辽宁省七校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷

高二数学,共 5 页 第 页1 数学试题 考试时间:120 分钟 满分:150 分 第一部分(客观题 共 58 分) 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y-2=0互相垂直,那么 a的值等于( ) A.1 B.- 1 3 C.- 2 3 D.-2 2.如图,平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面 ABCD是矩形,其中 6AB , 14, 2AD AA ,且 1 1 60A AD A AB ,则线段 1AC 的长为( ) A.9 B.2 15 C. 2 19 D.6 3.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0所得线段的长度是 2 2, 则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 4.下列命题中正确的是( ) A.点 3,2,1M 关于平面 yOz对称的点的坐标是 3,2, 1 B.若直线 l的方向向量为 1, 1,2e ,平面 的法向量为 6,4, 1m ,则 l 高二数学,共 5 页 第 页2 C.若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角为120 ,则直线 l与平面 所 成的角为30o D.已知 O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若 1 2 OP mOA OB OC ,则 1 2 m 5.已知椭圆方程为 2 2 : 1 8 2 x yC ,P为椭圆上一点,若 1 2 90FPF ,r为 1 2F PF 的内切圆,则 r ( ) A. 2 2 6 B.2 2 6 C. 6 2 D. 6 2 6.已知在正四面体 A BCD 中,E 为棱 AD 的中点,则 CE 与平面 BCD 的夹角的 正弦值为( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 3 3 7.已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的左右焦点 F1、F2,P为椭圆 C1与双曲线 C2 在第一象限内的一个公共点,设椭圆 C1与双曲线 C2的离心率为 e1,e2,且 e1 e2 = 1 3 ,若∠F1PF2= 3 ,则双曲线 C2的渐近线方程为( ) A.x y=0 B.x 3 3 y=0 C.x 2 2 y=0 D.x 2y=0 8.已知圆 2 21 : ( 2) ( 2) 14C x y 与圆 2 2 2 : ( 1) ( 2) 14C x y ,过动点 ,M m n 分 别作圆 1C ､圆 2C 的切线 ,MA MB( ,A B分别为切点),若 MA MB ,则M 到圆 2 2( 12) ( 5) 4x y 距离的最小值是( ) A. 19 2 B. 15 4 C. 19 2 2 D. 15 2 4 二、多选题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合要求.全部选对得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 高二数学,共 5 页 第 页3 9.若方程 �2 9+� + � 2 16−� = 1所表示的曲线为�,则下列说法错误的是( ) A.若�为椭圆,则−9 < � < 16 B.若�为双曲线,则� > 16或� <− 9 C.若�为椭圆,则焦距为定值 D.若�为双曲线,则焦距为定值 10.已知直线 : 0 l kx y k ,圆 2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y 为圆C上任意一点, 则下列说法正确的是( ) A. 2 20 0x y 的最大值为 5 B. 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C.直线 l与圆C相切时, 3 3 k D.圆心C到直线 l的距离最大值为 4 11. 在棱长为 1的正方体 ABCD − A1B1C1D1中,点 P满足 �� = �� + � ��1 + � �� ,x ∈ 0,1 ,y ∈ 0,1 ,则( ) A. 当 x=1 时,D1P+BP 的最小值为 5 B.当 x=y 时,有且仅有一点 P满足 DB1 ⊥ A1P C.当 x+y=1 时,有且仅有一点 P满足到直线A1B1的距离与到平面 ABCD 的距离相等 D.当�2+�2=1 时,直线 AP 与C1D1所成角的大小为定值 第二部分(主观题 共 92 分) 三.填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知双曲线 2 2 1 25 9 x y 上一点P到左焦点的距离为12,那么点P到右焦点的 距离为 . 13.点 P在正方形 ABCD所在的平面外, PA 平面 ABCD, ABPA ,则异面直 线 PB与 AC所成的角是 。 14.已知 A,B是椭圆 �2 �2 + � 2 �2 = 1(� > � > 0)的左､右顶点,P是双曲线� 2 �2 − � 2 �2 = 1 在第一象限上的一点,直线 PA,PB分别交椭圆于另外的点 M,N。若直线 MN 高二数学,共 5 页 第 页4 过椭圆的右焦点 F,且 tan∠AMN=3,则椭圆的离心率为 . 四.解答题:本题共 5小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步棸。 15.(13 分)已知直线 l的方程为: 2 1 1 7 4 0m x m y m . (1)求证:不论m为何值,直线必过定点M ; (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于 A B、 两点,当 AOB 面积最小时,求 AOB 的周长. 16.(15 分)在四棱锥 P ABCD 中,BC AD∥ ,PA AD ,平面 PAB 平面 ABCD, 120BAD ,且 1 2 2 PA AB BC AD . (1)求证: PA 平面 ABCD; (2)求二面角 B PC D 的余弦值. 17. 已知圆 O经过椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b 的两个焦点以及两个顶点,且 点 1( , )b a 在椭圆 C上. (I)求椭圆 C的方程, (II)若直线 l与圆 O 相切,与椭圆 C交于 M,N两点,且|MN|= 4 3 ,求 直线 l的倾斜角. 18.在梯形����中,�� ∥ ��,∠��� = 3 ,�� = 2�� = 2�� = 4,P为�� 的中点,线段��与��交于 O点(如图 1).将 ���沿��折起到 ���′位置, 高二数学,共 5 页 第 页5 使得平面�′�� ⊥平面���(如图 2). (1)求二面角� − ��′ − �的余弦值; (2)线段��′上是否存在点 Q,使得��与平面���′所成角的正弦值为 6 8 ?若存 在,求出 �� ��′ 的值;若不存在,请说明理由. 19.(17 分)在空间解析几何中,可以定义曲面(含平面)S的方程,若曲面S 和三元方程 , , 0F x y z 之间满足:①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程 , , 0F x y z 的解;②以三元方程 , , 0F x y z 的任意解 0 0 0, ,x y z 为坐标的点均在 曲面S上,则称曲面S的方程为 , , 0F x y z ,方程 , , 0F x y z 的曲面为S.已知 空间中某单叶双曲面C的方程为 2 2 2 1 1 1 4 x y z ,双曲面C可视为平面 xOz中某双 曲线的一支绕 z轴旋转一周所得的旋转面,已知直线 l过 C上一点 1,1,2Q ,且 以 2,0, 4d 为方向向量. (1)指出 xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线,并说明理由; (2)证明:直线 l在曲面C上; (3)若过曲面C上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C上. 设直线 l 在曲面C上,且过点 2,0,2T ,求异面直线 l与 l 所成角的余弦值. 高二数学七校联考