专题03 一元一次方程的应用【十二大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题03 一元一次方程的应用 考点类型 知识一遍过 （一）一元一次方程的应用 （1）列方程解实际应用题的步骤： ①审——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列——根据等量关系与未知数列出一元一次方程。 ④解——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 （2）常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 ③配套问题： 实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 （3）常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 考点一遍过 考点1：行程问题 典例1：A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地出发，甲的速度是，乙的速度是． (1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发后几小时与甲相遇? (2)若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，多少小时两人相距4千米? 【变式1】已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为12．动点P、Q分别从点A、B出发，沿数轴向左匀速运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒3个单位长度，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______，当点P运动到B点时，点Q所表示的数是______． (2)若点P、Q同时出发： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 【变式2】如图，是数轴的原点，、是数轴上的两个点，点对应的数是，点对应的数是8，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒．问当时，求的值； 考点2：配套问题 典例2：甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？ 【变式1】冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个．求这个学校有几个班级？ 【变式2】白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？ 【变式3】妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 考点3：工程问题 典例3：星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【变式1】中国·哈尔滨冰雪大世界始创于1999年，是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动而推出的精品工程．2024年哈尔滨冰雪大世界再升级，引爆冬日欢乐与热情．某一主题冰雕的建造过程中需要采冰1300立方米，乙队采冰6天后，为了加快进度，甲队加入，两队合作采冰8天完成剩余的任务．已知甲队的工作效率是乙队的工作效率的1.5倍，甲、乙两个采冰队平均每天能采冰的体积分别是多少立方米？ 【变式2】某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【变式3】“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程? 考点4：销售问题 典例4：学校为了让爱好篮球和足球运动的学生更好的参与这两项体育活动．准备在体育用品店购买一些篮球和足球，一个篮球的单价比一个足球的单价贵元，买个篮球和个足球共需要元，求该体育用品店篮球的单价． 【变式1】随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户，某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元，若该公司购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【变式2】某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【变式3】某体育用品店计划购进、两种型号的跳绳共条，这两种跳绳的进价、售价如下表： 进价（单位：元/条） 售价（单位：元/条） (1)如果进货款恰好为元，那么可以购进种型号跳绳多少条？ (2)体育用品店为庆祝元旦进行大促销活动，决定对种跳绳进行打折销售，要求全部售完后，种型号跳绳的利润率为，请问种型号跳绳需打几折？ 考点5：几何问题 典例5：如图，已知，平分，且，求的度数． 【变式1】列方程，解决实际问题： 如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？ 【变式2】在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【变式3】如图，是线段上一点，，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到，设点出发时间为． (1)求线段的长． (2)t为何值时，点恰好是线段的中点？ (3)求点与点重合时（未到达点），的值． 考点6：和差倍分问题 典例6：近年来，国内重点省份、城市间的“人才争夺战”日趋白热化，各地面向全国、全球吸引招揽人才，竞相出台各类优惠政策和创新举措，体制机制改革和流程再造的力度都很大．2020年A市全年引进各类人才数仅比C市前6个月引进各类人才多万人，假设2020年A市与C市各自每月引进各类人才数相同，已知C市比A市每月多引进各类人才万人．那么在2020年里A市每月引进各类人才多少万人？ 【变式1】9月8日华为在各大电商平台正式销售，预售不到24小时，天猫、京东等平台的就被抢完，遥遥领先，显示无货，为了加快生产进度，某工厂连夜生产中的某种型电子配件，这种配件由A型装置和B型装置组成．已知该工厂共有1600名工人．据了解，在日常工作中，该工厂生产A型装置的人比生产B型装置的人数的4倍少400人，请问工厂里分别有多少名工人生产A型装置和B型装置？ 【变式2】五一小长假，小明、小杰等同学随家长一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话（如图所示），试根据图中的信息，解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，怎样购买门票最省钱，最多能省多少元？ 【变式3】随着农业技术的高速发展，新农机新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢．装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度．现有种型号的无人驾驶插秧机若干台，农田若干亩．若插秧机的速度为每天45亩，则工作5天后还剩400亩农田未插秧；若插秧机的速度为每天50亩，则工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台插秧机和多少亩农田？ 考点7：分段计费问题 典例7：某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【变式1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为 ①当时，_______； ①当时，_______； ③当时，_______； (2)小明家当月交电费132元，求小明家当月用电多少度？ (3)采用分段计费制度后，小明家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？ 【变式2】为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【变式3】为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家12月份用电180度，则小明家12月份应付的电费为______元； (2)小明预计1月份需要给公司交付电费156元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电0.6元，电费满100元赠送一张10元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ 考点8：方案选择问题 典例8：某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费． (1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门． 若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可． (2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元． ②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？ 【变式1】第31届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日在成都举行．为了吸引顾客，两家经销商都销售带有“蓉宝”吉祥物标志的纪念品，他们以相同价格出售，各自推出了不同的优惠方案：甲经销商规定累计购买纪念品超出 200元后，超出部分按原价八折优惠；乙经销商规定累计购买纪念品超出100元后，超出部分按原价八五折优惠．若顾客累计购买纪念品元． (1)当为何值时，顾客在两家经销商购纪念品所付的费用一样? (2)有顾客准备购买 600元的纪念品，你认为应该去哪家经销商? 请说明理由． 【变式2】根据表中的素材，完成下面的任务： 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元． 素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探究购买方案 分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 确定兑换方式 求出用于兑换钢笔的兑换券的张数． 【变式3】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下： 甲商店：买一个挂件送一个徽章； 乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售． 如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个）， (1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元； (2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； (3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由． 考点9：调配问题 典例9：在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 【变式1】春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【变式2】某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动．第一批志愿者共26人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人．现再调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？ 【变式3】某校中学生进行义务劳动，去甲处劳动的有30人，去乙处劳动的有24人，从乙处调一部分人到甲处，使甲处人数是乙处人数的2倍，求乙处调多少人到甲处？ 考点10：数字问题 典例10：【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以，解方程得，所以； 【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由可知，，所以，解方程得，于是得； 【解决问题】 (1)把下列无限循环小数写成分数形式： ______，②______； (2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程； (3)若，则______． 【变式1】我国古代的“九宫格”是由的方格构成，每个方格内均有不同的数字，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，设这个和为，下图给出了一个“九宫格”的部分数字． 计算：求的值； 探究：设数字左面方格的数为，求的值； 发现：直接写出的值． 【变式2】阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图的幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息， ①求出x的值； ②直接写出正上方的方格中的数字为______． 【变式3】观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第列 第列 第列 第列 第列 第列 … 第行 … 第行 … 第行 … (1)________，________． (2)第行某一列的数为，则第行与它同一列的数为________． (3)已知第列的三个数的和为，若设第行第列的数为，试求的值． 考点11：数学文化问题 典例11：《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【变式1】我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【变式2】阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： ×年×月×日，星期日 曹冲称象得到的启示今天，我在一本杂志上看到这样一段话： 孙权曾致巨象、太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 按照曾冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上拾入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标志位置，如果再拾入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置，已知搬运工体重为130 kg，求大象的体重，下面是小康的部分解答过程： 解：设每块条形石的质量为x kg，根据题意得，… 任务： (1)填空：解决这个问题用到的等量关系是20块等量的条形石的质量+___________=_________+1个搬运工的体重． (2)将小康的解答过程补充完整． 【变式3】扬州雕版印刷技艺历史悠久．元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，问：快马几天追上慢马？ 考点12：日历问题 典例12：在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 【变式1】将连续的偶2，4，6，8，…，排成如下表： (1)十字框中的五个数的和与中间的数和16有什么关系？ (2)设中间的数为x ，用含x的式子表示十字框中的五个数的和． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【变式2】如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数． (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为，用含的式子表示“”形框内的7个数字的和为_______； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为，，且，直接写出的最大值． 