专题02 一元一次方程的解法【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题02 一元一次方程的解法 考点类型 知识一遍过 （一）解一元一次方程步骤 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 方程左右两边同乘 分母的最小公倍数 等式性质2 不要漏乘不含分母的项 去括号 由内到外 乘法分配律 去括号法则 不要漏乘括号中的每一项 移项 含未知数的项移到左边 其它项移到右边 等式性质1 移项一定要注意变号，不移的项不变号 合并同类项 把方程合并成ax=b的形式 整式加减法则 系数相加减，字母及指数不变 系数化为1 方程两边同除以a（a≠0） 得x= 等式性质2 方程解的分子分母不要颠倒了 考点一遍过 考点1：解一元一次方程——移项、合并同类项 典例1：解方程：． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【变式2】解下列方程： (1)； (2) 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点2：解一元一次方程——去括号 典例2：解方程：． 【变式1】解下列方程 (1)； (2)． 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式3】用“★”定义一种新运算，对于任意有理数和，规定 如：． (1)求 (2)若，求的值． 考点3：解一元一次方程——去分母 典例3：解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1】解方程． (1) (2) 【变式2】解下列方程 (1)． (2)． 【变式3】解方程： (1) (2) (3) 考点4：解一元一次方程——错看问题 典例4：已知+3 是关于x的一元一次方程，再解这个方程时，粗心的小成误把-x看成x，他解得的解是x=4，你知道原方程的正确解释什么吗？请写出解答过程． 【变式1】小马虎在解方程（为未知数）时，误将看成，解得方程的解为，请求出常数的值和原方程的解． 【变式2】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【变式3】小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 考点5：解一元一次方程——同解问题 典例5：已知方程的解和关于的方程的解相同，求的值． 【变式1】已知关于的一元一次方程与的解相同． (1)求的值； (2)已知线段，为线段上一点，且，，分别为线段，的中点，求，的长． 【变式2】已知关于的方程与方程的解相同． (1)求这个相同的解． (2)求． 【变式3】已知方程和方程的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 考点6：解一元一次方程——新定义问题 典例6：定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【变式1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 【变式3】在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 考点7：含绝对值的一元一次方程 典例8：同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【变式1】有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【变式2】（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【变式3】“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次方程的解法 考点类型 知识一遍过 （一）解一元一次方程步骤 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 方程左右两边同乘 分母的最小公倍数 等式性质2 不要漏乘不含分母的项 去括号 由内到外 乘法分配律 去括号法则 不要漏乘括号中的每一项 移项 含未知数的项移到左边 其它项移到右边 等式性质1 移项一定要注意变号，不移的项不变号 合并同类项 把方程合并成ax=b的形式 整式加减法则 系数相加减，字母及指数不变 系数化为1 方程两边同除以a（a≠0） 得x= 等式性质2 方程解的分子分母不要颠倒了 考点一遍过 考点1：解一元一次方程——移项、合并同类项 典例1：解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先移项，再合并同类项，即可求解． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式2】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解； （2）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解； （3）先移项、合并同类项，即可得到方程的解； （4）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）移项，得， 合并同类项，得， （4）移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得 考点2：解一元一次方程——去括号 典例2：解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解决本题的关键是先根据单项式乘以多项式去括号．先根据单项式乘以多项式去括号，再解一元一次方程，即可解答． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式1】解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）移项、合并同类项即得解； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1即得解； 【详解】（1）解： 移项得 合并同类项得 （2）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1，得 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可； （3）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； （3）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 【变式3】用“★”定义一种新运算，对于任意有理数和，规定 如：． (1)求 (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，涉及整式的加减混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据新定义列式并进行计算即可； （2）根据新定义得出关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）； （2）， 整理得， 解得． 考点3：解一元一次方程——去分母 典例3：解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握方程的解法步骤是解题关键． （1）先方程两边同减去，再两边同乘以2即可得； （2）先方程两边同减去，再移项，两边同除以5即可得； （3）先将方程化成，再两边同乘以即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ． 【变式1】解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤解方程即可． （1）按照去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1解一元一次方程即可． （2）按照去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项： 化系数为1： （2） 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项： 化系数为1： 【变式2】解下列方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算． （1）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先将方程变形，分子、分母化为整数，然后去分母，去括号，移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3】解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得：． 