精品解析：浙江省宁波市镇海区尚志中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

镇海区尚志中学2024学年第一学期期中评估 初二年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不轴对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 在平面直角坐标系中，点在（　　） A. 轴正半轴上 B. 轴负半轴上 C. 轴正半轴上 D. 轴负半轴上 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，根据在坐标轴上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：点在轴正半轴上， 故答案为：C． 3. 若三角形的两边长分别为和，则第三边的长不可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设第三边的长为，根据三角形的三边关系定理可得，然后再根据的取值范围确定答案．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为，由题意得： ， ， B、C、D三个选项的值在这个范围内， 故选：A． 4. 若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．取，，则，故该选项错误，不符合题意； B．若，则，故该选项错误，不符合题意； C．若，则等式两边同时乘，再加1，即为，故该选项正确，符合题意； D．若，则等式两边同时乘，再减4，即为，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 5. 如图，已知．添加其中一个条件，；；；，能判定有：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴，故符合题意； 在和中， ， ∴，故符合题意； 添加不能判定，故不符合题意； ∵， ∴在和中， ， ∴，故符合题意； 综上可知添加可以判定， 故选：． 6. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（ ） ​​ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图中的计算问题、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握用尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键． 设交于D，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：设交于D，连接， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 8. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（）． A. －4< a≤－3 B. －3<a≤－4 C. －4<a<－3 D. －3<a<－4 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据已知得出﹣4＜a≤﹣3即可． 【详解】∵解不等式x﹣a≥0得：x≥a，解不等式3﹣2x＞﹣1的解集是x＜2，∴不等式组的解集为a≤x＜2． ∵关于x的不等式组的整数解共有5个，∴﹣4＜a≤﹣3． 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组． 9. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. 118° B. 125° C. 136° D. 124° 【答案】D 【解析】 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 10. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标系内点的平移运动，由题意得，若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点” 反向运动次即可，可以分为两种情况先向右个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是 向右平移个单位得到 , 故矛盾，不成立；先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意，读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键. 【详解】解：由题意得，若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点” 反向运动次即可，可以分为两种情况： 先向右个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是 向右平移个单位得到 , 故矛盾，不成立； 先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意， ∴点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即， ∴最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，逆命题的真假判断，先写出逆命题再判断真假即可． 【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题． 故答案为：假． 12. 点向上平移5个单位长度后的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由平移的方式确定点的坐标，熟知坐标的平移变化规律是解题的关键．根据坐标的平移变化规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减，即可解答． 【详解】解：点向上平移5个单位长度后的坐标为，即． 故答案为：． 13. 在等腰三角形中，为，则底角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键，注意分类讨论，避免漏解．分类讨论：①当为顶角时和②当为底角时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当为顶角时，则底角的度数为； ②当为底角时，则底角的度数为． 故答案为：或． 14. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 15. 如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，则EM＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过E点作EF⊥OB于F，根据角平分线的性质得到∠FOE=∠NOE，EF=EN=3，再证明Rt△OEF≌Rt△OEN得到OF=ON=5；再证明∠MOE=∠MEO可得MO=ME，所以MF=5-ME，然后用勾股定理列方程ME的长即可． 【详解】解：如图：过E点作EF⊥OB于F， ∵OE平分∠AOB，EN⊥OA，EF⊥OB， ∴∠FOE=∠NOE，EF=EN=3， 在Rt△OEF和Rt△OEN中， ∴Rt△OEF≌Rt△OEN（HL）， ∴OF=ON=5， ∵ME//OA， ∴∠MOE=∠MEO， ∴∠MOE=∠MEO， ∴MO=ME， ∴MF=5-OM=5-ME，在Rt△EFM中，（5-ME）2+32=ME2，解得ME=． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键． 16. 如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 三、解答题（第17至21题各8分，22、23题各10分，24题12分） 17. （1）解不等式，并把解表示在数轴上； （2）解不等式组：． 【答案】（），数轴上表示解集见解析；（）不等式组的解集为． 【解析】 【分析】（）先去括号移项合并同类项，化系数为，再用数轴表示即可； （）先求出两个不等式的解集，再求其公共解； 本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． 【详解】解：（） ， 数轴上表示解集如图， （） 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）的面积是______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）图见详解； （2）4； （3）点坐标为或； 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形及格点三角形面积问题： （1）先利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标； 【小问1详解】 解：由题意可得， 如图，和为所作， 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：设点坐标为， ∵的面积为， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． 19. 如图，点D在上，点E在上，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，即得出，为等腰三角形，根据三角形外角的性质得出，结合题意得出，即证为等腰三角形，得出结论； （2）分类讨论：①当是的腰时和②当是的底时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 证明：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，为等腰三角形， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴为等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； 【小问2详解】 解：分类讨论：①当是的腰时， 此时，，如图； ②当是的底时， 此时，，如图． 21. 今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． （1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； （2）若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 【答案】（1）甲球：5元，每个乙球：10元 （2）该文具店共有4种进货方案，方案1：购进25个甲种乒乓球，75个乙种乒乓球；方案2：购进26个甲种乒乓球，74个乙种乒乓球；方案3：购进27个甲种乒乓球，73个乙种乒乓球；方案4：购进28个甲种乒乓球，72个乙种乒乓球 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设购进每个甲种乒乓球需要元，购进每个乙种乒乓球需要元，根据“若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元，若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该文具店购进个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案； 【小问1详解】 解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元， 依题意，得：，解得：． 答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元． 【小问2详解】 解：设该文具店购进个甲种乒乓球，则购进个乙种乒乓球， 依题意，得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴可以取25，26，27，； 该文具店共有4种进货方案，方案1：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案:购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球． 22. 已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，． （1）求证：； （2）求的长 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，根据角平分线和垂直的性质可得，根据等边对等角的性质即可求解； （2）根据可证，如图所示，连接，可证，由此可得，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，且，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形中角的相互转换，掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系， 过点B作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据即可求得点坐标； 过点B作交于点E，由题意得，进一步利用证明，则结合即可求得点坐标； 过点B作交于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式． 【小问1详解】 解：过点B作交直线于点D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则， 那么，点B的坐标； 【小问3详解】 解：过点B作交于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 则． 24. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可；②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再根据解题即可． 【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 过点C作，于点M，N， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海区尚志中学2024学年第一学期期中评估 初二年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（　　） A. 轴正半轴上 B. 轴负半轴上 C. 轴正半轴上 D. 轴负半轴上 3. 若三角形的两边长分别为和，则第三边的长不可能是（    ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知．添加其中一个条件，；；；，能判定有：（ ） A. B. C. D. 6. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（ ） ​​ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（）． A. －4< a≤－3 B. －3<a≤－4 C. －4<a<－3 D. －3<a<－4 9. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. 118° B. 125° C. 136° D. 124° 10. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 12. 点向上平移5个单位长度后的坐标为______． 13. 在等腰三角形中，为，则底角的度数为______． 14. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 15. 如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，则EM＝_____． 16. 如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为______． 三、解答题（第17至21题各8分，22、23题各10分，24题12分） 17. （1）解不等式，并把解表示在数轴上； （2）解不等式组：． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）的面积是______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 19. 如图，点D在上，点E在上，，，求证：． 20. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 21. 今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． （1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； （2）若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 22. 已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，． （1）求证：； （2）求的长 23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 24. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $