第五章 一次函数 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第五章 一次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）一次函数的图象经过点，则下列关系式不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）已知是直线（b为常数）上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 5．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（    ） A． B． C． D．无解 6．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 7．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 12．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）若与成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为 ． 13．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 14．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ． 15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为 h． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 17．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知直线y＝kx＋b经过M(0，2)，N(1，3)两点． (1)求该直线的表达式； (2)请判断点P（2，4）在不在该直线上 18．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 19．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴相交于A点，与直线：相交于点． (1)求m、k的值； (2)求的长； (3)若直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求a的值． 20．（2024·浙江舟山·三模）小明同学看到一则材料：小舟和小山去某风景区游览如图1，约好在飞瀑见面，上午7点，小舟乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路前往飞瀑，小山也在上午7点，从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路前往飞瀑，设小舟行驶时间为，两人之间的距离为，y与t的函数关系如图2，小明思考后发现了部分正确信息：古刹与塔林相距，小舟出发后1小时追上小山，请你帮助小明同学解决以下问题： (1)分别求出线段， 所在直线的函数解析式； (2)若塔林与草甸相距，求出小舟距离草甸时是上午几点？ 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）小亮家今年种植的哈密瓜喜获大丰收．小亮准备采取批发和零售两种渠道销售，批发价为元/千克．他通过市场调查得知，哈密瓜每日零售销量（千克）是零售价格（元/千克）的一次函数．已知哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克；哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克． (1)求与之间的函数表达式； (2)若小亮家第一批可采摘哈密瓜千克，为了减少各种损耗，小亮准备先将哈密瓜以元/千克的零售价销售天，再将剩余哈密瓜全部以批发价售出．求小亮家这批哈密瓜全部售出后的总销售金额． 22．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 23．（23-24八年级下·浙江台州·期末）小张使用手机的时间比较多．他的手机在纯充电时（只充电不使用）电池电量的变化如图所示，手机的剩余电量与连续使用时间的部分数据如下表： 连续使用时间（） 0 30 60 90 120 手机剩余电量（） 100 95 90 85 80 假设手机耗电量一直满足表中规律，手机剩余电量为时必须充电，否则会自动关机． (1)请用适当的函数表达式描述手机剩余电量与连续使用时间之间的关系． (2)小张的手机在早上充满电，连续使用手机，他最迟在什么时间进行充电，才能保证手机不会自动关机？ (3)在一次外出放行过程中，他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量．在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电，问：他上火车后最多可以连续使用手机多长时间（精确到1分钟）？ 24．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．   【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）一次函数的图象经过点，则下列关系式不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．将点的坐标代入函数解析式，用表示即可解决问题． 【详解】解：因为一次函数的图象经过点， 所以， 则， 所以， 所以， 故不可能等于． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）已知是直线（b为常数）上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据函数图象的增减性即可求解，由函数解析式可得，随的增大而减小，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：直线的解析式为（是常数）， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D ． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图像过一、三象限， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B．所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C．弹簧不挂重物时的长度为，本选项错误，符合题意； D．物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方， ∴不等式组的解为， 故选：A． 6．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可. 【详解】解：∵ ∴函数的函数值随着x的增大而增大， 当时，则当时取得最小值， 即， 解得， 故选：A 7．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，坐标与图形变化平移．先根据勾股定理求出，再由平移的性质得出，把代入，求出，再把代入，解得，即可求出点的坐标． 【详解】解：点、的坐标分别为，， ， 轴，， ． 将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点）， ． 