专题04 反比例函数单元过关（培优版）-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题04 反比例函数单元过关（培优版） 考试范围：第六章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．广州南站到江门站距约则动车由广州南站行驶到江门站所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据题意，得到，即可得出所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数为反比例函数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数为反比例函数， 故选B． 2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数，据此判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的关系式符合y是x的反比例函数， 故选C． 3．如果反比例函数的图象在第一、三象限内，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．随的增大而增大 C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的性质判断选项的正确性． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，即，故C错误，D正确， ∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故A、B错误． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 4．已知点，，都在反比例函数图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，都在比例函数图象上， ，，． ， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式． 5．如图，是反比例函数图象上的一点，轴于点，点为轴上一点，连接．若的面积为3，则的值是 （    ） A．3 B．-3 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】连结OP，如图，利用三角形面积公式得到S△OAP=S△APB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】连结OP，如图， ∵PA⊥y轴， ∴OB∥AP， ∴S△OAP=S△APB=3， 而S△OAP=， 解得：， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 6．已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数时，函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，即可判断出、、的大小关系． 【详解】解：∵， ∴，是正数， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小． ∵点，，都在反比例函数图象上， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数 ，当，反比例函数图象在一、三象限；当 ，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数是正数是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，下列结论错误的是①；②四边形与面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①根据反比例函数的比例系数的几何意义，得到，结合三角形面积公式及正方形性质解得，NC=AM，再根据SAS判断； ②根据及解题即可； ③由全等三角形的性质解得ON=OM，由于k的值不能确定，则的值不能确定，无法确定为等边三角形，则可判断； ④作于点E，由等腰直角三角形的性质得到，设，结合勾股定理解得x的值，并用勾股定理逆定理证明为等腰直角三角形，设正方形ABCO的边长为，在中，根据勾股定理解题即可解得的值，继而得到结论． 【详解】都在图象上， 在正方形中， ①正确； 而 ②正确； 的值不能确定， 的值不能确定， 只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形， ③错误； 作于点E，如图， 为等腰直角三角形， 设 在中，MN=2， 为等腰直角三角形 设正方形ABCO的边长为 则 在中， 解得（舍去） ④正确，故①②④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查反比例函数综合，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 8．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD与双曲线交于D、E两点，将△OCD沿OD翻折，点C的对称C'恰好落在边AB上，已知OA=3，OC=5，则AE长为（ ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由翻折的性质可知OC′=5，由勾股定理可求得AC′=4，故此可知BC′=1，设CD=x，由翻折的性质可知DC′=x，则DB=3-x，依据勾股定理可求得CD的长，从而得到点D的坐标，于是可求得双曲线的解析式，最后将x=3代入解析式求得点E的坐标，从而可知AE的长． 【详解】设CD=x． 由翻折的性质可知；OC′=OC=5，CD=DC′=x，则BD=3-x． ∵在Rt△OAC′中，AC′==4． ∴BC′=1． 在Rt△DBC′，由勾股定理可知：DC′2=DB2+BC′2，即x2=（3-x）2+12． 解得：x=． ∴k=CD•OC=×5=． ∴双曲线的解析式为y=． 将x=3代入得：y=． ∴AE=． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是翻折变换、待定系数法求函数的解析式、勾股定理的利用，求得CD=是解题的关键． 9．如图，函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于，连结．若，则的周长为（    ）    A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作DE⊥AO于点E，设点D（a，b），根据点D在函数的图象上可得DE·OE＝1，根据∠BAO＝90°，点D为OB的中点，可得AD＝DO＝3，根据勾股定理可得DE2＋OE2＝DO2＝9，进而可得（DE＋OE）2＝11，由此可求得DE＋OE＝，进而求得，最后根据相似三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：过点D作DE⊥AO于点E， 设点D（a，b）， 则DE＝b，OE＝－a， ∵点D在函数的图象上， ∴， ∴ab＝－1， ∴DE·OE＝－ab＝1， ∵∠BAO＝90°，点D为OB的中点， ∴AD＝DO＝3， ∴在Rt△DOE中，DE2＋OE2＝DO2＝9， ∴（DE＋OE）2＝ DE2＋OE2＋2 DE·OE ＝9＋2 ＝11 ∴DE＋OE＝（舍负） ∴， ∵点D为OB的中点， ∴DO＝， ∵∠BAO＝90°，DE⊥AO ∴∠BAO＝∠DEO＝90°， ∴DE∥AB， ∴△DEO∽△BAO， ∴， ∴ ， 故选：D．    【点睛】本题考查了反比例函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解决本题的关键． 10．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（     ） A．3 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】设点坐标为．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，那么，．根据，列出方程，即可求出． 【详解】解：设点坐标为． 轴，，， ，， ， ，． ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是设点坐标为，用含的代数式表示出点坐标． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．