第七章 平行线的证明（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第七章 平行线的证明（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【详解】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：D． 2．如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．无理数都是无限小数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数可以转化成分数 D．数轴上的点与有理数一一对应 【答案】A 【知识点】实数与数轴、判断命题真假、无理数 【分析】本题考查了真假命题的判断，涉及无理数的定义及数轴与实数的关系等知识，判断命题的真假关键是熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A. 无理数是无限不循环小数，是真命题，该选项正确，符合题意； B. 带根号的数不一定是无理数，如，原命题是假命题，该选项错误，不符合题意； C. 无理数不能化成分数，原命题是假命题，该选项错误，不符合题意； D.数轴上的点与实数一一对应， 原命题是假命题，该选项错误，不符合题意， 故选：A． 4．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；另外要能确定“三线八角”中的截线从而准确找出另外两线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、和是直线、被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B、和是直线、被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C、和是直线、被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D、和是直线、被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 5．如图，是的平分线，是的补角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考査了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为. 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果． 【详解】解： 是的平分线，是的补角的平分线，，， ，． ，． ． ， ． ． 故选 C． 6．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“在中，，则”．应先假设“”．其中，正确的说法有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、反证法证明中的假设、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等边三角形的判定、勾股数、反证法的应用是解题的关键．①根据逆命题的概念、真假命题的概念进行分析判断；②根据等边三角形的判定进行分析判断；③根据勾股数的定义进行分析判断；④根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行分析判断． 【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，不符合题意； ②三个角都相等的三角形是等边三角形，原说法正确，符合题意； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数，原说法正确，符合题意； ④用反证法证明命题“中，，则”．应先假设“”，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B 7．如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动点，当最小时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段问题(轴对称综合题)、三角形内角和定理的应用 【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接，由轴对称的性质可得，则，故当四点共线且时，最小，即此时最小，利用三角形内角和定理求出，，进而求出，利用三角形外角的性质求出，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当四点共线且时，最小，即此时最小， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选B    【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确作出辅助线确定取得最小值的情形是解题的关键. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知命题：全等三角形的对应边相等，这个命题的逆命题是： ． 【答案】对应边相等的两个三角形是全等三角形 【知识点】全等三角形的性质、写出命题的逆命题 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“全等三角形的对应边相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应边相等”，故其逆命题是对应边相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应边相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】本题主要考查了逆命题，掌握交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题是解答本题的关键． 10．如图，在中，，平分，若，，则 ． 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：． 11．如图，直线a，b与直线c相交；①；②；③；④；其中能判断的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故①符合题意； 由，不能得到，故②符合题意； 由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故③符合题意； 由，得到，可以根同旁内角互补，两直线平行得到，故④符合题意； 故答案为：①③④． 12．如图， ． 【答案】/360度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，三角形的内角和为，将所求角的度数转化为某些三角形的内角和是解题的关键；将所求的角的度数转化为的内角和，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13．如图，在中，，平分交于点D，点E为的延长线上一点，过点E作于点F，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质，以及三角形的角平分线，数形结合是解答本题的关键．先求出的度数，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 【答案】三角形的内角和是；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；证明过程见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和，结合平角的定义，利用等量代换即可求证． 【详解】解：    ∵ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质证明．掌握三角形的内角和及平角的定义是解题关键． 15．（5分）如图，已如，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，可证得，进而可求得，即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 16．（5分）如图所示，，相交于点，，，与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】对顶角相等、内错角相等两直线平行 【分析】根据角的转换证明即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 17．（5分）如图，点是射线上一点，请用尺规作图法，求出线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角、作线段(尺规作图)、内错角相等两直线平行 【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，交、于F、G，以点B为圆心，为半径作弧，交于点H，以点H为圆心，为半径作弧，交前弧于点P，连接，如图1，延长到点E，可得，则；如图2，反向延长到点E，可得，则． 【详解】解：如图1，线段为所作．    如图2，线段为所作．    【点睛】此题考查了尺规作图，作角等于已知角，平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 18．（5分）如图，已知．求证：．    【答案】见解析 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】先证，再根据平行线的性质可得，再由，可得，根据内错角相等，两直线平行可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 19．（5分）在中，三角形各内角的度数如图所示，求的度数． 【答案】． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理；根据三角形内角和列方程计算即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ∴． 20．（6分）如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理： （1）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．（6分）如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D． (1)试说明； (2)若与互余，试说明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点． （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：因为平分，平分 所以，. 因为， 所以， 所以； （2）解：由（1）知， 所以 因为与互余， 所以， 所以， 所以． 22．（7分）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连． (1)求证：； (2)若，连接，平分，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵为中点， ， 在和中 ， ， ， ； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ． 23．（7分）如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)的度数为； (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义和三角形内角和定理． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题； （2）连接，证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ． 24．（7分）如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 25．（8分）如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线．    (1)当，时，___________，___________； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)115，65 (2)当的大小变化时，的值不发生变化，理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、利用邻补角求度数，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：分别是，的平分线，，， ，， ， ； ，， ，， 分别是，的平分线， ，， ， ， 故答案为：115，65； （2）解：当的大小变化时，的值不发生变化， 理由如下： 分别是，的平分线， ，， ， ， ，， ，， 分别是，的平分线， ，， ， ， 当的大小变化时，的值不发生变化． 26．（10分）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 26．（本题10分）如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． （题2图） （题4图） （题5图） （题7图） 3．下列命题是真命题的是（   ） A．无理数都是无限小数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数可以转化成分数 D．数轴上的点与有理数一一对应 4．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的平分线，是的补角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 6．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“在中，，则”．应先假设“”．其中，正确的说法有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，、是边、上的点，沿翻折后得，沿翻折后得，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）   A． B． C． D． 8．如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动点，当最小时，（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知命题：全等三角形的对应边相等，这个命题的逆命题是： ． 10．如图，在中，，平分，若，，则 ． 11．如图，直线a，b与直线c相交；①；②；③；④；其中能判断的是 （填序号）． 12．如图， ． 13．如图，在中，，平分交于点D，点E为的延长线上一点，过点E作于点F，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 15．（5分）如图，已如，．求证：．    16．（5分）如图所示，，相交于点，，，与平行吗？为什么？ 17．（5分）如图，点是射线上一点，请用尺规作图法，求出线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（5分）如图，已知．求证：．    19．（5分）在中，三角形各内角的度数如图所示，求的度数． 20．（6分）如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（6分）如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D． (1)试说明； (2)若与互余，试说明． 22．（7分）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连． (1)求证：； (2)若，连接，平分，求的度数． 23．（7分）如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 24．（7分）如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 25．（8分）如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线．    (1)当，时，___________，___________； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 26．（10分）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$