【变式3】如图是2024年元月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两个阴影可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字左上角的数为a，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数为b，数字之和为． (1) （用含a式子表示）， （用含b式子表示） (2)的值能否为76，若能，求a，b的值，若不能，请说明理由． (3)若，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次方程的应用 考点类型 知识一遍过 （一）一元一次方程的应用 （1）列方程解实际应用题的步骤： ①审——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列——根据等量关系与未知数列出一元一次方程。 ④解——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 （2）常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 ③配套问题： 实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 （3）常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 考点一遍过 考点1：行程问题 典例1：A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地出发，甲的速度是，乙的速度是． (1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发后几小时与甲相遇? (2)若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，多少小时两人相距4千米? 【答案】(1)乙出发后小时两人相遇 (2)经过小时或小时两人相距4千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设乙出发后小时两人相遇，根据题意列出方程即可； （2）设经过小时两人相距4千米，根据题意分两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙出发后小时两人相遇， 甲先出发半小时，即甲先出发小时，即甲所走时间为小时， 依题意得： 解得， 答：乙出发后小时两人相遇； （2）解：设经过小时两人相距4千米， ①当乙还未追上甲时， 由题意得：， 解得； ②当乙追上甲时， 由题意得：， 解得． 答：经过小时或小时两人相距4千米． 【变式1】已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为12．动点P、Q分别从点A、B出发，沿数轴向左匀速运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒3个单位长度，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______，当点P运动到B点时，点Q所表示的数是______． (2)若点P、Q同时出发： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 【答案】(1)； (2)①当P运动12秒时，点P追上点Q；②当点P运动6秒或18秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 【分析】此题考查了数轴上的点表示有理数、一元一次方程的应用等知识，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设点B表示的数为x，根据题意得到，即可求出点B表示的数，求出点P运动到B点时用时，即可求出点Q所表示的数； （2）①根据点P追上点Q得到，解方程即可得到答案；②分两种情况列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的点，且A、B两点间的距离为12， ∴， ∴， ∴点B所表示的数是， 点P运动到B点时用时为：秒， 此时点Q所表示的数是：， 故答案为：； （2）①根据题意，得， 得. 答：当P运动12秒时，点P追上点Q． ②根据题意，， 解得，； 或， ． 答：当点P运动6秒或18秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 【变式2】如图，是数轴的原点，、是数轴上的两个点，点对应的数是，点对应的数是8，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒．问当时，求的值； 【答案】(1)4 (2)或； 【分析】本题主要考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的运用，分类讨论思想，熟练掌握利用数轴上动点表示两数之间的距离是解题关键． （1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，从而得到C点对应的数； （2）根据分情况讨论，①当M、N未相遇，M表示的数是，N表示的数是，得到求解即可；②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N表示的数是，得到求解，即可解题； 【详解】（1）解： A点对应的数是，B点对应的数是8， ， ， ，， C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）解：当M运动到点时，（秒），此时N表示的数是，此时，M停留秒后，此时N表示的数是，此时， ， 停留期间， 运动t秒时，， ①当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， ②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 考点2：配套问题 典例2：甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？ 【答案】甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书 【分析】设甲爱心人士捐了册图书，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：设甲爱心人士捐了册图书， ∵甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是， ∴乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数为：， 由题意，得：， 解得：， ∴， 即：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书； 答：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 【变式1】冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个．求这个学校有几个班级？ 【答案】 【分析】设该学校有个班级，则根据题意可列出关于的一元一次方程，由此进行求解． 【详解】解：设这个学校有个班级，则 ， 解得． 答：这个学校有个班级． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用题，根据题目条件设未知数，并建立等量关系是解决本题的关键． 【变式2】白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？ 【答案】大货车用4辆．