直线经过点， ，解得， 直线经过点， 把代入，解得， 点的坐标为． 故选：A． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 9．（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与不等式的结合，熟练运用数形结合是解题的关键．画出大致图象，由函数的解析式求得最低点为，点关于直线的对称点为，由题意可知，解不等式即可． 【详解】解：函数的图象如图， 可知函数的最低点为， 点关于直线的对称点为， 当直线与图象有四个交点时，可得， 解得， 故选：B． 10．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象和性质，熟练掌握图象与x轴的交点，函数的增减性，最值的计算方法，两个函数图象的交点，是解题的关键． 根据函数图象的性质特点进行逐项分析即可． 【详解】由函数图象知，当时，或，故①正确； 当时，图象有最低点，没有最高点， ∴y有最小值，没有最大值，故②正确； 当时，y隋x的增大而减小，故③不正确； ∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点， ∴点在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确 故选：B 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上两个特殊点（与坐标轴的交点）的求法的解题的关键．根据x轴上点的坐标特点是纵坐标为0，据此进行求解即可． 【详解】解：令， 则， 解得； 故图象与x轴交点坐标是， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）若与成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．由正比例函数的定义可设，把时，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可． 【分析】解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解． 【详解】∵直线经过点， 将代入，则， ∴与的交点为， 又 ∴观察图形可知，使的x的值为． 故答案为： 14．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题主要考查函数图形与几何图形面积的计算，理解图示，掌握动点与面积的关系，函数图象获取信息的知识是解题的关键． 根据题意，第5~7秒时，三角形的面积等于，第2~5秒时，三角形的底边为，第7秒时，长方形的长为，由此即可求解． 【详解】解：由图可知，第5~7秒时三角形完全覆盖住长方形，可得三角形的面积等于， 第2~5秒时，三角形和长方形从开始覆盖到完全覆盖， ∴三角形的底边为， ∴三角形的高为，即长方形的宽也为， 第7秒时，三角形已经运动到长方形最右端， ∴长方形的长为， ∴长方形的面积等于． 15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为 h． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据图象数据求出甲、乙的速度，再求出段，段，段对应的函数解析式，然后根据甲、乙两车相距列出方程求出即可． 【详解】解：由图可知，甲从到所用时间为， 甲车的速度为， 乙出发时甲所走的路程为：， 甲出发时，甲、乙两车相距； 线段对应的函数表达式为：， 设乙车刚出发时的速度为，则装满货后的速度为， 根据题意可知：， 解得：， 段对应的函数解析式为， 根据题意得：， 解得， ， 甲出发时，甲、乙两车相距； 坐标为， 坐标为， 设对应的函数解析式为， 则， 解得， 对应的函数解析式为， 由题意得：， 解得， 此时， 综上所述：当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为或或． 故答案为：或或． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 设直线的解析式为，代入点，，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由可设直线的解析式为，代入点得： ，即， 直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ∴根据中点坐标公式可得：点E的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考常考题型． 三、解答题（10小题，共64分） 17．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知直线y＝kx＋b经过M(0，2)，N(1，3)两点． (1)求该直线的表达式； (2)请判断点P（2，4）在不在该直线上 【答案】（1）该直线的表达式为．（2）点P（2，4）在该直线上． 【分析】（1）将两点坐标分别代入直线解析式中，利用二元一次方程组求解，的值即可． （2）将P点横坐标代入解析式中，判断纵坐标是否相等即可． 【详解】（1）解：直线y＝kx＋b经过M(0，2)，N(1，3)两点， ，解得， 直线的表达式为： （2）解：将点P（2，4）的横坐标代入直线解析式中有：． P（2，4）在该直线上 ． 【点睛】本题主要是考查了利用待定系数法求解一次函数解析式以及一次函数上的点的特征，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式是本题的关键． 18．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质； （1）根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：； （2）由（1）可得， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 19．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴相交于A点，与直线：相交于点． (1)求m、k的值； (2)求的长； (3)若直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或或13 【分析】本题考查一次函数的综合，涉及待定系数法求一次函数的解析式、直线的交点，两点之间的距离公式等知识． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先求出点A的坐标，然后利用两点之间的距离公式求解即可． （3）求得两条直线与直线的交点纵坐标，分三种情况讨论求得即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴． （2）∵已知直线：与y轴相交于A点， ∴， ∴， ∵ ∴． （3）把代入得，， 把代入得，， 分三种情况： ①当第三点在直线上时，，解得； ②当第三点在直线上时，，解得； ③当第三点在x轴上时，则，解得， ∴直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或或13 20．