专题01 数据的分析【十一大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题01 数据的分析 考点类型 知识一遍过 （一）平均数 （1）算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。 公式：平均数== 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。 （2）加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数. （二）中位数 （1）中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。 （2）确定中位数的一般步骤： 第1步：排序，由大到小或由小到大。 第2步：确定是奇数个数据（位的数为中位数）或偶数个数据（位的数和位的数的平均数为中位数）。 第3步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数个数据，中位数是中间两个数据的平均数。 （三）众数 （1）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。 （2）众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。 （四）方差 （1）方差的概念：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是： （2）方差的意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差（）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 【扩展】 ①当一组数据同时加上一个数时，其平均数、中位数、众数也增加,而其方差不变； ②当一组数据扩大倍时，其平均数、中位数和众数也扩大倍，其方差扩大倍. 考点一遍过 考点1：求数据的平均数 典例1：第七届全国人民代表大会常务委员会第十七次会议审议通过的《中华人民共和国残疾人保障法》第14条规定：“每年五月第三个星期日，为全国助残日．”在第33个“全国助残日”到来之际，某校举行了捐款活动，并调查了某班30名同学的捐款情况如下表： 捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元 人数 11 9 6 2 1 1 则该班同学捐款的平均数为（   ） A．11元 B．13元 C．15元 D．20元 【答案】A 【分析】本题考查了平均数的求解，用总钱数除以30即可． 【详解】解：（元）， 故选：A． 【变式1】若一组数据中有个，个，个，则这组数据的平均数是（    ） A．20 B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了平均数的计算，解题关键是计算出这组数据的和及个数．先求得这组数据的和及个数，再根据平均数的定义求解． 【详解】∵一组数据中有有个，个，个， ∴这组数据的和，数据的个数， ∴这组数据的平均数为：． 故选：D． 【变式2】学校利用劳动课带领学生拔萝卜，从中抽取了6个白萝卜，测得白萝卜长度（单位：cm）分别为16，20，15，18，17，16，则这组数据的平均数是 cm． 【答案】17 【分析】本题考查了算术平均数，根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算即可． 【详解】解： 故答案为：17． 【变式3】爸爸种植了一亩优种西瓜，为帮助爸爸预估西瓜的产量，小明随机摘下6个成熟的西瓜，称重如下（单位：）：，，，，，，若该亩地可产西瓜500个，西瓜售价2元，则该亩地的西瓜可以收获 元． 【答案】5200 【分析】本题主要考查了平均数的应用，先求出一个西瓜的平均质量，然后求出500个西瓜的总质量，再根据西瓜售价2元，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得： （元）， 即该亩地的西瓜可以收获5200元． 故答案为：5200． 考点2：由平均数求未知数的值 典例2：某校举办小合唱比赛，六个参赛小组人数如下：5，6，5，7，，8．已知这组数据的平均数为6，则数为（    ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查算术平均数，根据平均数及已知数据可得未知数据的值． 【详解】解：由题意知， 解得， 故选A． 【变式1】已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（   ） A．93 B．95 C．94 D．96 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，根据平均数计算公式进行求解即可． 【详解】解：分， ∴小华的数学成绩为93分， 故选；A． 【变式2】有一组数据如下：，，，，，它们的平均数是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平均数，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 故答案为：5． 【变式3】（1）一位同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表： 投实心球次序 1 2 3 4 5 成绩/m 则该同学这五次投实心球的平均成绩是 m； （2）已知一组数据3，5，4，5，6，x，5的平均数是5，则 ． 【答案】 7 【分析】本题考查求平均数，根据平均数公式利用所有数之和除以个数即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， 这五次投实心球的平均成绩是： ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， 解得：， 故答案为：7． 考点3：数据变化与平均数的关系 典例3：已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数的计算．根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】解：∵，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴，，，，的平均数是， 故选：C． 【变式1】已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数的概念，根据平均数的算法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则，，，，的平均数为：， 故选：A． 【变式2】已知，，…，的平均数是10；，，…，的平均数是13，则，，…，的平均数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意有：，，…，的平均数为：， 故答案为：12． 【变式3】杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为 环． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据前箭的平均成绩为环，可得，再计算箭的平均成绩，化简为含有的算式，即可求出结果． 【详解】解：前箭的平均成绩为环， ， ， 这箭的平均成绩为， 故答案为：． 考点4：求数据的加权平均数 典例4：小明测得一周的体温并登记如下（单位：℃），其中星期四的体温不小心被墨迹污染，根据表中数据，可得出此日的体温是（    ）                                                                                   星期 日 一 二 三 四 五 六 周平均体温 体温（℃） 37.2 36.7 37.0 36.6 36.9 37.1 36.9 A．