反比例函数经过点(2，-2)，则= ． 【答案】-4 【分析】将点坐标直接代入求解即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点 ∴ 解得 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式．解题的关键在于将点代入求解． 12．已知正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则 ． 【答案】-16 【分析】正比例函数的图象与反比例函数y=-的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将展开，依此关系即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=-的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴A、B关于原点对称， ∴x1=-x2，y1=-y2，，， ∴ = x1y1-x2y1-x1y2+x2y2 =x2y2+x2y2+x1y1+x1y1 =-4×4 =-16． 故答案为：-16． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称． 13．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则的坐标是 ，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】分别求出函数过点时的值，可得结果． 【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴当函数过点时，， 当函数过点时，， ∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，的取值范围是：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是本题解题关键． 14．如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的边OC在轴上，对角线AC，OB交于点M，函数（＞0）的图象经过点A（2，4）和点M．则点M的坐标为 ． 【答案】（4，2） 【分析】根据点A在反比例函数图像上，先求出的值，再由M为对角线的交点，求出点M的坐标 【详解】 A（2，4）在反比例函数图像上 设 M为对角线的交点，即为的中点 又OC在轴上 点的纵坐标为0 M在反比例函数图像上 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，理解并求得点的纵坐标是解题的关键． 15．如图，已知反比例函数的图象经过的顶点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，交轴于点，交轴于点，若，．则 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，轴于点，连接，根据垂线的定义和对顶角相等，得出，再根据相似三角形的性质，得出，设，则，同理得出，进而得出，设，则，再根据坐标与图形，得出，再根据点在反比例函数的图象上，得出，再根据图形的面积，得出，再根据三角形的面积公式，得出，再把代入，计算即可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点在第二象限，且，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质，并正确作出辅助线． 16．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是 ． 【答案】1+． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后由轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B′的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值． 【详解】解：如图， ∵点A坐标为（-2，2）， ∴k=-2×2=-4， ∴反比例函数解析式为y=-， ∵OB=AB=2， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， ∵PQ⊥OA， ∴∠OPQ=45°， ∵点B和点B′关于直线l对称， ∴PB=PB′，BB′⊥PQ， ∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°， ∴B′P⊥y轴， ∴点B′的坐标为（-，t）， ∵PB=PB′， ∴t-2=|-|=， 整理得t2-2t-4=0，解得t1=1+，t2=1-（不符合题意，舍去）， ∴t的值为1+， 故答案为1+． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质、会用求根公式法解一元二次方程等是关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】反比例函数的表达式为 【分析】将点坐标代入一次函数的解析式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：把点代入，得， ∴, 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握利用待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 18．已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，熟记相关结论是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）分别求出当和时的函数值即可求解； （3）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得： ， ∴ （2）解：由（1）得：， 当时，； 当时，； ∴ （3）解：∵， ∴反比例函数在一、三象限，随的增大而减小 ∵， ∴ 19．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点E（1，5）和点F（5，1）． (1)求k，b的值； (2)求△EOF的面积； (3)请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围． 【答案】(1)b＝6，k＝5， (2)12 (3)0＜x＜1或x＞5． 【分析】（1）将点E（1，5）代入y＝﹣x+b和，即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点，求得的坐标，进而根据S△EOF＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE求得三角形面积； （3）根据函数图象以及交点坐标，即可求解． 【详解】（1）将点E（1，5）代入y＝﹣x+b和，得 b＝6，k＝5， （2）∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点， 令，得，令，得， ∴A（6，0），B（0，6）， ∴S△EOF＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE＝6×6﹣×1﹣6×1 ＝18﹣6＝12 （3）观察函数图象可知： 反比例函数值大于一次函数值时x的范围为：0＜x＜1或x＞5． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，求直线围成的三角形面积，根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 20．李叔叔驾驶小汽车从地匀速行驶到地，行驶里程为，设小汽车的行驶时间为，行驶速度为，且全程速度限定不超过． （1）求与之间的关系式； （2）李叔叔上午8点驾驶小汽车从地出发，需要在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围． 【答案】（1）；（2）小汽车行驶速度的范围为 【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程，得到与之间的关系式； （2）根据题意得出时间的范围，代入（1）中的关系式得到速度的范围． 