第七章 平行线的证明（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第七章 平行线的证明（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．内错角相等 【答案】D 【分析】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据线段、对顶角、补角、平行线的性质判断即可． 【详解】解：A. 两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意；     B. 对顶角相等，是真命题，不符合题意； C. 直角的补角仍然是直角，是真命题，不符合题意；     D. 内错角相等，是假命题，符合题意； 故选D． 2．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法的意义及步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行判断作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则， ∴首先应该假设． 故选：B． 3．如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点．由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，直线，线段交，于，两点，过点作交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直定义、平行线的性质等知识点．利用三角形内角和定理可得的度数，再利用平行线的性质可得的度数，即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 5．如图，将五边形沿剪掉一个的，得到一个六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 6．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，则，根据三角形外角性质即可得到结论． 【详解】解：∵ 由折叠的性质得， 故选：C． 7．如图所示，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，、交于点，若，则的度数为（    ）    A．110° B．105° C．100° D．95° 【答案】A 【分析】设，由已知三角形全等，可得，，； 由平行和外角的性质可得，，； 再由三角形内角和，可解得，从而根据，即可解答． 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即，则， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形性质与平行线性质的应用，全等三角形的对应角和对应边相等，两直线平行内错角、同位角相等，同旁内角互补，还应注意三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形内角和为，从而将要求的角转化已知角进行求解． 8．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【详解】解：①， ，即， 在和中， ， ， ，故①选项符合题意； ，故④选项符合题意； ②， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故②选项符合题意； 根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 【分析】本题考查命题与定理、命题写成“如果…，那么…”的形式，熟练掌握“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论是解题的关键．找出命题中的条件和结论，再改写成“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：把“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 故答案为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数． 10．如图，点D是上一点，连接，平分交边于点E，且，若，则的值为 ． 【答案】70 【分析】本题考查的是垂直的定义，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，再求解，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 11．如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点F．若，，则的度数是 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了三角形的高，角的平分线，三角形的外角性质．根据，求得，再根据，计算即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．将按如图所示翻折，为折痕，试写出，和之间的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子． 【详解】解：，理由如下： 设交于点，交于点， 由折叠得：，， ∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，清楚命题的题设与结论是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如果两直线平行，那么内错角相等； （2）解：如果一个角是三角形的外角，那么它等于它不相邻的两个内角的和； （3）解：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等． 15．（5分）已知：如图，，，求证：．（提示：连接或） 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并会作辅助线是解题的关键．连接，利用“”证明，得出，即可证． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．（5分）如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 17．（5分）已知：和点，求作：直线．使．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图、平行线的判定，结合平行线的判定，在射线的右侧作，再作直线即可； 【详解】如图，在射线的右侧作    再作直线 则 则直线即为所求； 18．（5分）如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质求得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在中，，， ； 在中，． 19．（5分）如图所示，与均为直角三角形，其中，，，点D在边上，，请判断两条斜边与的位置关系并证明． 【答案】，理由见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及三角形内角和定理、三角形外角和以及平行线的判定，根据题意求得，和，即可判定，利用平行线的性质即可知． 【详解】解：，理由如下， 设与的交点为M，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则． 20．（6分）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2），． 证明如下：由（1）知， ∴，． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 21．（6分）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 22．（7分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、平行线的判定定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键． （1）首先解得，结合角平分线的定义可得，，再结合三角形外角的性质可解得，进而可得，即可证明结论； （2）首先在四边形中解得，易得，进而可得，结合角平分线的定义可得 ，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：在四边形中，， ∴， ∴， 又∵，平分，， ∴，， ∴． 23．（7分）如图，在中，点D在上，点在上，交于F．已知交于，平分，交于H． (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，由平分得到，进而由得到； （2）由三角形的外角性质得到，然后结合得到，再结合和三角形的内角和求得的度数． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 又， ； （2）解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是熟知平行线的性质求得的度数． 24．（7分）如图，，连接，点，在射线 上，且，平分．    (1)当点 在线段 上时，若，求的度数． (2)当点 在线段 上时，请写出和之间的数量关系，并说明理由． (3)当点 在 的延长线上时，若，，，试说明∶． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)见解析 【分析】本课题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）根据角平分线的定义可得，进而可得，得出，根据平行线的性质，即可求解； （2）根据角平分线的定义，平行线的性质得出，，进而得出，等量代换可得结论； （3）根据角平分线的定义可得，求得，，进而根据平行线的判定定理，即可得证． 【详解】（1）解因为平分， 所以． 因为，， 所以． 因为，   所以． 因为 ， 所以 （2）． 理由因为， 所以，． 因为， 所以， 所以． （3）如图．        因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以 所以 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以 ． 25．（8分）【问题背景】 已知直线与直线分别交于两点，点在直线上（点在点的右侧），射线平分交直线于点，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点是线段上一点，射线交直线于点，，． ①求的度数； ②点在射线上，连接，且满足，请补全图形，并求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②补图见解析，或 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，平行线的判定，熟练掌握各性质是解题的关键： （1）证得，即可得到； （2）①根据角平分线定义得到，利用三角形外角性质得到； ②根据题意画出图形，根据平行线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∵，， ∴； ②如图，当点N在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点N在线段上时， ∵，， ∴． ∴的度数为或． 26．（10分）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）利用平角得定义即可求解； （2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： ①当在上时，在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ②当在上时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ③当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 26．（本题10分）如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．内错角相等 2．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 3．如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （题3图）（题4图）（题5图） 4．如图，直线，线段交，于，两点，过点作交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，将五边形沿剪掉一个的，得到一个六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，、交于点，若，则的度数为（    ） A．110° B．105° C．100° D．95° （题7图）（题8图） 8．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 10．如图，点D是上一点，连接，平分交边于点E，且，若，则的值为 ． （题10图）（题11图）（题12图） 11．如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点F．若，，则的度数是 ． 12．将按如图所示翻折，为折痕，试写出，和之间的数量关系 ． 13．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 15．（5分）已知：如图，，，求证：．（提示：连接或） 16．（5分）如图，于点，，求证： 17．（5分）已知：和点，求作：直线．使．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）    18．（5分）如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，．求和的度数． 19．（5分）如图所示，与均为直角三角形，其中，，，点D在边上，，请判断两条斜边与的位置关系并证明． 20．（6分）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 21．（6分）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 22．（7分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求证：； (2)若，，求的度数． 23．（7分）如图，在中，点D在上，点在上，交于F．已知交于，平分，交于H． (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 24．（7分）如图，，连接，点，在射线 上，且，平分．    (1)当点 在线段 上时，若，求的度数． (2)当点 在线段 上时，请写出和之间的数量关系，并说明理由． (3)当点 在 的延长线上时，若，，，试说明∶． 25．（8分）【问题背景】已知直线与直线分别交于两点，点在直线上（点在点的右侧），射线平分交直线于点，． 【问题探究】(1)如图1，求证：； (2)如图2，点是线段上一点，射线交直线于点，，． ①求的度数； ②点在射线上，连接，且满足，请补全图形，并求出的度数． 26．（10分）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 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