专题06 整式的乘法与因式分解单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题06 整式乘法与因式分解单元过关（培优版） 考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．已知与则是为（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．m2•m3＝m6 B． m3÷m＝m3 C．（m3）2＝m5 D．（mn）3＝m3n3 3．对于任意的整数a、b，规定a∆b=(ab)2－a3b，则（－2）∆3的值为（    ） A．48 B．32 C．80 D．88 4．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a﹣2b）（2b﹣a） C．（2a﹣b）（﹣2a+b） D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b） 5．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 6．将（x+2y）2﹣（x﹣2y）2分解因式的结果是（　　） A．﹣8x2 B．﹣8x（x﹣2y） C．16（x+y） D．8xy 7．下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果，，对面的数字为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 10．对于整式，从中先选出一个整式，再用它来减去从剩余的整式里选出的另外一个整式，然后求两个整式差的绝对值称为“绝对差值”，例如：，把称为的“绝对差值”，，把称为的“绝对差值”，下列说法： ①存在一种“绝对差值”不含一次项； ②m，n为常数，若的结果只含常数项，则； ③所有“绝对差值”之和的最小值为28． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 12．已知是完全平方式，则的值是 ． 13．如果一个数的平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i． 请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为 ． 14．已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ． 15．若，，则式子的值为 ． 16．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    评卷人 得分 三、解答题 17．分解因式：（1）        （2） 18．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣b（b﹣4a），其中a＝5，b＝﹣1． 19．阅读与思考： 若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算： 已知，．求代数式的值． 20．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题： (1)改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？ (2)改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？ 21．新知识一般有两类：第一类是一般不依赖于其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知识；第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓展等方式产生的知识，大多数知识是这一类． （1）多项式乘多项式的法则，是第几类知识？ （2）在多项式乘多项式之前，我们学习了哪些有关的知识？（写出三条即可） （3）请你用已有的知识，从数和形两个方面说明多项式乘多项式法则，用（a+b）（a-b）来说明． 22．（阅读材料）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）＝． (1)F（15）＝　 　，F（24）＝　 　，…； 猜想：F（x2）＝　 　（x是正整数）． (2)若F（x2+ x）＝，且x是正整数，求x的值； 23．阅读材料：若满足，求的值． 解：设．．则，． ． 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且．．长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 24．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”． 材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记． (1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由； (2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”． 25．代数与几何的联手！ （1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论 （2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2的值为_____． （3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2的值为 _____．     （4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式乘法与因式分解单元过关（培优版） 考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．已知与则是为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将A，B代入3A-B，再去括号，合并同类项即可. 【详解】解：∵，， ∴= = = 故选C. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 2．下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．m2•m3＝m6 B． m3÷m＝m3 C．（m3）2＝m5 D．（mn）3＝m3n3 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则运算即可． 【详解】A选项，故A选项错误， B选项，故B选项错误， C选项，故C选项错误， D选项，故D选项正确． 故本题选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方运算法则，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 3．对于任意的整数a、b，规定a∆b=(ab)2－a3b，则（－2）∆3的值为（    ） A．48 B．32 C．80 D．88 【答案】D 【分析】根据已知结合幂的乘方进而求出即可． 【详解】解：∵a∆b=（ab）2-a3b， ∴（-2）∆3==， 故选D． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算法则，正确根据公式得出算式是解题关键． 4．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a﹣2b）（2b﹣a） C．（2a﹣b）（﹣2a+b） D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b） 【答案】D 【分析】根据平方差公式逐项计算，即可求解． 【详解】A．（2a+b）（a﹣2b）=2a2-2ab-2b2，不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．（a﹣2b）（2b﹣a）=-（a-2b）2，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； C．