小货车用6辆 【分析】设载重量为14吨的大货车x辆，根据两种车型共10辆则需要载重量为10吨的小货车为 (10-x)辆，然后再根据所有车辆一共运输白菜等于116吨这个等量关系列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设大货车x辆，则小货车有辆， ， 解得：， （辆）， 答：大货车用4辆．小货车用6辆． 【点睛】解题的关键是：利用总运量=大车载重量×大车数量＋小车载重量×小车数量找准等量关系，正确列出一元一次方程求解． 【变式3】妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【答案】60 【分析】设共有客人位，根据客人共用的碗共65个，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有客人人，依题意可得：． 解之得：． 答：共有客人60人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 考点3：工程问题 典例3：星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 【变式1】中国·哈尔滨冰雪大世界始创于1999年，是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动而推出的精品工程．2024年哈尔滨冰雪大世界再升级，引爆冬日欢乐与热情．某一主题冰雕的建造过程中需要采冰1300立方米，乙队采冰6天后，为了加快进度，甲队加入，两队合作采冰8天完成剩余的任务．已知甲队的工作效率是乙队的工作效率的1.5倍，甲、乙两个采冰队平均每天能采冰的体积分别是多少立方米？ 【答案】甲采冰队平均每天能采冰的体积是立方米，乙采冰队平均每天能采冰的体积是立方米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设乙采冰队平均每天能采冰的体积是x立方米，根据“乙队采冰6天后，队合作采冰8天完成剩余的任务”列方程，求解即可． 【详解】解：设乙采冰队平均每天能采冰的体积是x立方米，则甲采冰队平均每天能采冰的体积是立方米， 由题意得， 解得， 答：甲采冰队平均每天能采冰的体积是立方米，乙采冰队平均每天能采冰的体积是立方米． 【变式2】某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【答案】甲队每小时清雪40吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲队每小时清雪x吨，根据工作总量工作效率工作时间分别求出甲队和乙队的工作总量，再根据积雪为430吨列出方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时清雪x吨， 由题意得，， 解得， 答：甲队每小时清雪40吨． 【变式3】“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要30天，乙工程队单独完成此项工程需要20天 (2)甲、乙还需合作10天才能完成此项工程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据等量关系，列出方程． （1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，列出方程，解方程即可； （2）设甲、乙还需合作y天才能完成此项工程，将整个工程量看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ， 解得：， （天）， 答：甲工程队单独完成此项工程需要30天，乙工程队单独完成此项工程需要20天． （2）解：设甲、乙还需合作y天才能完成此项工程，根据题意得： ， 解得：， 答：甲、乙还需合作10天才能完成此项工程 考点4：销售问题 典例4：学校为了让爱好篮球和足球运动的学生更好的参与这两项体育活动．准备在体育用品店购买一些篮球和足球，一个篮球的单价比一个足球的单价贵元，买个篮球和个足球共需要元，求该体育用品店篮球的单价． 【答案】该体育用品店篮球的单价为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该体育用品店篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据买个篮球和个足球共需要元列出一元一次方程，解之即可，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设该体育用品店篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：该体育用品店篮球的单价为元． 【变式1】随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户，某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元，若该公司购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【答案】每台甲型打印机的进价是元，每台乙型打印机的进价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每台乙型打印机的进价是元，则每台甲型打印机的进价是元，根据该公司购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，可列出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设每台乙型打印机的进价是元，则每台甲型打印机的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：每台甲型打印机的进价是元，每台乙型打印机的进价是元． 【变式2】某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）设购进乙商品x件，则购进甲商品件，根据题意列方程求解即可． （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进乙商品x件，则购进甲商品件， 依题意可知： 解得： ∴（件）， ∴该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件． （2）解：设以五折售出的乙商品有y件． 根据题意得： 解得： 故以五折售出的乙商品有70件． 【变式3】某体育用品店计划购进、两种型号的跳绳共条，这两种跳绳的进价、售价如下表： 进价（单位：元/条） 售价（单位：元/条） (1)如果进货款恰好为元，那么可以购进种型号跳绳多少条？ (2)体育用品店为庆祝元旦进行大促销活动，决定对种跳绳进行打折销售，要求全部售完后，种型号跳绳的利润率为，请问种型号跳绳需打几折？ 【答案】(1)可以购进种型号跳绳条 (2)种型号跳绳需打折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设购进种型号跳绳条，则购进B种型号跳绳条．根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设种型号跳绳打折．根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设购进种型号跳绳条，则购进B种型号跳绳条．根据题意， ． 解得． 答：可以购进种型号跳绳500条； （2）设种型号跳绳打折．根据题意，得 ． 解得． 答：种型号跳绳需打折． 考点5：几何问题 典例5：如图，已知，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，利用方程的思想是解题的关键． 设，则．则，根据角平分线的定义得出，进而根据，解方程求得，即可求解． 【详解】解：设，则． ∴ 又∵OD平分， ∴． ∴ ∴ ∴． 【变式1】列方程，解决实际问题： 如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？ 【答案】小张的设计不符合实际情况 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设宽为x米，则长为米，根据题意列出方程求解，再判断即可； 【详解】解：设宽为x米，则长为米，根据题意，得． 