考点4：解一元一次方程——错看问题 典例4：已知 是关于x的一元一次方程，再解这个方程时，粗心的小成误把-x看成x，他解得的解是x=4，你知道原方程的正确解释什么吗？请写出解答过程． 【答案】见解析 【详解】试题分析：把x=4代入得出m的值为13，然后把m=13代入求出x的值即可. 试题解析：解：把x=4代入得 1分 解得m=13                                     3分 把m=13代入得 5分 解这个方程得 7分 考点：解一元一次方程. 【变式1】小马虎在解方程（为未知数）时，误将看成，解得方程的解为，请求出常数的值和原方程的解． 【答案】， 【分析】根据方程的解满足方程，可得关于的方程，解方程，可得的值，再解方程，即可． 【详解】解：将代入这个方程， ， 原方程应为：， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式2】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式3】小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 考点5：解一元一次方程——同解问题 典例5：已知方程的解和关于的方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根据同解方程，可得关于k的方程，根据解方程可得答案． 【详解】解： ， 把代入，可得出： ， 【变式1】已知关于的一元一次方程与的解相同． (1)求的值； (2)已知线段，为线段上一点，且，，分别为线段，的中点，求，的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，线段中点的性质； （1）先解，得出，代入，进而解关于的一元一次方程，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据线段中点的性质，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，， 移项得合并同类项得， 解得：， ∵关于的一元一次方程与的解相同． ∴ 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：； （2）解：如图所示， 依题意，， ∴ ∵，分别为线段，的中点， ∴， 【变式2】已知关于的方程与方程的解相同． (1)求这个相同的解． (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程，方程解的定义和解一元一次方程． （1）解方程即可； （2）将（1）中的解代入方程中即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）将代入， 即 解得 【变式3】已知方程和方程的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，以及字母的值求代数式的值． （1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：由 解得 由 解得∶ 由题知∶ 解得∶． （2）解：当时， ． 考点6：解一元一次方程——新定义问题 典例6：定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程，理解“反对方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）根据“反对方程”的定义，得到，，求解即可； （3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程与方程互为“反对方程”， ． （2）解： 关于x的方程与方程互为“反对方程”， ，， 解得，， （3）解：关于x的方程的“反对方程”为， 由方程，得， 方程有整数解， ，得， 和都为整数， 或， 解得或． 【变式1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到或，进而求解即可； （3）①根据题意得到的解是，，进而求解即可； ②首先根据题意的得到方程的解为：，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解，得； 解，得； ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴ 解得； （2）∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）①∵关于x的一元一次方程的解是， ∴的解是， ∵，则， 则的解是， 即：的解是， 故答案为：，； ②方程的解为：， ∵关于x方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：． ∵关于y的方程就是： ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 故答案为：． 【变式3】在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 考点7：含绝对值的一元一次方程 典例8：同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)6 (2)7或 (3)或或0或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． （1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）解：令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ， 符合条件的整数为：或或0或1． 【变式1】有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 【变式2】（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【答案】（1）（2）；（3）当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解 【分析】本题考查了解绝对值方程，绝对值的性质以及绝对值的运用，灵活运用分类讨论是解决本题的关键． （1）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； （2）先化简最外面的，得或，再化简里面的绝对值，得或，进行计算即可； （3）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； 【详解】解：（1）①当时， ∴ ∴， ∴， 解得； 此时方程的解为：x=1； ②当时， ∴ ∴， 此时方程的解为：； ③当时， ∴ ∴|， ∴， 解得：， 此时方程的解为：； 综上所述：此时方程的解为：； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， 由解得：； 由解得：； 由解得：； 由解得：， 综上所述：方程的解为：； （3）①当时，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵， ∴ 解得：， 即当时，方程的解为：； ②当时， ∴， ∴， ∴， 即当时，方程的解为：； ③当时， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即当时，方程|x-2|+|x-3|=a的解为：； 综上所述：当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解． 【变式3】“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展： 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【详解】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$