第二十七章：圆与正多边形（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

第二十七章：圆与正多边形 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 2．如图，一根排水管的横截面如图所示，已知排水管的横截面圆的半径，圆心到水面的距离是3，则水面的宽是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．下列命题中，是真命题的是 （    ） A．长度相等的弧是等弧 B．如果|a|1，那么a1 C．两直线平行，同位角相等 D．如果x＞y ，那么－2x＞－2y 4．如图，已知正五边形的边长为2，连接对角线构成另一个正五边形，则正五边形的边长为（    ） A．1 B． C． D． 5．如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．如图，，，是上三点，，则的度数是 °．    8．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则被剪掉部分的面积为 （结果保留）． 9．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 10．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使一块三角尺；角的顶点和另一块三角尺的直角顶点重合，记为点O，点C在边上，点A、D在的两侧，以O为圆心，长为半径画，分别交于点E、F，则的长为 （结果保留）． 11．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 ． 12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为 cm． 13．如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连接BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠ADC= 度. 14．如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，BC两边分别与交于D，E两点，，则△ABC的面积为 ． 15．正六边形ABCDEF的边长为cm，点P为ABCDEF内的任意一点，点P到正六边形ABCDEF各边所在直线的距离之和为s，则s= cm． 16．如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．      17．如图1，玉带桥拱高而薄，形若玉带，弧形的线条十分流畅．如图2，桥拱关于水面反射的影子经过弧所在的圆心O，已知水面宽米，则水面与该桥拱的最高点P之间的距离是 米，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是 米．    18．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是 ． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．如图，在⊙O中，，求证：． 20．如图，内接于，为的直径，平分交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，记与的交点为F，求证：． 21．如图，在平面直角坐标系中，点、、． (1)借助网格线画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置（保留画图痕迹）； (2)连接、，圆心的坐标为__________，的半径为__________； (3)的长__________． 22．已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 23．如图，是的角平分线，以点C为圆心，为半径作圆交的延长线于点E，交于点F，交于点M，若，求证：F是的中点． 24．如图，已知是的外接圆，过圆心O，且，垂足为点F，交的延长线于点E，连接、． (1)若，的半径长为6，求的长； (2)求证：． 25．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章：圆与正多边形 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【答案】A 【解析】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点在内． 故选：A． 2．如图，一根排水管的横截面如图所示，已知排水管的横截面圆的半径，圆心到水面的距离是3，则水面的宽是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】解：圆心到水面的距离是3， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 3．下列命题中，是真命题的是 （    ） A．长度相等的弧是等弧 B．如果|a|1，那么a1 C．两直线平行，同位角相等 D．如果x＞y ，那么－2x＞－2y 【答案】C 【解析】解：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故A选项是假命题； 如果|a|1，那么，故B选项是假命题； 根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故C选项是真命题； 如果x＞y，那么－2x＜－2y，故D选项是假命题； 故答案为：C． 4．如图，已知正五边形的边长为2，连接对角线构成另一个正五边形，则正五边形的边长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正五边形的边长为2， ， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故选C． 5．如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴， ∵的半径为10，即， ∴在中，， 即点到的距离是8． 故选：B． 6．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【解析】解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．如图，，，是上三点，，则的度数是 °．    【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则被剪掉部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴ ∴ ∴ 被剪掉部分的面积 故答案为： 9．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/76度 【解析】解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 10．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使一块三角尺；角的顶点和另一块三角尺的直角顶点重合，记为点O，点C在边上，点A、D在的两侧，以O为圆心，长为半径画，分别交于点E、F，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：由题意得， 在中， 故答案为： 11．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为 cm． 