专题05 整式的乘法与因式分解单元过关（基础版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 整式乘法与因式分解单元过关（基础版） 考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．计算的结果是(      ) A． B．2 C． D． 2．把多项式分解因式，下列结果正确的是 （　　） A．（x-1）（x+3） B．（x-1）（x-3） C．（x+1）（x+3） D．（x+1）（x-3） 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 6．数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学各做了一道数学题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 其中做对的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 8．一个长方形的面积是，长是8m，则宽是（　　） A． B． C． D． 9．已知三角形三边的长为、、，则代数式的值为（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 10．方程，，则（    ） A．1 B．0 C．1.5 D．2 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．因式分解： ． 12．计算： ． 13．计算= ． 14．已知实数a，b满足，则的值为 ． 15．若a﹣＝4，则a2+＝ . 16．已知bm=3，b2n=4，则bm+n= ． 评卷人 得分 三、解答题 17．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）． 18．已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值． 19．已知,利用因式分解求的值． 20．分解因式： (1) (2) 21．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 22．和你的同学一起完成，看谁做得又快又对. （1）用科学记数法表示下列式子的结果. 10×100=____；102×103=____；108×107=_____； 试根据所填的结果推断10m×10n=______（m，n为正整数）. 和其他同学讨论一下，这个结果怎样用语言叙述. 利用结论计算： （2）光在真空中的传播速度为每秒3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约为5×102秒，则地球与太阳间的距离是多少千米? （3）地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量是地球的质量的3.3×105倍，那么太阳的质量是多少亿吨？ 23．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为 ； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为          ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当，时，代数式的值． 24．（1）在下列两个条件下，分别求代数式和的值，将结果直接填写在下面的横线上： ①当时，= ，= ； ②当时，= ，= ； （2）观察结果，你有什么发现？请写出结论，并再任选a、b的值加以验证； （3）利用你的发现，求的值． 25．将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形小长方形纸片长为a，宽为，请你仔细观察图形，解答下列问题： （1）a和b之间的关系满足_____________________． （2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是___________． （3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出，与三个代数式之间的等量关系_________________________ 应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：求的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式乘法与因式分解单元过关（基础版） 考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．计算的结果是(      ) A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】直接利用幂的乘方运算法则求出答案． 解：． 故选D． “点睛”此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．把多项式分解因式，下列结果正确的是 （　　） A．（x-1）（x+3） B．（x-1）（x-3） C．（x+1）（x+3） D．（x+1）（x-3） 【答案】D 【详解】方法一：x2-2x-3=(x-3)(x+1) 方法二：x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-22=（x-3）（x+1）. 故选：D. 【点睛】本题可以直接利用十字相乘法解答. 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，完全平方公式的应用．利用积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，完全平方公式分别计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意． 故选：A． 4．为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解平方差公式的特征：； 【详解】解： ， 故选：C 【点睛】本题考查平方差公式，理解添括号法则，平方差公式是解题的关键． 5．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算，根据相应的运算法则计算即可判断． 【详解】A、，故选项A计算不正确，不符合题意； B、，故选项B计算不正确，不符合题意； C、，故选项C正确；符合题意； D、，故选项D计算不正确，不符合题意． 故选：C． 6．数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学各做了一道数学题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 其中做对的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据甲乙丙丁中的式子，可以计算出正确的结果，即可解答本题． 【详解】解：，故甲做的错误； ，故乙做的正确； ，故丙做的错误； ，故丁做的错误； 故选：． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 7．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】A、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、符合因式分解的定义，故本选项正确； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； D、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算． 8．一个长方形的面积是，长是8m，则宽是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵一个长方形的面积是，长是8m， ∴宽为 故选：B 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9．已知三角形三边的长为、、，则代数式的值为（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 【答案】B 【分析】先把代数式因式分解，然后根据三角形中任意两边之和大于第三边来判断． 【详解】解： ， ， ， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形中的三边之间的关系，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．方程，，则（    ） A．1 B．0 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得：，，进而可得，，求出，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵，，即：，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为：，是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟知平方差公式是解题的关键． 12．计算： ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式和同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查整式的除法．掌握同底数幂的除法法则是解题关键． 13．计算= ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的法则，即可求解． 