微专题03 一元一次方程新定义问题通关专练-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

微专题03 一元一次方程新定义问题通关专练 一、单选题 1．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的伴随数：若，则；若，则．例：，．现有以下判断：（1）；（2）已知有理数，，且满足，则；（3）对任意有理数x，有或1；（4）方程的解只有；其中正确的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 2．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是（   ） A． B．-1 C．3 D．6 3．我们定义一种新的运算，例如：，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 4．在有理数范围内定义运算“”：，如：．如果成立，则x的值是（   ） A． B．5 C．0 D．3 5．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 6．我们定义一种运算： ，例如， ， ，按照这种定义的运算，当时，（　　） A． B． C． D． 7．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 9．定义二阶行列式，那么当的值为时，（  ） A． B． C． D． 10．“☆”表示一种运算符号，其定义是☆，例如：☆，如果☆，那么等于(    ) A．-4 B．7 C．-1 D．1 二、填空题 11．定义一种新运算：，若，则 ． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． （1）若关于的一元一次方程与是“友好方程”，则 ． （2）若关于的一元一次方程和是“友好方程”，则关于的一元一次方程的解为 ． 13．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 14．用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数和，满足（为常数）．例如：．若的值为，则的值为 ． 15．若定义一种新的运算，规定，且与2互为倒数，则 ． 16．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ． 17．将4个数、、、排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 18．已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为 ． 19．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若，则 ． 20．若对于任意两个有理数m、n，现定义一种新运算“*”：m*n= ，如果，则方程x*4=2的解是 三、解答题 21．对于有理数、定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求的值． 22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 23．阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 24．将四个数排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号叫做2阶行列式．若，求的值． 25．定义一种新的运算“”：   例如： ． (1)求的值； (2)若，求的值． 26．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)则的值为________； (2)若，求的值． 27．[现场学习] 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|＝3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1； 经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1． [解决问题] 解方程：||﹣x＝2． 解：根据绝对值的意义，得 ＝　 　或＝　 　， 解这两个一元一次方程，得x＝　 　或x＝　 　， 经检验可知，原方程的解是 　 　． [学以致用] 解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|． 28．【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝−4的解为x＝−2，而−2＝−4＋2，则方程2x＝−4为“友好方程”． 【运用】 （1）①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； （2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值； （3）若关于x的一元一次方程−2x＝mn＋n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值 ． 29．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程式“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程____________差解方程；（选填“是”或“不是”） 【知识应用】 （2）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【拓展提高】 （3）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 30．综合与实践 定义：我们称关于的方程与方程（、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程与方程互为“轮换方程”． (1)判断：①与；②与；③与；其中互为“轮换方程”的有______；（填写序号） (2)若关于的方程与方程互为“轮换方程”，求的值； (3)若关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，对于多项式和，不论取多少，A与的和始终等于整数，求常数p的值． 31．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 32．定义一种新运算：． (1)计算：　　； (2)若，求x的值； (3)化简：，若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值． 33．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； (2)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 34．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 35．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”． (1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值； (2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 36．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，利用整体思想，求关于的一元一次方程的解． 37．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 38．解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而 的解为，而 将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程（）的解为，则称之为“奇异方程”，请解决以下问题： (1)方程是“奇异方程”吗？请说明理由； (2)若方程是“奇异方程”，求m的值． 39．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解． 40．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”． (1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 一元一次方程新定义问题通关专练 一、单选题 1．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的伴随数：若，则；若，则．例：，．现有以下判断：（1）；（2）已知有理数，，且满足，则；（3）对任意有理数x，有或1；（4）方程的解只有；其中正确的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算，解题的关键是读懂题意， 根据题中的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）由定义可知：，（1）正确； （2）由定义可知：， ∴，（2）正确； （3）当时，， 当时，， 当时，，（3）正确； （4）当时，， ∴，故（4）错误． 故选：B． 2．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是（   ） A． B．-1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程求解即可． 【详解】根据题意可得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，． 故选：A． 3．我们定义一种新的运算，例如：，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了定义新运算，解一元一次方程，先根据新定义得出方程，再求出解即可． 【详解】根据题意可知， 即， 解方程，得． 故选：A． 4．在有理数范围内定义运算“”：，如：．如果成立，则x的值是（   ） A． B．5 C．0 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律． 根据新定义，将变形为方程，解之即可． 【详解】解：∵， ∴可化为， ∴ 去分母得， 移项，合并同类项得， 解得：． 故选D． 5．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意得出关于x的方程，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选 D． 6．我们定义一种运算： ，例如， ， ，按照这种定义的运算，当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：因为， 所以， ， 所以，则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加减、解一元一次方程，理解新定义运算法则，正确列出方程是解答的关键． 