解这个方程，得． ∴． ∵， ∴不符合实际情况． 答：小张的设计不符合实际情况． 【变式2】在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度． 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米． 由题意可得， ． 解得． ∴． 答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米． 【变式3】如图，是线段上一点，，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到，设点出发时间为． (1)求线段的长． (2)t为何值时，点恰好是线段的中点？ (3)求点与点重合时（未到达点），的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设的长为，则，根据时间路程速度结合点比点先到，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设时，点是的中点，由题意得，，根据恰好是线段的中点列方程求解即可； （3）根据路程=速度时间结合点与点重合得出等式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设，根据题意可得： ， 解得：， 答：的长为； （2）解：设时，点是的中点，由题意得，， ∵恰好是线段的中点， ∴，即， ∴， 解得， ∴存在，点恰好是线段的中点； （3）解：由题意可得：， 解得： ， 故点与点重合时（未到达点），的值为． 考点6：和差倍分问题 典例6：近年来，国内重点省份、城市间的“人才争夺战”日趋白热化，各地面向全国、全球吸引招揽人才，竞相出台各类优惠政策和创新举措，体制机制改革和流程再造的力度都很大．2020年A市全年引进各类人才数仅比C市前6个月引进各类人才多万人，假设2020年A市与C市各自每月引进各类人才数相同，已知C市比A市每月多引进各类人才万人．那么在2020年里A市每月引进各类人才多少万人？ 【答案】A市每月引进各类人才万人． 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 设A市每月引进各类人才x万人，C市每月引进万人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设A市每月引进各类人才x万人，C市每月引进万人， 依题意可知： 去括号得 合并同类项得 解得： 故A市每月引进各类人才2.2万人． 【变式1】9月8日华为在各大电商平台正式销售，预售不到24小时，天猫、京东等平台的就被抢完，遥遥领先，显示无货，为了加快生产进度，某工厂连夜生产中的某种型电子配件，这种配件由A型装置和B型装置组成．已知该工厂共有1600名工人．据了解，在日常工作中，该工厂生产A型装置的人比生产B型装置的人数的4倍少400人，请问工厂里分别有多少名工人生产A型装置和B型装置？ 【答案】生产A装置工人1200人，生产B装置工人400人 【分析】设工厂里有x名工人生产B型装置，则有名工人生产A型装置，根据“该工厂共有1600名工人”，列出方程，即可求解； 【详解】解：设工厂里有x名工人生产B型装置，则有名工人生产A型装置，依题意有 ， 解得． 生产A型装置的工人:人 答：工厂里有400名工人生产B型装置，1200名工人生产A型装置. 【变式2】五一小长假，小明、小杰等同学随家长一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话（如图所示），试根据图中的信息，解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，怎样购买门票最省钱，最多能省多少元？ 【答案】(1)12个成人，6个学生 (2)购买16人的团体票和2张学生票最省钱，最多能省154元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据总价单价数量结合成人票及学生票的价格，列出关于的一元一次方程；（2）求出购买16人的团体票和2张学生票的钱数． （1）设小明他们一共去了个成人，则个学生，根据共需525元列方程求解； （2）只需计算购买16人的团体票和2张学生票的钱数，再与525进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了个成人，则个学生，依题意有，解得， ， 答：小明他们一共去了12个成人，6个学生； （2）解：购买16人的团体票和2张学生票， 共需费用： （元， ， （元， 答：购买16人的团体票和2张学生票最省钱，最多能省154元． 【变式3】随着农业技术的高速发展，新农机新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢．装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度．现有种型号的无人驾驶插秧机若干台，农田若干亩．若插秧机的速度为每天45亩，则工作5天后还剩400亩农田未插秧；若插秧机的速度为每天50亩，则工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台插秧机和多少亩农田？ 【答案】有4台插秧机，1300亩农田． 【分析】本题考查了一元一次方程，设有台插秧机，可利用速度不同的为插秧的农田相差亩，列方程，即可解答，熟练找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有台插秧机， 则可得， 解得， 则农田为（亩）， 答：有4台插秧机，1300亩农田． 考点7：分段计费问题 典例7：某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)小明家3月份的用水量是25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元）； （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元） 如果一个月用水18吨，则需水费：（元） 3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为吨， 依题意可得： 解得： 答：小明家3月份的用水量是25吨． 【变式1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为 ①当时，_______； ①当时，_______； ③当时，_______； (2)小明家当月交电费132元，求小明家当月用电多少度？ (3)采用分段计费制度后，小明家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？ 【答案】(1)；；； (2)250 (3)296 【分析】本题考查一次函数的应用，考查分段函数，确定函数解析式是关键． （1）根据“第一档：每月用电不超过180度时，按每度元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度元计费，第二档：超过180度时，其中超过部分按每度元计费”，据此列出相遇函数关系式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费132元可知在第二档，代入解析式可得用电量． （3）根据（1）的结论；当月的平均电价为元/度可知在第三档，代入解析式可得用电量． 【详解】（1）解：（1）根据题意得： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故答案为：；；； （2）解：小明家当月交电费132元，可知用电量超过180度但不超过280度． 由代入， 解得：． ∴小陈家第三季度用电250度． （3）解：当电量不超过180度，平均电价为元/度， 当电量为280度时，平均电价 ∴当月的平均电价为元/度时，用电量大于280度 设：小明家月用电量为度时，其当月的平均电价为元/度． 经检验，是一元一次方程的解． 