36.7 ℃ B．36.8 ℃ C．36.9 ℃ D．37.0 ℃ 【答案】B 【分析】可直接用算术平均数的公式列出方程计算即可； 【详解】若设星期四的体温为，则， ， 解得． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查算术平均数的计算，准确分析是解题的关键． 【变式1】某班期末进行评选“五育好少年”活动，从“胸怀祖国”“天天向上”“强健体魄”“博采众长”“社会实践”五个方面进行量化综合评选，各项满分均为100分，所占比例如下： 项目 胸怀祖国 天天向上 强健体魄 博采众长 社会实践 所占比例 李军同学的各项分数如下：92，96，84，86，100，则李军同学的最后综合得分为（    ） A．89分 B．90分 C．91.7分 D．92分 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】(分) ． 故选：C． 【变式2】新学期，新团队，八年级五班进行班长竞选，对甲、乙、丙三名学生进行了组织能力、沟通能力和团队合作能力三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 竞选者 组织能力 沟通能力 团队合作能力 甲 80 70 60 乙 60 80 70 丙 70 60 80 如果将每位竞选者的组织能力、沟通能力和团队合作能力的成绩按6：1：3的比计算其总成绩，并且总成绩最高者竞选成功，则本次竞选班长成功的是 同学（填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴被录用的是甲， 故答案为：甲． 【变式3】如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力． 根据加权平均数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 考点5：求数据的众数、中位数 典例5：有一组数据2，4，8，5，3，5，5，4，则这组数据的中位数、众数分别为（    ） A．、5 B．5、 C．5、4 D．5、5 【答案】A 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，直接根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，5，5，8， ∴这组数据的中位数为， ∵5出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为5， 故选：A． 【变式1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如表所示．则这10名运动员成绩的中位数是（　　） 成绩/m                          人数/名 1 4 1 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义，结合图表信息解答． 【详解】解：中位数是按从小到大排列后第5，第6两个数的平均数， 故这组数据的中位数． 故选：B． 【变式2】如图是某市2024年5月上旬的每天气温绘成的折线统计图，根据统计图提供的信息，该市5月上旬最高气温的众数是 ． 【答案】、 【分析】本题考查了众数，以及折线统计图，一组数据中出现次数最多数据就是众数，且众数可以为多个，根据折线统计图中数据结合众数定义求解即可． 【详解】解：由图可知，该市5月上旬最高气温数据为、、、、、、、、、，其中和出现的次数最多，都为次，故该市5月上旬最高气温数据的众数为和， 故答案为：、． 【变式3】2023年8月6日，随着裁判的一声哨响，章丘区首届农民篮球赛（简称“村”）在官庄街道石匣村正式启动；火爆出圈“村”，让老百姓享受到了运动带来的快乐，真正提高了群众的体育意识和生活质量．在观看过某场比赛后，有9名学生去参加定点投篮比赛，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是 ， ． 【答案】 5 6 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排序为：3，3，4，4，5，6，6，6，7， 本次数据的中位数为排序后的第5个数据，即5， 本次数据中投中的次数为6次出现的最多，出现了3次， 本次数据的众数为6， 故答案为：5，6． 考点6：由众数、中位数求未知数的值 典例6：已知一组数据3，5，7，8，9，10，x的众数是9，则这组数据的中位数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．9.5 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数为9，可得，然后根据中位数的概念求解即可． 【详解】 解：数据3，5，7，8，9，10，x的众数是9， ， 则这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，5，7，8，9，9，10， 则中位数为8； 故选：B． 【变式1】已知一组数据3，2，2，2，6，3，，若这组数据的众数只有一个，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了众数的知识，理解并掌握众数的定义是解题关键．众数是指一组数据中出现次数或出现频率最多的数值．根据众数的定义分析判断即可． 【详解】解：当的值为2，4，6时，这组数据的众数只有1个，为2； 当的值为3时，这组数据的众数有2个，为2和3； 所以，若这组数据的众数只有一个，则的值不可能是3． 故选：B． 【变式2】某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下(单位：环)： 小宇：7，9，8，6，9，8； 小轩：10，5，6，9，，9， 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩是 环． 【答案】7 【分析】本题考查统计，涉及中位数的求法，根据题意，分别求出两人中位数，列方程求解即可得到答案，熟记中位数的求法是解决问题的关键． 【详解】解：将命中的环数从小到大重新排序， 小宇：6，7，8，8，9，9； 小宇比赛成绩的中位数是8； 小轩：5，6，，9，9，10， 小宇比赛成绩的中位数是； 两人的比赛成绩的中位数相同， ，解得， 故答案为：7． 【变式3】若数据25，23，x，24，22的众数是25，则 ，平均数是 ，中位数是 ． 【答案】 25 23.8 24 【分析】本题考查了中位数、众数和平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 根据众数的定义求出x的值，再根据平均数与中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵数据25，23，x，24，22的众数是25， ∴， ∴平均数是， 将这组数据按从小到大的顺序排列为：22，23，24，25，25， 位于中间位置的数是24， ∴中位数是24． 故答案为：25，23.8，24． 考点7：求数据的方差、极差 典例7：若一组数据，，……的方差是2，则，，……的方差（   ） A．4 B．9 C．6 D．18 【答案】D 【分析】本题考查求方差，根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变，进行求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，……的方差是2， ∴，，……的方差为； 故选D． 【变式1】一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查极差的定义，不妨设一组数据中第p个数据最大，第q个数据最小，则，在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据，根据极差定义即可求解． 