7．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题． 【详解】解：令，代入原方程可得， 解得， 由题意可得， ∴，解得， ∵n为整数， ∴n=1或2， 当n=1时，， 当n=2时，， 则方程所有解的和为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键． 8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】先利用因式分解法解方程，得到，．再分别将x=0，x=-3代入，求出m的值即可． 【详解】， 分解因式，得， 解得，． 当时，， 解得； 当时，， 解得． 所以m的值为﹣1或﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程的两个解是解题的关键． 9．定义二阶行列式，那么当的值为时，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二阶行列式得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】∵=3 ∴2(x-1)-3(2x+1)=3 解得x=-2 故选D． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 10．“☆”表示一种运算符号，其定义是☆，例如：☆，如果☆，那么等于(    ) A．-4 B．7 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】先根据题意得出关于x的方程，求出x即可； 【详解】解：∵x☆(-5)=3， ∴-2x+(-5)=3， 解得x=-4. 故选A. 【点睛】本题考查解一元一次方程，属于基础题，关键在于根据题意弄清“☆”的运算法则． 二、填空题 11．定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了在新定义下解一元一次方程，根据新定义分情况：当和时解题即可求出值． 【详解】当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：或． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． （1）若关于的一元一次方程与是“友好方程”，则 ． （2）若关于的一元一次方程和是“友好方程”，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于的方程解答即可； （）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解； 【详解】解：（1）∵方程的解为， 方程的解为， 而一元一次方程与是“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）方程的解为， ∵关于的一元一次方程和是“友好方程”， ∴关于的方程的解为， ∵关于的一元一次方程变形得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为：， 故答案为：． 13．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解． 【详解】解： ， ， 又 为奇异方程， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数和，满足（为常数）．例如：．若的值为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键． 由题意知，，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ， 解得，， 故答案为：1． 15．若定义一种新的运算，规定，且与2互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】直接根据题意列式一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的一元一次方程，根据新定义正确列出方程是解题的关键． 16．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查整式运算及解方程，涉及新定义，解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 17．将4个数、、、排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出关于x的方程，再求出解即可． 【详解】根据题意，得， 即， 解得． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了解方程，根据新定义列出方程是解题的关键． 18．已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为 ． 【答案】10 【分析】先根据新定义运算得出关于x的方程，再解关于x的方程，然后根据方程的解和a是正整数求出a值，即可求解． 【详解】解：∵ x△a=19， ∴2ax-x+1=19， ∴x=, ∵x为正整数， ∴2a-1=1，2，3，6，9，18， ∵a为正整数， ∴a=1，2，5， ∴1×2×5=10， 故答案为；10． 【点睛】本题考查新定义，一元一次方程的解法，理解新运算，掌握根据方程的整数解求参是解题的关键． 19．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若，则 ． 【答案】-1 【分析】直接利用新定义得出关于x的方程，进而得出答案． 【详解】解：由，得， ∴，即：， 解得：x=-1， 故答案是：-1． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次方程的解法，正确列出方程是解题关键． 20．若对于任意两个有理数m、n，现定义一种新运算“*”：m*n= ，如果，则方程x*4=2的解是 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，进行计算，即可求出方程的解. 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：. 【点睛】本题考查了新定义的运算法则，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则得到一元一次方程，然后再进行解方程. 三、解答题 21．对于有理数、定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)21 (2)4 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算，按照新运算法则计算即可． （1）按照新运算法则计算即可． （2）先按照新运算法则计算括号里的，再按照新定义运算计算外面的并解一元一次方程． 【详解】（1）解：根据新定义得： ， （2） 按照新定义展开：； ， ， ， ． 22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 23．阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 24．将四个数排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号叫做2阶行列式．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，解一元一次方程，根据题意列出方程，解一元一次方程即可．掌握整式的混合运算和解一元一次方程的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 解得． 25．定义一种新的运算“”：   例如： ． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代值求解即可； （2）根据新定义得到方程，解方程即可； 【详解】（1）解：． （2）解： 解得：． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． 26．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)则的值为________； (2)若，求的值． 【答案】(1)－32 (2)a=3 【分析】（1）将a=-2，b=3代入规定的新运算中即可求值． （2）将和-3代入到新运算中化简后得到，再令，解方程即可得到a的值． 【详解】（1）根据题意得， ． （2）根据题意得， 所以，解得． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次方程等知识，能够按照规定的新运算正确代入求值及化简是解题关键． 27．[现场学习] 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|＝3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1； 经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1． [解决问题] 解方程：||﹣x＝2． 解：根据绝对值的意义，得 ＝　 　或＝　 　， 解这两个一元一次方程，得x＝　 　或x＝　 　， 经检验可知，原方程的解是 　 　． [学以致用] 解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|． 【答案】[解决问题]：2+x，﹣2﹣x，﹣5，﹣1，x＝﹣5或x＝﹣1，[学以致用]：或 【分析】[解决问题]根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可得； [学以致用]考虑两个绝对值相等，则这两个数或（代数式）相等或互为相反数，求解即可得． 【详解】[解决问题]：， ， 根据绝对值的意义，得： 或， 解这两个一元一次方程，得或， 经检验可知，原方程的解为或， 故答案为：；；；；或； [学以致用] ， 或， 解这两个一元一次方程，得：或， 经检验可知，原方程的解为或． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及解一元一次方程，理解题目中的例题，结合绝对值的意义是解题关键． 28．【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝−4的解为x＝−2，而−2＝−4＋2，则方程2x＝−4为“友好方程”． 【运用】 （1）①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； （2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值； （3）若关于x的一元一次方程−2x＝mn＋n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值 ． 【答案】（1）①（2）b＝−（3）m＝−3，n＝− 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关b的方程，求出方程的解即可得到b的值；利用题中的新定义确定出所求即可； （3）根据“友好方程”的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值． 