答：小明家月用电量为296度时，其当月的平均电价为元/度 【变式2】为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【答案】(1)20 (2)该户4月份用水； (3)5月份用水，6月份用水量为． 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， 故答案为：20； （2）解：该用户4月份交水费22元，， 设该户居民4月份用水， 根据题意得出：， 解得：． 故该户4月份用水； （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， 该用户6月份用水量超过5月份用水量， ， ①当时，，根据题意得： ，解得：， ， 当时，无解． ②当时，，根据题意得： ， 解得：， 检验知：符合题意，此时； ③当时，，根据题意得： ， 化简得：． 当时，无解． 综上知：5月份用水，6月份用水量为． 【变式3】为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家12月份用电180度，则小明家12月份应付的电费为______元； (2)小明预计1月份需要给公司交付电费156元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电0.6元，电费满100元赠送一张10元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ 【答案】(1)90 (2)270度，B公司 【分析】本题主要考查了有理数乘法在实际中的应用以及一元一次方程的应用． （1）根据题意直接计算即可． （2）设小明家1月份的用电量是x度，根据题意列出关于x的一元一次方程，解出x即可求出小明家1月份的用电量，然后根据B公司得收费标准计算出实际费用，然后比较即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 则小明家12月份应付的电费为90元． 故答案为：90． （2）设小明家1月份的用电量是x度． ， 解得， 小明家1月份的用电量是270度． 公司的用电收费为， ∵电费满100元赠送一张10元的代金券， ∴公司的用电收费实际为：． ∵， ∴小明1月份该选择B家公司更省钱． 考点8：方案选择问题 典例8：某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费． (1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门． 若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可． (2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元． ②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？ 【答案】(1)600；5 (2)①；；②饭店这次采购10或30桶美味食用油 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可． （2）①利用总价=单价×数量，结合两种销售方案的优惠方法，即可用含x的代数式表示出采用两种方案所需费用；②由①的结论，结合两种采购方案相差100元，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）方案一购买，需要（元）． 方案二，需要购买5桶美味食用油即可． （2）根据题意得：采用方案一购买x桶美味食用油需要（元）． 采用方案二购买x桶美味食用油需要（元）． ②根据题意得：或， 解得或． 答：饭店这次采购10或30桶美味食用油． 【变式1】第31届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日在成都举行．为了吸引顾客，两家经销商都销售带有“蓉宝”吉祥物标志的纪念品，他们以相同价格出售，各自推出了不同的优惠方案：甲经销商规定累计购买纪念品超出 200元后，超出部分按原价八折优惠；乙经销商规定累计购买纪念品超出100元后，超出部分按原价八五折优惠．若顾客累计购买纪念品元． (1)当为何值时，顾客在两家经销商购纪念品所付的费用一样? (2)有顾客准备购买 600元的纪念品，你认为应该去哪家经销商? 请说明理由． 【答案】(1)当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多； (2)当时，选择甲超市购买更优惠，理由见解析． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． （1）根据优惠政策分别求出在两家超市应付的费用，再根据在两家经销商购纪念品所付的费用一样列方程求解即可； （2）根据（1）中的代数式分别计算两种方案的价格然后作比较即可． 【详解】（1）解：甲超市：元， 乙超市：元， 由题意知：， 解得． 故当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多； （2）解：选择甲超市购买更优惠，理由如下： 当时， 甲超市：（元， 乙超市：（元． 当时，选择甲超市购买更优惠． 【变式2】根据表中的素材，完成下面的任务： 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元． 素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探究购买方案 分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 确定兑换方式 求出用于兑换钢笔的兑换券的张数． 【答案】任务1：购买钢笔80支，笔记本60本；任务2：用张券兑换钢笔 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．任务1：设购买钢笔支，笔记本本，由题意可得，计算求结果即可，任务2先求出兑换卷的数量，设张券兑换钢笔，张券兑换笔记本，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：任务1：设购买钢笔支，笔记本本，由题意可得： ， 即， 解得． 答：购买钢笔80支，笔记本60本． 任务2：， 送8张兑换券． 设张券兑换钢笔，张券兑换笔记本，由题意可得： ， 解得：． 答：用张券兑换钢笔． 【变式3】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下： 甲商店：买一个挂件送一个徽章； 乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售． 如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个）， (1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元； (2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； (3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由． 【答案】(1)1300 (2)190 (3)最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用： （1）用30个挂件的费用加上5个徽章的费用，即可求解； （2）设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解； （3）分别求出在甲商店购买费用；在乙商店购买费用；在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个的费用，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即在甲商店订购，费用需1300元， 故答案为：1300； （2）解：设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意得：， 解得：， 答：当订购190个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； （3）解：最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由如下： 若在甲商店购买，费用为元， 若在乙商店购买，费用为元， 若在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，费用为 元， ∵， ∴最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个． 