种情况进行讨论：①甲车与乙车相遇前，②甲车与乙车相遇后；根据函数解析式的函数值之差为150，即可求得时间． 【详解】（1）解：由图像可知，两地相距， ∵甲车从地去地，甲车到达地后停留1小时， ∴甲车从地去地的时间为：， ∵甲车按原路原速返回地， ∴甲车返回A地所用时间为， ∴甲车返回地时的值是： ． （2）解：设所在直线的解析式为：， 由题意可知，点 ， ∴ ∴， ∴所在直线的解析式为：， ∵乙车经过10小时到达地， ∴， 设所在直线的解析式为： ，把点 ，代入得： ∴， 解得  ， ∴所在直线的解析式为：； （3）①甲车与乙车相遇之前时， 有， 解得； ②甲车与乙车相遇之后时， ， 解得： ， 答：乙车出发或小时，两车相距． 【易错必刷二十四 一次函数的应用之几何问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，与正比例函数交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，三角形面积， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出交点C的坐标，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解方程组得 ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如下图所示，过点C作轴于点D， 立方程组 解，得 ∴， ∴，， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线上的一个点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形等知识． （1）把代入得到，，即可求出答案； （2）根据（1）得到，求出，利用三角形面积公式并结合点的坐标即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入得到， ， 解得； （2）由（1）得到， 把点代入得到， ， ∴ ∵点A的坐标为． ∴ ∴的面积为． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或； (3)或2或1 【分析】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再求出m的值即可． （2）由（1）得一次函数：，先求出的面积，进而求出的面积，最后求出符合条件的点M的坐标； （3）根据题意，当或时，，，不能围成三角形，一次函数的图象过点，进而即可求得三种k的值． 【详解】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：． （2）由（1）得：一次函数：， ∵点M在直线， 把代入，得， ∴C点坐标为， ∴， ∵A点坐标， ∴， 把代入，得， ∴B点坐标为， ∴， ∴， 解得：边上的高为：， 当时，，当时， ∴点M的坐标为或； （3）当或时，，，不能围成三角形，即或， 当过点时，将点A坐标代入并解得：； 故当的表达式为：或或． 故或2或1． 【易错必刷二十五 江苏地区一次函数常考题型】（共9小题） 1．（23-24八年级下·浙江台州·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（    ） 温度（） 0 10 20 30 … 声速（） 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，温度是自变量，声速是函数 B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声音可以传播 D．当温度升高到时，声速为 【答案】D 【分析】根据函数图表信息，解答即可． 本题考查了函数图表表示及其意义，正确理解图表函数的意义是解题的关键． 【详解】解：A． 在这个变化过程中，温度是自变量，声速是函数，正确，不符合题意； B． 在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，不符合题意； C． 当空气温度为时，声音可以传播，正确，不符合题意； D． 当温度升高到时，声速为，错误，符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，故①正确； 一次函数经过一、二、三象限，所以，即，故②错误； 由图象可得：当时，，故③错误； 当时，，故④正确； 综上分析可知：①④正确，共2个． 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l，m，n所对应的函数表达式分别为，，，若直线l与x轴交于点A，直线n与直线l，m分别交于点N，M，则的面积为（    ）． A．8 B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质以及两点之间的距离． 设直线l，m，分别与y轴交于点C，D，过点C作于点B先求出点C的坐标可得是等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，可求出，即直线l，m的距离为，再求出点N的坐标，可得到的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，设直线l，m，分别与y轴交于点C，D，过点C作于点B， ∵直线l，m所对应的函数表达式分别为、， ∴， ∴，即， 对于， 当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴，即，   即直线l，m的距离为， 联立， 解得：， ∴点N的坐标为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 4．（2023·浙江杭州·二模）已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，不等式解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是， ，， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数，当时，，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质．利用一次函数的性质，当时，，；，，当时，，；，，然后分别利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到的值． 【详解】解：当时，，；，， ， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，；，， ， 解得， 此时一次函数解析式为， 综上所述，一次函数解析式为或． 故答案为：1或． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】先求出点，根据两点间距离公式求出，设点的坐标为，点P的坐标为，根据折叠的性质求出，，根据两点间距离公式求出，求出或，得出或，再根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴， 则， 设点F的对应点为，设点的坐标为，点P的坐标为， 根据折叠可知：，， ∴， 即， 解得：或， ∴或， 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 综上分析可知，点P的横坐标为1或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，折叠的性质，两点间距离公式，求两条直线的交点坐标，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式，准确计算． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于，．    (1)求该一次函数的表达式． (2)若该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为8，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式，以及求一次函数上点的特点来求坐标， （1）点，带入一次函数，就可求出函数的表达式； （2）一次函数图象上P到x轴的距离为8，分两种情况讨论，即可求出P的坐标． 【详解】（1）点，代入中， ，可得，． 一次函数的表达式：． （2）点P为一次函数图象上一点，设， 有一点P到x轴的距离为8， 分两种情况讨论． ，解得，此时． ，解得，此时． 故点P的坐标，． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设，根据点的坐标利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设，将点，代入得： ，解得， 函数解析式为； （2）解：将代入得，； （3）解：∵， ∴随的增大而减小， 将和代入得，， 解得，， ∴当时，， 自变量x的取值范围为． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知．    (1)求m、k、b的值． (2)若M是线段上一点，当的面积是面积的时，求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将点C的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值，再由求出A点坐标，把两点坐标代入一次函数求出k，b的值即可． （2）先根据k，b的值得出一次函数的解析式，故可得出B点坐标，再设，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象过点， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 将点和点代入可得： ∴， 解得：， 故，，． （2）由（1）得：，， ， 当时，， ∴， 设， ∵的面积是面积的， ，即：， 解得：， 将带入， 【点睛】本题考查的了待定系数法求函数解析式及一次函数的图象，先根据题意得出一次函数的解析式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数易错必刷题型专训（81题25个考点） 【易错必刷一 函数的概念】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（   ） A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数 C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化的过程中，因变量是 ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表：请回答下列问题：    刹车时车速 刹车距离 (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______； (2)请用关系式表示变量与之间的数量关系：_______；表格中m的值为_______； (3)若该型号新能源车以的速度前行，且与前车保持直线距离20米，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 【易错必刷二 求自变量的相关范围】（共3小题） 1．（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．或 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，圆柱的高为，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化． (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量 (2)请你求出圆柱的体积与圆柱的底面半径之间的关系式 (3)的值能为负值吗为什么 (4)当圆柱的底面半径从变化到时，圆柱的体积变化了多少最后结果保留 【易错必刷三 函数图象】（共3小题） 1．