（2a﹣b）（﹣2a+b）=-（2a-b）2，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（﹣2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，符合平方差公式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握 是解题的关键． 5．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 6．将（x+2y）2﹣（x﹣2y）2分解因式的结果是（　　） A．﹣8x2 B．﹣8x（x﹣2y） C．16（x+y） D．8xy 【答案】D 【分析】根据平方差公式得出[（x+2y）+（x-2y）][（x+2y）-（x-2y）]，合并即可得出答案． 【详解】解：原式＝[（x+2y）+（x﹣2y）][（x+2y）﹣（x﹣2y）]， ＝2x•4y， ＝8xy， 故选D． 【点睛】本题考查了对用平方差公式分解因式的应用，注意：a2-b2=（a+b）（a-b）． 7．下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】解：A、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、中与互为相反数，与互为相反数，故不能进行平方差公式计算，但是可以变形为，这样就可以运用完全平方公式计算，故此选项不符合题意； D、中与不是相反数，与不相等，故不能用乘法公式计算，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解题的关键是熟记平方差公式，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数． 8．如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果，，对面的数字为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题须先求出a-b=-4，b-c=-6，c-a=10，再通过对要求的式子进行化简整理，代入相应的值即可求出结果． 【详解】∵正方体的每一个面上都有一个正整数，相对的两个面上两数之和都相等， ∴a+13=b+9=c+3， ∴a-b=-4，b-c=-6，c-a=10， a2+b2+c2-ab-bc-ca====76， 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值问题，在解题时要注意知识的综合运用及与图形结合问题． 9．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解：， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键． 10．对于整式，从中先选出一个整式，再用它来减去从剩余的整式里选出的另外一个整式，然后求两个整式差的绝对值称为“绝对差值”，例如：，把称为的“绝对差值”，，把称为的“绝对差值”，下列说法： ①存在一种“绝对差值”不含一次项； ②m，n为常数，若的结果只含常数项，则； ③所有“绝对差值”之和的最小值为28． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式，整式的加减，涉及到绝对值的考点，根据题目中的运算操作，逐一分析每句话是否正确．学生要熟练掌握这个知识点，根据绝对值的特点简化运算过程． 【详解】解：，，，，，， 故不存在一种“绝对差值”不含一次项，故①错误； ， ， 结果只含常数项， ，解得， ，故②错误； 当时，原式， 当取得最小值为； 当时，原式， 当取得最小值为28；故③正确， 故正确的有1个， 故选：C． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式和幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． 12．已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】16 【分析】 本题主要考查完全平方式．一般地，形如或的式子叫做完全平方式，根据完全平方式的式子特点求解即可． 【详解】∵是完全平方式， ∴． 故答案为：16 13．如果一个数的平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i． 请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为 ． 【答案】2． 【详解】试题分析：先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可． 试题解析：（1+i）（1-i） =1-i2 =1-（-1） =2． 考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算． 14．已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ． 【答案】3 【分析】根据题意得a-b＝-1，b-c＝-1，a-c＝-2，然后利用完全平方公式将所求式子变形，即可求解． 【详解】解：∵a＝2020(x+y)+2019，b＝2020(x+y)+2020，c＝2020(x+y)+2021， ∴a-b＝2019-2020＝-1，b-c＝2020-2021＝-1，a-c＝2019-2021＝-2， ∵a2+b2+c2-ab-ac-bc ＝(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc) ＝(a2-2ab+b2+a2'-2ac+c2+b2-2bc+c2) ＝ [(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2] ∴a2+b2+c2-ab-ac-bc＝ [(-1)2+(-2)2+(-1)2]＝3． 【点睛】本题考查完全平方公式综合应用以及技巧运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 15．若，，则式子的值为 ． 【答案】11 【分析】先通过合并同类项化简原式，再将，代入求解即可． 【详解】解：原式， 当，时， 原式， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则、合并同类项的方法是解题的关键． 16．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 评卷人 得分 三、解答题 17．分解因式：（1）        （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先提取2，再利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 故答案为（1）；（2） 【点睛】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用公式分解因式是解题的关键． 18．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣b（b﹣4a），其中a＝5，b＝﹣1． 【答案】100 【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣b2+4ab＝4a2， 当a＝5时，原式＝100． 故答案为100． 【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．阅读与思考： 若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算： 已知，．求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式得出，代入已知数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 20．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题： (1)改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？ (2)改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？ 【答案】(1)改造后的长方形草坪的面积为平方米． (2)改造后长方形草坪的面积比改造前的面积减少了，减少了平方米． 【分析】（1）根据长方形面积公式计算． （2）计算出改造后与改造后的面积，相减即可． 【详解】（1）解：改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b． ∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝． 答：改造后的长方形草坪的面积为平方米． （2）改造前的面积为：． ∵－＝＞0． 答：改造后长方形草坪的面积比改造前的面积减少了，减少了平方米． 【点睛】本题考查了完全平方公式、多项式乘法、整式加减的应用，理解题意，正确表示改造前后的面积是求解本题的关键． 21．新知识一般有两类：第一类是一般不依赖于其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知识；第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓展等方式产生的知识，大多数知识是这一类． （1）多项式乘多项式的法则，是第几类知识？ （2）在多项式乘多项式之前，我们学习了哪些有关的知识？（写出三条即可） （3）请你用已有的知识，从数和形两个方面说明多项式乘多项式法则，用（a+b）（a-b）来说明． 【答案】（1）第二类知识；（2）①单项式乘以多项式；②用字母表示数，③数可以表示线段的长或图形的面积；（3）见解析 【分析】（1）根据多项式乘以多项式是利用乘法分配律和单项式的乘法推导出来的，所以属于第二类； （2）根据法则推导时所用到的知识写； （3）把一个矩形分成四个小矩形，利用矩形的面积推导． 【详解】解：（1）因为不是初始性的，所以是第二类知识． （2）在多项式乘多项式之前，我们学习了①单项式乘以多项式；②用字母表示数，③数可以表示线段的长或图形的面积，等． （3）用数来说明：（a+b）（c+d）=（a+b）c+（a+b）d=ac+bc+ad+db． 用形来说明，如图所示，边长为a+b和c+d的矩形，分割前后的面积相等． 即（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+db． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，通过信息给予来说明多项式乘以多项式的法则，读懂题目信息并运用好是解题的关键． 22．（阅读材料）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）＝． (1)F（15）＝　 　，F（24）＝　 　，…； 猜想：F（x2）＝　 　（x是正整数）． (2)若F（x2+ x）＝，且x是正整数，求x的值； 【答案】(1)；；1 (2)8 【分析】（1）根据最佳分解的定义进行计算即可得到答案； （2）根据最佳分解的结果，列方程进行计算即可． 【详解】（1）解：∵3×5＝15， ∴F（15）＝； ∵4×6＝24， ∴F（24）＝； F（x2）＝1 （2）解：∵F（x2+x）＝，且x2+x＝x（x+1）， ∴x（x+1）＝8×9， ∴x＝8， 即x的值为8； 【点睛】本题是新定义题，正确理解题目中给的新定义是解题的关键． 23．阅读材料：若满足，求的值． 解：设．．则，． ． 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且．．长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题中提供的方法，类比计算即可； （2）根据题意可求出，，再将题目转化为即可求出答案； （3）长方形的长，宽，因此有，求出的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果． 【详解】（1）设，， 则， ， ． （2）设，， 则， ，． （3）由题意得，长方形的长，宽， 则有， 当时，， ， ，（舍去） 所以阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为16． 【点睛】题考查完全平方公式的实际应用，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键． 24．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”． 材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记． (1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由； (2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”． 【答案】(1)12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由见解析 (2)1122，3162，2346，4386 【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可； （2）根据新定义，求出，由题意可得出，的取值，即可求解． 【详解】（1）解：12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由如下： ， 12是“宁静数”； 在3469中，，，，， ，， 3469不是“致远数”； （2）解：设四位自然数，且，，，不为0，则， 是“致远数”， ，， ，， ， “宁静数”必为4的倍数且是两位数， “宁静数”有12，24，36，48， 、可以是1，2，3，4， 又 与9的和能被4整除，即是偶数， 或3， ①当时，或3， 对应的致远数有：1122，3162， ②当时，或4， 对应的致远数为：2346，4386， 综上所述，符合条件的“致远数”有：1122，3162，2346，4386． 【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义． 25．代数与几何的联手！ （1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论 （2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2的值为_____． （3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2的值为 _____．     （4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1），见解析；（2）140；（3）8.5；（4）1056 【分析】（1）用完全平方公式展开，找到两式子的联系即可；根据问题构建以a和b为边长的正方形面积即可； （2）利用两数和的完全平方公式变形即可求出值； （3）利用两数差的完全平方公式变形即可求出值； （4）依据已知图形，用含x的代数式表示出各线段的长，阴影部分面积为正方形的面积，然后利用（1）的结论，利用两数和与差的完全平方公式消去x，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1） ∴ 用图验证如下： （2）∵（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20 ∴（40﹣x）2 +（x﹣30）2= 故答案为：140 （3）∵（x －3）（x﹣1）＝ ∴（x﹣3）2 +（x﹣1）2= 故答案为：8.5 （4）∵四边形ABCD的边长为x ∴ED=x-14，DG=x-30 ∵长方形EFGD的面积为200 ∴ED×DG=200 ∴(x-14)(x-30)=200 ∵四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形 ∴FN=FG+GN=FG+GD=(x-14)+(x-30)，MF=ME+EF=ED+EF=(x-14)+(x-30) ∴ =1056 故答案为：1056 【点睛】本题主要考查了整式中乘法公式的灵活运用，数形结合，熟练掌握完全平方公式特点是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$