考点9：调配问题 典例9：在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 【答案】(1)七年级（1）班有男生人、女生人； (2)男生共需要小时． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）设七年级（1）班有男生有人，则女生有人，再利用全班共48人建立方程求解即可； （2）设男生共需要小时，再由各部分的工作量之和等于1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生有人，则女生有人， ∴， 解得：； ∴， 答：七年级（1）班有男生人、女生人； （2）设男生共需要小时，则 ， 解得：； 答：男生共需要小时． 【变式1】春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 【变式2】某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动．第一批志愿者共26人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人．现再调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？ 【答案】调去羽毛球赛场有人，调去乒乓球赛场有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，将第二次调往赛场中的调往某一赛场的人数设为，再根据“在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，”列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设调去羽毛球赛场人， 由题可得：， 整理得：， 解得：， 调去乒乓球赛场有人， 答：调去羽毛球赛场有人，调去乒乓球赛场有人． 【变式3】某校中学生进行义务劳动，去甲处劳动的有30人，去乙处劳动的有24人，从乙处调一部分人到甲处，使甲处人数是乙处人数的2倍，求乙处调多少人到甲处？ 【答案】6人 【分析】设乙处调人到甲处，根据从乙处调一部分人到甲处，使甲处人数乙处人数的2倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙处调人到甲处，根据题意得： ， 解得：， 答：乙处调6人去甲处． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程． 考点10：数字问题 典例10：【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以，解方程得，所以； 【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由可知，，所以，解方程得，于是得； 【解决问题】 (1)把下列无限循环小数写成分数形式： ______，②______； (2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程； (3)若，则______． 【答案】(1)①，② (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练运用一元一次方程是解题关键 （1）①设，则，然后解方程即可； ②设，则，然后解方程即可； （2）设，则，然后解方程即可； （3）由可得，然后根据与的关系列式计算即可． 【详解】（1）①设， 由可知：， 所以， 解得， 故答案为：； ②设， 由可知：， 所以， 解得， 故答案为：； （2）设，由可知：， 所以， 解得， 即； （3）∵， ∴扩大1000倍可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】我国古代的“九宫格”是由的方格构成，每个方格内均有不同的数字，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，设这个和为，下图给出了一个“九宫格”的部分数字． 计算：求的值； 探究：设数字左面方格的数为，求的值； 发现：直接写出的值． 【答案】；； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，理解题意．由可求出；根据可求出；求出右面方格的数即可求出． 【详解】解：计算：由题意得：， 解得：；   探究：由题意得：，               解得：； 发现：设数字右面方格的数为， 则， 解得：， ． 【变式2】阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图的幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息， ①求出x的值； ②直接写出正上方的方格中的数字为______． 【答案】(1)15 (2)见解析 (3)①；②1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）①由题意知，， 解得． ②设上方的数为m， ∵， ∴， 解得：， 即上方的数为1； 故答案为：1． 【变式3】观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第列 第列 第列 第列 第列 第列 … 第行 … 第行 … 第行 … (1)________，________． (2)第行某一列的数为，则第行与它同一列的数为________． (3)已知第列的三个数的和为，若设第行第列的数为，试求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：从一组数字的每个数与这个数字的数位之间的关系发现规律；也可从一组数字的前后两个数之间的关系发现规律． （）通过观察发现，，，，，，…，后面一个数都是前面一个数的倍； （）比较第二行数字与第一行数字，易得到第二行数字都是由第一行数字的每一个数加上； （）比较第三行数字与第一行数字，易得到第三行数字都是由第一行数字的每一个数除以；由此规律解决问题即可． 【详解】（1）解：第行的第四个数是； 第行的第六个数是÷， 故答案为，； （2）解：若第行的某一列的数为，则第行与它同一列的数为． （3）解：根据题意，这三个数依次为，，得， ， 解得：． 考点11：数学文化问题 典例11：《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长6.5尺 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长为x尺，根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 【变式1】我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房8间，房客63人 (2)选择一次性订房20间更合算；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该店有客房x间；根据题意得出方程，解方程即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房20间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得：， （人）， 答：该店有客房8间，房客63人． （2）解：若每间客房住4人，则63名房客至少需要16间房，至少需要付： （元）， 若一次性订客房20间以上（含20间），则至少需要付： （元）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房20间更合算． 