（2024·浙江舟山·三模）小明同学看到一则材料：小舟和小山去某风景区游览如图1，约好在飞瀑见面，上午7点，小舟乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路前往飞瀑，小山也在上午7点，从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路前往飞瀑，设小舟行驶时间为，两人之间的距离为，y与t的函数关系如图2，小明思考后发现了部分正确信息：古刹与塔林相距，小舟出发后1小时追上小山，请你帮助小明同学解决以下问题： (1)分别求出线段， 所在直线的函数解析式； (2)若塔林与草甸相距，求出小舟距离草甸时是上午几点？ 【答案】(1)，； (2)小舟与草甸相距时的时间为上午或． 【分析】本题主要考查了从函数图像上获取信息，待定系数法求一次函数解析式，有理数除法的实际应用． （1）用待定系数法分别求出线段， 所在直线的函数解析式即可． （2）先分别计算出小周与小山的速度，再根据距离草甸时，小舟行驶了或，分别计算出时间即可求解． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 把，代入， 可得：， 解得：， ∴的解析式为：， 设的解析式为：， 把，代入， 可得：， 解得：， ∴的解析式为： （2）小山的速度为∶， 小舟的速度为 当“距离草甸时，小舟行驶了或． ∴或 ， 即小舟与草甸相距时的时间为上午或． 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）小亮家今年种植的哈密瓜喜获大丰收．小亮准备采取批发和零售两种渠道销售，批发价为元/千克．他通过市场调查得知，哈密瓜每日零售销量（千克）是零售价格（元/千克）的一次函数．已知哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克；哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克． (1)求与之间的函数表达式； (2)若小亮家第一批可采摘哈密瓜千克，为了减少各种损耗，小亮准备先将哈密瓜以元/千克的零售价销售天，再将剩余哈密瓜全部以批发价售出．求小亮家这批哈密瓜全部售出后的总销售金额． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的求解： （1）设与之间的函数表达式为，根据题意列出关于二元一次方程组，解之可得出的值，进而可得出函数表达式； （2）代入，求出值，进而可求出零售天的销售量，再利用总销售金额销售单价销售数量，即可求出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为 根据题意得： 解得： 与之间的函数表达式为： （2）解：当时，（千克） 零售天的销售量为：（千克） 总销售金额为：（元） 答：小亮家这批哈密瓜全部售出后的总销售金额为元 22．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查一次函数的性质及交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意联立两个一次函数求解即可； （2）根据一次函数的性质得出随x的增大而增大，随x的增大而减小，分别确定其最值，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 解得， ∴，图象的交点坐标为； （2）解：在中，． ∴随x的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值， 在中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，的最小值为， ∵， ∴， 解得． 23．（23-24八年级下·浙江台州·期末）小张使用手机的时间比较多．他的手机在纯充电时（只充电不使用）电池电量的变化如图所示，手机的剩余电量与连续使用时间的部分数据如下表： 连续使用时间（） 0 30 60 90 120 手机剩余电量（） 100 95 90 85 80 假设手机耗电量一直满足表中规律，手机剩余电量为时必须充电，否则会自动关机． (1)请用适当的函数表达式描述手机剩余电量与连续使用时间之间的关系． (2)小张的手机在早上充满电，连续使用手机，他最迟在什么时间进行充电，才能保证手机不会自动关机？ (3)在一次外出放行过程中，他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量．在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电，问：他上火车后最多可以连续使用手机多长时间（精确到1分钟）？ 【答案】(1) (2)他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机 (3)他上火车后最多可以连续使用手机 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据每连续使用，电量下降，求解即可； （2）利用（1）中关系式，求出电量为时，连续使用的时间即可得出结果； （3）根据函数图像可得，电量从，纯充电到电量满需要，设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，根据他要乘坐4小时的火车，下火车时手机充满电，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：每连续使用，电量下降，符合一次函数的性质， 设手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为， 将代入， 则，解得：， 手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为； （2）解：由（1）知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为； 则当时，则，解得：， ，则， 他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机； （3）解：根据函数图像可得，电量从，纯充电到电量满需要， 设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为， 根据题意得：， 解得：， 答：他上火车后最多可以连续使用手机． 24．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．   【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】【跟进练习】；【结论理解】；【灵活运用】；【延伸拓展】，，， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质． 【跟进练习】根据的取值即可求出的取值；【结论理解】直接利用结论求出即可；【灵活运用】先求出直线的解析式，再设直线的解析式并求出，最后联立两个解析式即可；【延伸拓展】先求出直线解析式，再得出点坐标，最后由的坐标结合以为顶点的三角形是直角三角形即可． 【详解】解：【跟进练习】 ， 当时，；当时， 故答案为：； 【结论理解】直线与直线互相垂直 故答案为：； 【灵活运用】， 直线的解析式为： 设直线的解析式为： 将代入得， 由得 ； 【延伸拓展】直线经过点 得 与轴的交点 ，，为顶点的三角形是直角三角形 如图，    当，点C在y轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在y轴上时，点坐标是， 点C在x轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在x轴上时，点坐标是， 综上所述：点坐标可以是以下各点： ，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$