【详解】解：一组数据的极差是3，不妨设第p个数据最大，第q个数据最小，则， 则在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据， 则极差为． 故选：A． 【变式2】我市一月份某天的最高气温为，最低气温为，则当天气温的极差为 ． 【答案】12 【分析】根据极差的定义即可求得．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 先用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上它的相反数”计算． 【详解】∵， ∴当天气温的极差为． 故答案为：12． 【变式3】有甲、乙两组数据， 如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 15 甲、乙两组数据的方差分别为，，则 （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可． 【详解】解：由题意得： ，， ∴， ， ∴， ∴； 故答案为>． 考点8：由方差、极差求未知数的值 典例8：若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）． A． B．8或 C．8 D．7或 【答案】D 【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可． 【详解】解：当x为最大值时， ， 解得； 当x为最小值时， ， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 【变式1】如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别是（　　） A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25 【答案】D 【分析】本题主要考查了方差，样本容量．根据方差公式，即可求解． 【详解】解：∵样本方差， ∴这个样本的平均数为19，，样本容量为25． 故选：D 【变式2】如果一组数据的方差，那么的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查对方差计算公式的理解．根据方差的公式可以得到这组数据及平均数，从而算出的值． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴这组数据共5个，为7，9，9，m，n，平均数为8， ∴， ∴． 故答案为：15 【变式3】若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为 ． 【答案】7或 【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，可求解． 【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值， 若x是最大值，则，∴， 若x是最小值，则，∴， 则x的值为7或， 故答案为：7或． 【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键． 考点9：方差的意义 典例9：甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ）    A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】C 【分析】本题考查的统计相关知识．方差越大则数据的离中程度就越大，方差越小离中程度就越小，数据越稳定，据此直接比较方差的大小即可 【详解】解：方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定， ∵， ∴他应选丙团， 故选：C. 【变式1】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差分别为：、、、，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了方差，根据方差越小，成绩越稳定，即可判定求解，掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵、、、， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定， 故选：． 【变式2】甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误． 故答案为：①②． 【变式3】下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 9.6 9.8 9.8 9.7 方差(环²) 0.46 0.38 0.15 0.27 若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了运用平均数和方差来进行决策，理解方差和平均数的意义是解题的关键．平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据甲，乙，丙，丁四个人挑选平均数最大、方差最小为最合适的人选． 【详解】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数都是9.8，最大且相等，而丙的方差最小， ∴丙的成绩最稳定， ∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定， ∴最合适的人选是丙． 故答案为：丙． 考点10：统计量的选择 典例10：有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：10位获奖者的分数肯定是21名参赛选手中最高的，而21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有11个数， ∴只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了， 故选：D． 【变式1】一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　） 尺码 S M X 销售量/件 28 30 45 27 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题主要考查平均数、中位数、众数的意义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 平均数，众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，平均数主要反映一组数据的平均水平，中位数则更好地反映了一组数据的中等水平，众数反映这组数据的集中趋势，店主关心的肯定是哪一种尺码销量最大，即这组数据的众数，据此解答即可． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故选：A． 【变式2】某中学举办了一次“唱K”比赛，最后确定5名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，小明同学参加了决赛，评委没有当场亮分，每位决赛选手只能知道自己的分数，小明想知道自己能否进前3名，但他只能问评委一个问题，他应该问的问题是①平均分②中位分③方差（从选项中选择一个正确的序号填入） ． 【答案】② 【分析】根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：小明想知道自己能否进前3名，但他只能问评委一个问题，他应该问的问题是这5名同学成绩的中位数， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数的意义． 