【变式2】阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： ×年×月×日，星期日 曹冲称象得到的启示今天，我在一本杂志上看到这样一段话： 孙权曾致巨象、太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 按照曾冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上拾入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标志位置，如果再拾入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置，已知搬运工体重为130 kg，求大象的体重，下面是小康的部分解答过程： 解：设每块条形石的质量为x kg，根据题意得，… 任务： (1)填空：解决这个问题用到的等量关系是20块等量的条形石的质量+___________=_________+1个搬运工的体重． (2)将小康的解答过程补充完整． 【答案】(1)3个搬运工的的体重，21块等量的条形石的质量． (2)大象的质量为． 【分析】（1）根据题意可得等量关系为20块等量的条形石的质量+3个搬运工的的体重=21块等量的条形石的质量+1个搬运工的体重，据此即可解答；审清题意是解题的关键； （2）根据（1）的等量关系列一元一次方程求得每块条形石的质量，然后再求大象的质量即可；正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：等量关系为20块等量的条形石的质量+3个搬运工的的体重=21块等量的条形石的质量+1个搬运工的体重． 故答案为：3个搬运工的的体重，21块等量的条形石的质量． （2）解：设每块条形石的质量为x kg， 根据题意得，解得： 所以大象的质量为：． 答：大象的质量为． 【变式3】扬州雕版印刷技艺历史悠久．元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，问：快马几天追上慢马？ 【答案】20天 【分析】设快马天追上慢马，根据路程速度时间结合两马的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设快马走天追上慢马，则此时慢马走了天， 依题意，得， 解得， 答：快马20天追上慢马． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 考点12：日历问题 典例12：在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 【答案】(1)这个数的左上角那天是3月21日； (2)不能圈出和为84的个数． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法的实际应用，整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解题要点是要了解日历上相邻数之间的关系． （1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为，再根据题意建立方程求解即可； （2）假设能用方框圈出的个数字之和能否为84，求得表格中的，再分析17所处的位置，据此进行解答即可． 【详解】（1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为， 由题意得，， 解得， 这个数的左上角那天是3月21日； （2）如果能用方框圈出和为84的个数， 列方程，， 解得， 因为17处于最后一列， 所以不能圈出和为84的个数． 【变式1】将连续的偶2，4，6，8，…，排成如下表： (1)十字框中的五个数的和与中间的数和16有什么关系？ (2)设中间的数为x ，用含x的式子表示十字框中的五个数的和． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【答案】(1)是16的5倍 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，整式的加减计算，一元一次方程的应用； （1）把方框中的5个数相加，看结果与中间的数的关系即可； （2）根据上下相邻的数相隔10，左右相邻的数相隔2表示出其余数，相加即可； （3）根据框出的5个数字之和是5的倍数，2010是5的402倍，再求出402是第80行第1个数即可得到结论． 【详解】（1）解：∵十字框中的五个数字之和为， 又∵， ∴十字框中的五个数字之和是中间数字16的5倍． （2）解：通过观察知：左边的数字比中间的数字小2，右边的数字比中间的数字答2，上面的数字比中间的数字小10，下面的数字比中间的数字答10． ∵中间的数字为， ∴左边的数字为，右边的数字为，上面的数字为．下面的数字为， ∴十字框中的五个数字之和为． （3）解：不能，理由如下： ∵， ∴若这五个数的和能等于2010，则中间的数为402， ∵每一行有5个数，且402为个数， ∴402是第41行第1个数，此时不符合表格的特点， ∴这五个数的和不能等于2010． 【变式2】如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数． (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为，用含的式子表示“”形框内的7个数字的和为_______； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为，，且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)70 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． 【详解】（1）由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为． 故答案为：； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， ∴， ∴最小的数是8； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， 由日历表可知， 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； 当取20，取10，由日历表可知符合题意 ∴的最大值为． 【变式3】如图是2024年元月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两个阴影可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字左上角的数为a，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数为b，数字之和为． (1) （用含a式子表示）， （用含b式子表示） (2)的值能否为76，若能，求a，b的值，若不能，请说明理由． (3)若，求的最大值． 【答案】(1)， (2)能，或 (3)的最大值为231 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识点，理清量之间的关系、列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据日历中的规律可表示出“U型”覆盖的五个数字和“十字型”覆盖的五个数字，从而表示出即可； （2）结合（1）可得，整理可得，再结合的取值范围即可解答． （3）由，代入并整理可得，结合的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，“U型”覆盖的五个数字左上角的数为a， 则其余各数为， ∴； “十字型”覆盖的五个数字中间数为b， 则其余各数为， ∴． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：，整理可得：， 又∵的正整数，的正整数． ∴或． （3）解：∵， ∴，整理可得， 又∵的正整数，的正整数， ∴当，时，的值最大， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$