【答案】2 【解析】解：如图，连接OB ∵ ∴ ∵在⊙O中，CD是直径，弦ABCD ∴AE=BE，且△OBE是等腰直角三角形 ∵AB=cm ∴BE=cm ∴OB=2 cm 故答案为：2． 13．如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连接BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠ADC= 度. 【答案】80° 【解析】解答： ∵AC是圆O的切线,∠DAC=40°， ∴∠B=40°， ∵∠BAC的平分线交圆O于D， ∴∠BAD=∠DAC=40°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80° 故答案为80. 14．如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，BC两边分别与交于D，E两点，，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【解析】解：连结AE， ∵∠CBA=90°， ∴AE为的直径， ∴AE=8， ∵BE=DE， ∴， ∴∠BAE=∠DAE， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAE=∠DAE=30°， ∴BE=DE=，AB=， ∵AE为直径， ∴∠EDA=90°， ∵∠A=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-60°=30°， ∴EC=2ED=8， ∴BC=BE+CE=12， ∴S△ABC=． 故答案为． 15．正六边形ABCDEF的边长为cm，点P为ABCDEF内的任意一点，点P到正六边形ABCDEF各边所在直线的距离之和为s，则s= cm． 【答案】18 【解析】过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴BD∥HK，且BD=HK， ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6， ∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18． 16．如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．      【答案】5 【解析】解：设光盘的圆心为O，如图所示：    过点O作垂直直尺于点A，连接，再设， ∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”， ∴， ∵刻度尺宽， ∴， 在中， ，即， 解得：． 故答案为：5． 17．如图1，玉带桥拱高而薄，形若玉带，弧形的线条十分流畅．如图2，桥拱关于水面反射的影子经过弧所在的圆心O，已知水面宽米，则水面与该桥拱的最高点P之间的距离是 米，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是 米．    【答案】 【解析】如图所示：    连接，，，，交于点，交于点 由题可知 关于水面AB反射的影子经过孤所在的圆心O ， 为等边三角形 在中， ， C是的中点 在中， 综上所述，水面到最高点P之间的距离是米． C离水面AB的距离是米． 18．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，有以下两个临界位置： （1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合， 连接OD， 由折叠的性质得：， ， 在中，， 由垂径定理得：； （2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时， 又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点， ； 综上，折痕CD的长度取值范围是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．如图，在⊙O中，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】解： 20．如图，内接于，为的直径，平分交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，记与的交点为F，求证：． 【答案】（1）证明：连接，如图． ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，点、、． (1)借助网格线画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置（保留画图痕迹）； (2)连接、，圆心的坐标为__________，的半径为__________； (3)的长__________． 【答案】(1)画图见解析(2)，；(3) 【解析】（1）解：如图所示，画弦，弦的垂直平分线的交点，点M即为所求； ． 理由：∵弦，弦的垂直平分线的交点， ∴， ∴即为所求． （2）解：由（1）得：的坐标为：，而， ∴； （3）解：∵的坐标为：，而，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为：． 22．已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)6 【解析】（1）解：如图即为所作． （2）解：如图，连接，， 则：， ， ， 是等边三角形， ， 即：的半径为6． 23．如图，是的角平分线，以点C为圆心，为半径作圆交的延长线于点E，交于点F，交于点M，若，求证：F是的中点． 【答案】证明：连接， 是的角平分线， ， ， 且， ， ， 是的直径， ， ， F是的中点． 24．如图，已知是的外接圆，过圆心O，且，垂足为点F，交的延长线于点E，连接、． (1)若，的半径长为6，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)6(2)见解析 【解析】（1）解：如图1，连接OA， ∵ ∴∠ACB＝ ∴∠AOB＝2∠ACB＝120° ∵OA＝OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵过圆心O，且，垂足为点F， ∴OF⊥AB ∴AF＝BF＝，∠AOF＝∠BOF＝，∠AFO＝90° 在Rt△AOF中，∠AFO＝90°，∠FAO＝90°－∠AOF＝30°，AO＝6 ∴OF＝AO＝3 由勾股定理得AF＝ ∴AB＝2AF＝6 ∴ AB的长为6 （2）如图2，延长CO交于点G，则CG是的直径，连接BG， ∵ OC是的半径 ∴CG是的直径 ∴ ∠CBG＝90° ∴∠OCB+∠BGC＝90° ∵， ∴∠AFE＝90° ∴∠CAB+∠E＝90° ∵∠CAB＝∠BGC ∴ 25．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 【答案】(1)见解析(2)50 cm 【解析】（1）证明：⊙O与水平地面相切于点C， ， ， ， AB与⊙O相切于点B， ， ， 过点作， ， ， ， 即∠BOC＋∠BAD＝90°． （2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点， ，则四边形是矩形， ， ， ， 在中， ，， （cm)， 在中，，cm， (cm)， (cm)， (cm)， cm， (cm)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$