（24-25八年级上·四川·期中）下列曲线（图象），y不是x的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【易错必刷四 动点问题的函数图象】（共3小题） 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 2．（2024·山东济南·三模）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示．则的面积为 ． 3．（23-24八年级下·广东韶关·期末）在长方形中，，，动点从点开始按的方向运动到点．如图，设动点所经过的路程为，的面积为．（当点与点或重合时，）    (1)写出与之间的函数解析式； (2)直接写出的面积的最大值． 【易错必刷五 变量间的关系表示】（共3小题） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为 2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的关系式为 3．（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【易错必刷六 正比例函数】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D．无法判断 2．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，请用“”表示，，的不等关系 ． 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【易错必刷七 根据一次函数的定义求参数】（共3小题） 1．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）若函数是关于的一次函数，则满足 ； 若该函数是关于的正比例函数，则，满足 ； 若，，则函数关系式是 ． 3．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【易错必刷八 一次函数的解析式】（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）将直线关于轴对称后，所得直线过点，则直线的函数表达式为 ． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知一次函数 (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值； (2)若一次函数经过点，求k的值； 【易错必刷九 一次函数的求值】（共3小题） 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）一次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ． 3．（23-24八年级下·吉林白城·期末）已知一次函数，当时，； (1)求此函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【易错必刷十 已知函数经过的象限求参数范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果一次函数的图象经过第一、二、四象限，则有（　　） A． , B．, C．, D．, 2．（23-24八年级下·云南红河·期末）函数经过第一、二、四象限，则在第 象限． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过一、二、四象限，求的取值范围． 【易错必刷十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象经过原点 D．图象与x轴交点坐标是 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是 ． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【易错必刷十二 一次函数图象平移问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）将一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，平移后的函数图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．或 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知两直线：，：， 若，则有 若，则有， 若，则有 若，则有， (1)应用：已知与平行，则______； (2)应用：已知与垂直，则______； (3)直线经过，且与平行，求该直线解析式． 【易错必刷十三 一次函数的增减性】（共3小题） 1．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【易错必刷十四 比较一次函数值的大小】（共3小题） 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（江西省吉安市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是 （用“”表示）． 3．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的图象经过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)若点M和N都在这个函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明与的大小关系． 【易错必刷十五 一次函数的规律探究问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【易错必刷十六 一次函数与二元一次方程】（共3小题） 1．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【易错必刷十七 求直线围成的图形面积】（共3小题） 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于点，为坐标系原点，那么的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【易错必十八 由直线与坐标轴的交点不等式的解集】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（      ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．    3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【易错必刷十九 根据两条直线的交点求不等式的解集】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B横坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为 ．    3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【易错必刷二十 一次函数的最值问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为和，点是轴上一个动点，当的周长最小时点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．      3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．    (1)作关于轴对称的图形，、、的对应点分别为、、； (2)在轴上存在一点，使的值最小，请在图中画出点，并求出点的坐标． 【易错必刷二十一 一次函数的应用之分配方案问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 (1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； (2)什么情况下到甲商场购买更优惠？ 2．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【易错必刷二十二 一次函数的应用之最大利润问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 2．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 3．（2024·云南文山·模拟预测）某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 【易错必刷二十三 一次函数的应用之行程问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）某人从A地出发，前往外的B地，他离A地的距离与他行走所用时间(h)之间的函数关系如图所示，回答问题． (1)开始行走时，他距离A地 ； (2)小时后距离A地 ； (3)距离A地时，他行走了 h，他行走的速度是 ； (4)写出的取值范围是 ． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 3．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）甲车从地去地，同时乙车从地去地，两车都匀速行驶，甲车到达地后停留1小时，然后按原路原速返回地，乙车经过10小时到达地，两车距地的路程与甲车所用的时间的关系如下图所示．    (1)A、B两地的路程为________，甲车返回地时的值是________； (2)求直线、的解析式； (3)甲车到达地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距？ 【易错必刷二十四 一次函数的应用之几何问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，与正比例函数交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线上的一个点，求的面积． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【易错必刷二十五 江苏地区一次函数常考题型】（共9小题） 1．（23-24八年级下·浙江台州·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（    ） 温度（） 0 10 20 30 … 声速（） 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，温度是自变量，声速是函数 B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声音可以传播 D．当温度升高到时，声速为 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l，m，n所对应的函数表达式分别为，，，若直线l与x轴交于点A，直线n与直线l，m分别交于点N，M，则的面积为（    ）． A．8 B． C． D．10 4．（2023·浙江杭州·二模）已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，不等式解集是 ． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数，当时，，则的值为 ． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于，．    (1)求该一次函数的表达式． (2)若该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为8，求点P的坐标． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的取值范围． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知．    (1)求m、k、b的值． (2)若M是线段上一点，当的面积是面积的时，求点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$