【详解】解：（1）∵，且全程速度限定不超过， ∴与之间的关系式为． （2）∵8点至12点48分的时间长为，8点至14点的时间长为， ∴将代入中，得， 将代入中，得． ∴小汽车行驶速度的范围为． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是列出反比例函数解析式进行求解． 21．在如图平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，、分别落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）连接，求∠OFG的大小． 【答案】（1）的值是2和点的坐标为（4，）；（2）90°． 【分析】（1）证明△COF∽△AOB，则，求得：点F的坐标为（1，2），再把点F的坐代入解析式即可求解，进而可得点G坐标； （2）证明，则△COF∽△BFG，从而得到∠COF=∠BFG，在Rt△OCF中，∠COF+∠CFO=90°，再根据∠OFC+∠BFG+∠OFG=180°，再整体代入即可． 【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴∠OCB=∠OAB=∠ABC=90°，OC=AB=2，OA=BC=4， ∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB， ∴∠COF=∠AOB，∴△COF∽△AOB， ∴， ∴， ∴CF=1， ∴点F的坐标为（1，2）， ∵的图象经过点F， ∴2=，得k=2， ∵点G在AB上， ∴点G的横坐标为4， 对于y=，当x=4，得y=， ∴点G的坐标为（4，）； 答：的值是2和点的坐标为（4，）； （2）∵BC=OA=4，CF=1，AB=2，OC=2 ∴BF=BC-CF=3，BG=AB-AG=． ∴． ∵∠OCF=∠GBF=90°， ∴△COF∽△BFG， ∴∠COF=∠BFG， ∵在Rt△OCF中，∠COF+∠CFO=90°， ∴∠BFG+∠CFO=90°， ∵∠OFC+∠BFG+∠OFG=180°， ∴∠OFG=90°， ∠OFG的大小为90°． 【点睛】本题考查的是反函数综合运用，涉及的知识有相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 22．已知y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数）．当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数图象；并写出函数的一条性质：　 　； （3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|2x+4|+bx＝的近似解（精确到0.1）． 【答案】（1）1；﹣1；（2）当x≥﹣2时，y随x的增大而增大；（3）x1＝﹣2.5，x2＝2.8 【分析】依题意（1）把当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3分别代入函数y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数），可求出a和b的值； （2）根据对自变量x的范围的讨论，对函数进行变形，进而画出对应的函数图象； （3）根据两个函数图象的交点位置，估算出交点的横坐标即可； 【详解】解：（1）根据题意可得， ，解得， 故答案为：1；﹣1； （2）根据题意，当x≥﹣2时，2x+4≥0，y＝2x+4﹣x＝x+4； 当x＜-2时，2x+4＜0，则y＝﹣2x﹣4﹣x＝﹣3x﹣4． ∴； 由函数解析式可画出对应的函数图象，根据函数图象可得出对应函数的性质． 故答案为：当x≥﹣2时，y随x的增大而增大； （3）根据函数图象，交点的横坐标就是该方程的解，根据图象估算对应的解为：x1＝﹣2.5，x2＝2.8； 【点睛】本题主要考查待定系数求解析式、数形结合等，关键在如何准确应用数形结合求解； 23．如图，反比例函数的图象经过格点（网格线的交点），过点作轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)已知直线经过格点，交轴于点．记（不含边界）围成的区域为．当直线经过格点时，区域内的格点坐标有几个？分别为哪些？ 【答案】(1) (2)区域内的格点坐标有3个，分别为，，． 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）当直线经过格点，点，求出直线的解析式，结合图象即可求得内的格点坐标及个数； 【详解】（1）将点代入反比例函数，得： ， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵直线经过格点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示： ∵点，轴于点， ∴点， 故区域的左边界为线段的部分，其解析式为：， 上方的边界为线段的部分，其解析式为， 令，得：， ∴点坐标为：， 故当时，，即与， 当时，，即， ∴区域内的格点坐标有3个，分别为，，． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键是，学会利用数形结合的思想． 24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m和一次函数的解析式； （2）利用图象直接写出不等式的x的取值范围； （3）若在平面直角坐标系内有一点C使得四边形为平行四边形求点C的坐标及平行四边形的面积． 【答案】（1）m=6，；（2）0＜x＜1或x＞3；（3）C（4，8），16 【分析】（1）将点B代入反比例函数解析式中，求出m值，从而得到点A坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案； （3）根据平行四边形的性质可得点C的坐标，再利用反比例函数k的几何意义求出△OAB的面积，从而的到平行四边形AOBC的面积． 【详解】解：（1）将B（3，2）代入反比例函数解析式， 得：m=3×2=6， ∴反比例函数解析式为， 令x=1，则y=6， ∴点A的坐标为（1，6）， 将A、B坐标代入一次函数中， 则，解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）根据图象可知使，即成立的x的取值范围是： 0＜x＜1或x＞3； （3）如图，∵四边形AOBC为平行四边形， ∴AC∥OB，且AC=OB， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴点C的坐标为（4，8）， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为D和E， ∵点A和点B在反比例函数图像上， ∴S△AOD=S△OBE=3， ∴S△OAB=S△OAD+S四边形ADEB-S△OBE=S四边形ADEB=（6+2）×（3-1）÷2=8， ∴平行四边形AOBC的面积=2S△OAB=16． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想的运用是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线和双曲线在第一象限相交于点，过点A作轴，垂足为点B．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒，过点P作轴，交直线于点C，交双曲线于点D． （1）求直线和双曲线的函数解析式； （2）设四边形的面积为S，当P在线段上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式； （3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点D，使以四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时t的值和D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的函数关系式是，双曲线的函数关系式是；（2）（3）当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）把点A的坐标代入两个函数的解析式求出k和k′的值即可得到两个函数的解析式； （2）由题意易得AB=1，OB=2，OP=t，结合（1）中所得两个函数的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得当点P在线段AB上（不与点B重合）时，CD=PD-PC=，这样S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S与t间的函数关系式了； （3）根据题意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根据这三种情况画出对应的图形（图2和图3）结合已知条件进行分析解答即可. 