【变式3】对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是 ．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【答案】② 【分析】根据中位数的定义，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数； 故答案为：② 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数，中位数，众数，方差的意义，此题主要是了解中位数的定义． 考点11：利用合适的统计量做决策 典例11：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（    ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数是反映一组数据的平均水平的量即可解答． 【详解】解：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，由于数据中有极端值100，平均数易受极端值的影响；众数为2，数值过小，不能很好的反映这组数据平均水平；方差表示波动情况，它和平均数一样，受极端值的影响大，不能很好的表示平均水平；故用这组数据的中位数能较好反映这组数据平均水平； 故选：B． 【变式1】厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用加权平均数的计算公式求解即可得． 【详解】解：甲的综合分：（分）， 乙的综合分：（分）， 丙的综合分：（分）， 丁的综合分：（分）， 则最终录用的应聘者是是乙， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键． 【变式2】在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与 （从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 【答案】中位数 【分析】此题考查统计量的选择，要熟练掌握解答此题的关键是要明确：数据的平均数，众数，中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大，根据中位数的意义分析解答即可． 【详解】在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与中位数有关, 故答案为：中位数． 【变式3】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 169 168 169 168 方差 6.0 17.3 5.0 19.5 根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查数据的平均数与方差的意义，解题的关键是理解两者所代表的的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数与方差的意义解答即可． 【详解】解：甲、丙的平均数比乙、丁大， 应从甲和丙中选， 甲的方差比丙的大， 丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙． 故答案为：丙． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数据的分析 考点类型 知识一遍过 （一）平均数 （1）算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。 公式：平均数== 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。 （2）加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数. （二）中位数 （1）中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。 （2）确定中位数的一般步骤： 第1步：排序，由大到小或由小到大。 第2步：确定是奇数个数据（位的数为中位数）或偶数个数据（位的数和位的数的平均数为中位数）。 第3步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数个数据，中位数是中间两个数据的平均数。 （三）众数 （1）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。 （2）众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。 （四）方差 （1）方差的概念：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是： （2）方差的意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差（）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 【扩展】 ①当一组数据同时加上一个数时，其平均数、中位数、众数也增加,而其方差不变； ②当一组数据扩大倍时，其平均数、中位数和众数也扩大倍，其方差扩大倍. 考点一遍过 考点1：求数据的平均数 典例1：第七届全国人民代表大会常务委员会第十七次会议审议通过的《中华人民共和国残疾人保障法》第14条规定：“每年五月第三个星期日，为全国助残日．”在第33个“全国助残日”到来之际，某校举行了捐款活动，并调查了某班30名同学的捐款情况如下表： 捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元 人数 11 9 6 2 1 1 则该班同学捐款的平均数为（   ） A．11元 B．13元 C．15元 D．20元 【变式1】若一组数据中有个，个，个，则这组数据的平均数是（    ） A．20 B． C． D． 【变式2】学校利用劳动课带领学生拔萝卜，从中抽取了6个白萝卜，测得白萝卜长度（单位：cm）分别为16，20，15，18，17，16，则这组数据的平均数是 cm． 【变式3】爸爸种植了一亩优种西瓜，为帮助爸爸预估西瓜的产量，小明随机摘下6个成熟的西瓜，称重如下（单位：）：，，，，，，若该亩地可产西瓜500个，西瓜售价2元，则该亩地的西瓜可以收获 元． 考点2：由平均数求未知数的值 典例2：某校举办小合唱比赛，六个参赛小组人数如下：5，6，5，7，，8．已知这组数据的平均数为6，则数为（    ） A．5 B． C．6 D．7 【变式1】已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（   ） A．93 B．95 C．94 D．96 【变式2】有一组数据如下：，，，，，它们的平均数是，则的值为 ． 【变式3】（1）一位同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表： 投实心球次序 1 2 3 4 5 成绩/m 则该同学这五次投实心球的平均成绩是 m； （2）已知一组数据3，5，4，5，6，x，5的平均数是5，则 ． 考点3：数据变化与平均数的关系 典例3：已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【变式1】已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，，…，的平均数是10；，，…，的平均数是13，则，，…，的平均数是 ． 【变式3】杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为 环． 