【详解】解：（1）①， 解得：x＝−， 而−＝−2＋，是“友好方程”； ②， 解得：x＝−2， −2≠−1＋，不是“友好方程”； 故答案为：①； （2）方程3x＝b的解为x＝． 所以＝3＋b． 解得b＝−； （3）∵关于x的一元一次方程−2x＝mn＋n是“友好方程”，并且它的解是x＝n， ∴−2n＝mn＋n，且mn＋n−2＝n， 解得m＝−3，n＝−． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 29．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程式“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程____________差解方程；（选填“是”或“不是”） 【知识应用】 （2）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【拓展提高】 （3）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）16；（3）0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是 （2）是“差解方程”， ， ， ， 故答案为：16； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 30．综合与实践 定义：我们称关于的方程与方程（、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程与方程互为“轮换方程”． (1)判断：①与；②与；③与；其中互为“轮换方程”的有______；（填写序号） (2)若关于的方程与方程互为“轮换方程”，求的值； (3)若关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，对于多项式和，不论取多少，A与的和始终等于整数，求常数p的值． 【答案】(1)①② (2) (3)常数p的值为5 【分析】（1）根据“轮换方程”的定义直接可得答案； （2）根据“轮换方程”得出，求出，即可得出答案； （3）关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，求出或，再根据不论取多少，A与的和始终等于整数，求出答案即可． 【详解】（1）解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”， ①方程与方程互为“轮换方程”，故①正确； ②方程与互为“轮换方程”，故②正确； ③方程与不互为“轮换方程”，故③错误． 故答案为：①②． （2）解：∵关于的方程与方程互为“轮换方程”， ∴， 解得：， ∴． （3）解：关于的方程的“轮换方程”为：， 由方程得：， 由方程得：， ∵关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数， ∴或， ， ∵多项式和，不论取多少，A与的和始终等于整数， ∴， 解得：， 综上分析可知，常数p的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，整式加减运算，能够正确理解概念是解题的关键． 31．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 32．定义一种新运算：． (1)计算：　　； (2)若，求x的值； (3)化简：，若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程， （1）根据新定义运算法则做有理数的计算即可； （2）根据新定义运算法则进行去括号、合并同类项和系数化为1即可； （3）根据新定义运算法则进行去括号和合并同类项，结合题意得即可解得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意得：， ， ， ； （3）∵， ∴ ， ∵化简后代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴． 33．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； (2)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“和谐方程”得出，再求出m即可； （2）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“和谐方程”得出，再求出m即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得：． 故答案为：9； （2）， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的两个方程与是“和谐方程”， ， 解得：． 34．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【答案】(1)不是互为“成双方程”，理由见解析： (2)； (3)． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“成双方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“成双方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”； 解，得：； 解，得：， ∵， 故方程与方程不是互为“成双方程”； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵方程与方程互为“成双方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵方程与互为“成双方程”， ∴的解为， ∵， ∴， ∴． 35．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”． (1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值； (2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“最美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“最美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“最美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 方程中与方程是“最美方程”， ， 解得： （2）解：“最美方程”的两个解中，一个解为n， 方程的另一个解为， 这两个解的差为7， 或， 解得：或； （3）解：， ， 方程和是“最美方程”， 方程的解为， 关于y的一元一次方程可化为， ， ． 36．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，利用整体思想，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解； （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）求出关于的一元一次方程的解，然后利用整体思想解决问题； 利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2） “美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为， 另一个方程的解为：， 两个解的差为8， 或， 或； （3） ， ， 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为：， 关于的一元一次方程中，； 关于的一元一次方程的解为； 37．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 38．解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而 的解为，而 将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程（）的解为，则称之为“奇异方程”，请解决以下问题： (1)方程是“奇异方程”吗？请说明理由； (2)若方程是“奇异方程”，求m的值． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) 【分析】（1）解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可； （2）根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明； （3）利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到的关系式，即可解关于的方程． 【详解】（1）方程是“奇异方程”．理由： 方程的解为：， ， 方程是“奇异方程”． （2）关于的方程为奇异方程， 方程的根为：． 把代入原方程得： ， ． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． 39．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值． （2）根据条件建立关于n的方程，再求值． （3）先求k，再解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴； （2）∵“集团方程”的两个解和为1， ∴另一个方程的解是， ∵两个解的差是6，且n为较大的解， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：． ∵关于y的一元一次方程可化为：，令， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用“集团方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键． 40．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”． (1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)a的值为101或109 【分析】（1）根据新定义的概念进行分析计算； （2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解． 【详解】（1）是，理由如下：，解得：， ，解得：或， ∵， ∴关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”； （2）， 解得：， ， 解得：或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ①当时，解得：； ②当时，解得：， 综上，a的值为101或109． 【点睛】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$