【详解】解：（1）把A（1，2）代入和得： ∴直线的函数关系式是，双曲线的函数关系式是； （2）∵A点坐标为（1，2），AB⊥y轴， ∴B点坐标为（0，2）， ∴AB=1，OB=2，OP=t， ∵C，D分别是PD与直线，双曲线的交点，且PD∥x轴， ∴C点坐标为，D点坐标为， ∴PC=，PD=，BP=2-t， ∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=-． ∴； （3）存在以下3种情形，具体如下： ①当CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ABCQ是平行四边形， ∵CD=PD-PC=-=1， ∴，解得（舍去）， ∴此时PD==，OP=t=-1， ∴当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形； ②当CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ACBQ是平行四边形， ∵CD=PC-PD， ∴，解得：（舍去）， ∴此时PD==，OP=t=+1， ∴当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形； ③当BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方时（如图3），此时四边形ACBQ是平行四边形， 此时Q点的坐标仍为（，+1）， 过C作CG⊥AB交AB于G，过Q作QH⊥y轴交y轴于H， ∴∠QHB=∠AGC=90°， 又∵PC⊥y轴，AB⊥y轴， ∴四边形BPCG是矩形， ∴PB=CG， ∵HQ∥AB，BQ∥AC， ∴∠HQB=∠ABQ，∠ABQ=∠CAG， ∴∠HQB=∠GAC， 又∵BQ=AC ∴△ACG≌△QBH（AAS）， ∴CG=BH=BP，， ∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-， ∴当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 综上所述，当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数单元过关（培优版） 考试范围：第六章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．广州南站到江门站距约则动车由广州南站行驶到江门站所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如果反比例函数的图象在第一、三象限内，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．随的增大而增大 C．的取值范围为 D．的取值范围是 4．已知点，，都在反比例函数图象上，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，是反比例函数图象上的一点，轴于点，点为轴上一点，连接．若的面积为3，则的值是 （    ） A．3 B．-3 C．6 D．-6 6．已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么的大小关系是(   ) A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，下列结论错误的是①；②四边形与面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD与双曲线交于D、E两点，将△OCD沿OD翻折，点C的对称C'恰好落在边AB上，已知OA=3，OC=5，则AE长为（ ） A．4 B． C． D．3 9．如图，函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于，连结．若，则的周长为（    ）    A．12 B． C． D． 10．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（     ） A．3 B．3 C．6 D．9 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．反比例函数经过点(2，-2)，则= ． 12．已知正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则 ． 13．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则的坐标是 ，的取值范围是 ．    14．如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的边OC在轴上，对角线AC，OB交于点M，函数（＞0）的图象经过点A（2，4）和点M．则点M的坐标为 ． 15．如图，已知反比例函数的图象经过的顶点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，交轴于点，交轴于点，若，．则 ． 16．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 18．已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 19．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点E（1，5）和点F（5，1）． (1)求k，b的值； (2)求△EOF的面积； (3)请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围． 20．李叔叔驾驶小汽车从地匀速行驶到地，行驶里程为，设小汽车的行驶时间为，行驶速度为，且全程速度限定不超过． （1）求与之间的关系式； （2）李叔叔上午8点驾驶小汽车从地出发，需要在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围． 21．在如图平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，、分别落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）连接，求∠OFG的大小． 22．已知y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数）．当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数图象；并写出函数的一条性质：　 　； （3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|2x+4|+bx＝的近似解（精确到0.1）． 23．如图，反比例函数的图象经过格点（网格线的交点），过点作轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)已知直线经过格点，交轴于点．记（不含边界）围成的区域为．当直线经过格点时，区域内的格点坐标有几个？分别为哪些？ 24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m和一次函数的解析式； （2）利用图象直接写出不等式的x的取值范围； （3）若在平面直角坐标系内有一点C使得四边形为平行四边形求点C的坐标及平行四边形的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线和双曲线在第一象限相交于点，过点A作轴，垂足为点B．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒，过点P作轴，交直线于点C，交双曲线于点D． （1）求直线和双曲线的函数解析式； （2）设四边形的面积为S，当P在线段上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式； （3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点D，使以四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时t的值和D点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$