考点4：求数据的加权平均数 典例4：小明测得一周的体温并登记如下（单位：℃），其中星期四的体温不小心被墨迹污染，根据表中数据，可得出此日的体温是（    ）                                                                                   星期 日 一 二 三 四 五 六 周平均体温 体温（℃） 37.2 36.7 37.0 36.6 36.9 37.1 36.9 A．36.7 ℃ B．36.8 ℃ C．36.9 ℃ D．37.0 ℃ 【变式1】某班期末进行评选“五育好少年”活动，从“胸怀祖国”“天天向上”“强健体魄”“博采众长”“社会实践”五个方面进行量化综合评选，各项满分均为100分，所占比例如下： 项目 胸怀祖国 天天向上 强健体魄 博采众长 社会实践 所占比例 李军同学的各项分数如下：92，96，84，86，100，则李军同学的最后综合得分为（    ） A．89分 B．90分 C．91.7分 D．92分 【变式2】新学期，新团队，八年级五班进行班长竞选，对甲、乙、丙三名学生进行了组织能力、沟通能力和团队合作能力三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 竞选者 组织能力 沟通能力 团队合作能力 甲 80 70 60 乙 60 80 70 丙 70 60 80 如果将每位竞选者的组织能力、沟通能力和团队合作能力的成绩按6：1：3的比计算其总成绩，并且总成绩最高者竞选成功，则本次竞选班长成功的是 同学（填“甲”或“乙”或“丙”）． 【变式3】如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 考点5：求数据的众数、中位数 典例5：有一组数据2，4，8，5，3，5，5，4，则这组数据的中位数、众数分别为（    ） A．、5 B．5、 C．5、4 D．5、5 【变式1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如表所示．则这10名运动员成绩的中位数是（　　） 成绩/m                          人数/名 1 4 1 3 1 A． B． C． D． 【变式2】如图是某市2024年5月上旬的每天气温绘成的折线统计图，根据统计图提供的信息，该市5月上旬最高气温的众数是 ． 【变式3】2023年8月6日，随着裁判的一声哨响，章丘区首届农民篮球赛（简称“村”）在官庄街道石匣村正式启动；火爆出圈“村”，让老百姓享受到了运动带来的快乐，真正提高了群众的体育意识和生活质量．在观看过某场比赛后，有9名学生去参加定点投篮比赛，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是 ， ． 考点6：由众数、中位数求未知数的值 典例6：已知一组数据3，5，7，8，9，10，x的众数是9，则这组数据的中位数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．9.5 解：数据3，5，7，8，9，10，x的众数是9， ， 则这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，5，7，8，9，9，10， 则中位数为8； 故选：B． 【变式1】已知一组数据3，2，2，2，6，3，，若这组数据的众数只有一个，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下(单位：环)： 小宇：7，9，8，6，9，8； 小轩：10，5，6，9，，9， 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩是 环． 【变式3】若数据25，23，x，24，22的众数是25，则 ，平均数是 ，中位数是 ． 考点7：求数据的方差、极差 典例7：若一组数据，，……的方差是2，则，，……的方差（   ） A．4 B．9 C．6 D．18 【变式1】一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】我市一月份某天的最高气温为，最低气温为，则当天气温的极差为 ． 【变式3】有甲、乙两组数据， 如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 15 甲、乙两组数据的方差分别为，，则 （填“>”，“<”或“=”）． 考点8：由方差、极差求未知数的值 典例8：若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）． A． B．8或 C．8 D．7或 【变式1】如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别是（　　） A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25 【变式2】如果一组数据的方差，那么的值为 ． 【变式3】若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为 ． 考点9：方差的意义 典例9：甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ）    A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【变式1】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差分别为：、、、，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号） 【变式3】下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 9.6 9.8 9.8 9.7 方差(环²) 0.46 0.38 0.15 0.27 若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是 ． 考点10：统计量的选择 典例10：有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【变式1】一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　） 尺码 S M X 销售量/件 28 30 45 27 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．以上都不对 【变式2】某中学举办了一次“唱K”比赛，最后确定5名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，小明同学参加了决赛，评委没有当场亮分，每位决赛选手只能知道自己的分数，小明想知道自己能否进前3名，但他只能问评委一个问题，他应该问的问题是①平均分②中位分③方差（从选项中选择一个正确的序号填入） ． 【变式3】对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是 ．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 考点11：利用合适的统计量做决策 典例11：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（    ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差 【变式1】厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与 （从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 【变式3】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 169 168 169 168 方差 6.0 17.3 5.0 19.5 根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$