【详解】原式= =． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式的运算法则，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键． 14．已知实数a，b满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，偶次方的非负性，代数式的值，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．把原式化为，再利用非负数的性质求得，，从而可得答案． 【详解】， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 15．若a﹣＝4，则a2+＝ . 【答案】18 【分析】将已知条件的两边平方，利用完全平方公式展开即可得. 【详解】将两边平方得： 即 则. 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键. 16．已知bm=3，b2n=4，则bm+n= ． 【答案】±6 【详解】∵， ∴， （1）当时，； （2）当时，. 综上所述，. 故答案为±6. 点睛：本题的解题要点是将“幂的乘方”和“同底数幂相乘”的运算法则逆用，即，. 评卷人 得分 三、解答题 17．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）找到公因式，进而提取公因式进行分解； （2）找到公因式，进而提取公因式进行分解； （3）找到公因式，进而提取公因式进行分解； （4）找到公因式，进而提取公因式进行分解． 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 18．已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值． 【答案】8 【分析】先利用平方差公式和整式的除法法则运算，然后运用整式的加减运算化简，将已知式子化简代入求解即可 【详解】解： ， ， ； ∵， ∴， ∴ ， ， ． 【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键． 19．已知,利用因式分解求的值． 【答案】75. 【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】原式 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式，完全平方公式即可求解； （2）将变形后，提取公因式，平方差公式，合并同类项，提取公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【点睛】本题主要考查提取公因式，乘法公式因式分解，掌握提取公因式法，乘法公式是解题的关键． 21．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)变小了，理由见解析 【分析】（1）将改造后池塘的长与宽分别用代数式表示出来，即可计算出长方形的面积； （2）将改造前后的面积作差，即可判断出大小． 【详解】（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a+3）m，宽为（2a-3）m， ∴改造后的面积为： ． （2）原来的面积为： ， ∵＞0， ∴改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了． 【点睛】本题考查了列代数式、整式的乘法及平方差公式等知识，能够根据题意列出代数式并根据公式法则进行运算是解题关键． 22．和你的同学一起完成，看谁做得又快又对. （1）用科学记数法表示下列式子的结果. 10×100=____；102×103=____；108×107=_____； 试根据所填的结果推断10m×10n=______（m，n为正整数）. 和其他同学讨论一下，这个结果怎样用语言叙述. 利用结论计算： （2）光在真空中的传播速度为每秒3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约为5×102秒，则地球与太阳间的距离是多少千米? （3）地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量是地球的质量的3.3×105倍，那么太阳的质量是多少亿吨？ 【答案】（1）103；105 ；1015；10m+n；（2）地球与太阳间的距离是1.5×108千米；（3）太阳的质量是1.98×1019亿吨. 【分析】(1)科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a<10，n 为整数.），同底数幂相乘底数不变指数相加.， 10m×10n=10m+n.（2）距离等于速度乘以时间，计算结果用科学记数法表示为1.5×108（千米）.太阳的质量等于地球的质量乘以倍数，结果用科学记数法来表示为1.98×1019（亿吨）. 【详解】（1）103 ；105； 1015 ；10m+n. （2）3×105×5×102=15×107=1.5×108（千米）. 答：地球与太阳间的距离是1.5×108千米. （3）6×1013×3.3×105=19.8×1018=1.98×1019（亿吨）. 答：太阳的质量是1.98×1019亿吨. 【点睛】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法.熟练掌握科学记数法和同底数幂的乘法是解题的关键. 23．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为 ； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为          ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当，时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析． （1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解． 【详解】解：（1）大长方形的长为，宽为，面积为， 也可表示为四个长方形的面积，，，的和， ∴， 故答案为：； （2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形， 用不同的方法表示这个大正方形的面积， 得到的等式为； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴； （3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体， 整体上大正方形的体积为， 组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为， ∴得到的等式为； ∵，， ． 24．（1）在下列两个条件下，分别求代数式和的值，将结果直接填写在下面的横线上： ①当时，= ，= ； ②当时，= ，= ； （2）观察结果，你有什么发现？请写出结论，并再任选a、b的值加以验证； （3）利用你的发现，求的值． 【答案】（1）①-5，-5；②-，-；（2）=，验证见解析；（3）15100. 【分析】（1）①把时，分别代入代数式①和②的求值； ②把时，分别代入代数式①和②的求值； （2）由（1）得到=，再选a、b的值加以验证即可； （3）利用（2）得到的等式把所给的式子整理为差的完全的平方的形式． 【详解】①当时，=（-2+3）（-2-3）=-5， =（-2）2-32=-5； ②当时，= （+1）（-1）=-， =（）2-12=-； （2）由（1）得到=， 当a=3，b=4时，=（3+4）（3-4）=-7，=32-42=-7， 所以，=； （3）=（125.5+25.5）（125.5-25.5）=151×100=15100. 【点睛】本题考查了平方差公式，实质是验证平方差公式，以及利用平方差公式简便运算． 25．将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形小长方形纸片长为a，宽为，请你仔细观察图形，解答下列问题： （1）a和b之间的关系满足_____________________． （2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是___________． （3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出，与三个代数式之间的等量关系_________________________ 应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：求的值 【答案】（1）a=3b；（2）；（3）（a-b）2=-4；. 【分析】（1）根据小长方形的4个长等于小长方形的3个长和3个宽，列出等式，得出a，b的关系； （2）根据图形分别表示出阴影部分的面积和大长方形面积，再把（1）的结果代入化简即可； （3）用两种方法同时表示一个阴影部分的面积，即可得出，与三个代数式之间的等量关系；利用这个等量关系即可求出的值． 【详解】解：（1）根据图形可得：4a=3a+3b， 解得：a=3b； 故答案为：a=3b； （2）大长方形的面积是4a（a+3b）=4a×6b=12b×6b=72b2， 阴影部分的面积是3（a-b）2=3（3b-b）2=12b2， 则阴影部分的面积是大长方形面积的； 故答案为：； （3）根据图形可得一个阴影部分的面积为：（a-b）2或-． 所以（a-b）2=-； 应用：∵， ∴（）2=（）2-4xy =52-4× =25-9 =16， ∴ =±4． 故答案为：（a-b）2=-；±4． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$