第十八章 正比例函数和反比例函数 知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第18章 正比例函数和反比例函数知识归纳与题型突破 （16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点2.函数的定义域与函数值 1．函数自变量的取值范围（定义域） 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 2．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点3.正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点4.正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点5.正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 知识点6.反比例函数 1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数 学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 知识点7.反比例函数的图像和性质 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 3、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 4、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 知识点8.用待定系数法求反比例函数解析式 将点坐标代入反比例函数的解析式即可求到反比例函数的解析式； 03 题型归纳 题型一　常量与变量 1．小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（    ） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．和31是常量 D．数量是自变量 2．在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，下列说法正确的是(　　) A．S，a是变量，，h是常量 B．S，h是变量，是常量 C．S，h是变量，，a是常量 D．S，h，a是变量，是常量 3．球的体积V与半径R之间的关系式为V=R3，下列说法正确的是（　　） A．变量为V，R，常量为，3 B．变量为V，R，常量为，π C．变量为V，R，π，常量为 D．变量为V，R3，常量为π 巩固训练 1．对圆的周长公式的说法正确的是(   ) A．r是变量，2是常量 B．C，r是变量，2是常量 C．r是变量，2，C是常量 D．C是变量，2，r是常量 2．长方形一条边的长度为厘米，其周长为20厘米，面积为平方厘米，则与之间的关系可以表示为 ． 3．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 题型二　函数解析式 4．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．如图，要围成一个长方形场地，场地的一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆的总长恰好为24米．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．银行存款，一年定期年利率为r，取款时还要上交的利息税，某人存一年定期x元，到期后所得本金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 2．按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是 3．某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，设甲种礼品盒的数量为盒，乙种礼品盒的数量为盒． (1)求关于的函数关系式； (2)若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？ 题型三　求自变量的取值范围 7．函数中自变量的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 8．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．函数 中，自变量x的取值范围是 ． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 题型四　求函数值 10．当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 11．当时，函数的值是（ ） A． B． C． D． 12．已知变量s与t之间的关系式是，则当时，s的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 巩固训练 1．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 2．已知函数，若，则的值为 ． 3．如图所示，某种型号的自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形并补全下表： 链条节数 2 3 6 链条长度/ (2)如果x节链条的总长度是，那么y与x之间的关系式为 (3)如果该自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 题型五　函数图象 13．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 14．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则下列  图象中能近似地刻画汽车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 15．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y （填“是”或“不是”）x的函数． 3．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 题型六　正比例函数的定义 16．已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 17．已知关于x的函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 18．已知函数是正比例函数，那么的取值是（    ） A． B． C． D．任意实数 巩固训练 1．如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 2．已知与成正比例，当时，，则与的函数关系式为 ． 3．已知是关于的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 题型七　正比例函数的图象与性质 19．已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 20．已知点，均在正比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．正比例函数，若的值随值增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 2．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是 ． 3．已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求m的值． 题型八　根据反比例函数的定义求参数 22．在反比例函数中，自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D．全体实数 23．关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 24．已知函数是反比例函数，则的值为（　　） A． B． C．或 D．任意实数 巩固训练 1．若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 2．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 3．已知函数． (1)若y是x的正比例函数，则m的值为________； (2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________． 题型九　求反比例函数值 25．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 26．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 27．已知y与x成反比例，且当时，，那么当时，y的值为（　　） A． B．8 C． D． 巩固训练 1．点在反比例函数上，下列说法错误的是（  ） A． B．函数的图象位于第二、四象限 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．反比例函数有两条对称轴 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的关系式； (2)画出反比例函数的图像； (3)当时，的取值范围． 题型十　反比例函数的增减性 28．在反比例函数图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知点，都在双曲线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知、两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 3．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 题型十一　已知双曲线分布的象限求参数范围 31．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 32．若反比例函数（k是常数）的图象在第二、第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 3．已知反比例函数，当为何值时： (1)函数的图象在第二、四象限？ (2)在每个象限内，随的增大而减小？ 题型十二　反比例函数的k值意义 34．如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 35．如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 36．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 1．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ． 3．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 题型十三　求反比例函数解析式 37．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 38．如图，反比例函数的图象的一个分支上有一点，平行于轴，交轴于点，的面积是，则反比例函数的表达式是（　　）    A． B． C．或 D． 39．如图，某个反比例函数的图象（仅有这一支）经过点，则它的解析式为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如表所示： 体积 压强 则可以反映与之间的关系的式子是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 3．已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 题型十四　实际问题与反比例函数 40．甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 41．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 42．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 巩固训练 1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 2．如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 3．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 题型十五　反比例函数与几何综合 43．已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在平面直角坐标系中，过的图象上点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B、D两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为、、、，若，则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 45．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，，轴，点A在函数的图象上．若，则k的值为（   ）    A． B．1 C．2 D．4 2．如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，若的面积为，则 3．如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，D两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； (要求：不写作法，保留作图痕迹) (3)线段与（2）中所作的垂直平分线分别与交于点两点．求点M的坐标． 题型十六　函数的三种表示法 46．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的重量x（）间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 47．一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 48．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（    ） A．乙前4秒行驶的路程为48米 B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 D．两车到第3秒时行驶的路程相等 巩固训练 1．灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 2．一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ． 3．小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是_____米/分？在超市逗留了_____分钟？ (2)求小敏从超市回家时，离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的关系式，并求小敏是几点几分返回到家的？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 正比例函数和反比例函数知识归纳与题型突破 （16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点2.函数的定义域与函数值 1．函数自变量的取值范围（定义域） 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 2．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点3.正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点4.正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点5.正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 知识点6.反比例函数 1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数 学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 知识点7.反比例函数的图像和性质 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 3、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 4、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 知识点8.用待定系数法求反比例函数解析式 将点坐标代入反比例函数的解析式即可求到反比例函数的解析式； 03 题型归纳 题型一　常量与变量 1．小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（    ） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．和31是常量 D．数量是自变量 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的概念，根据在一个变化的过程中，变化的量叫做变量，固定不变的量叫做常量，因变量随着自变量的变化而变化，进行判断即可． 【详解】解：∵金额随着数量的变化而变化且单价保持不变， ∴自变量是数量，因变量是金额，单价是常量， ∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 2．在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，下列说法正确的是(　　) A．S，a是变量，，h是常量 B．S，h是变量，是常量 C．S，h是变量，，a是常量 D．S，h，a是变量，是常量 【答案】C 【分析】根据常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量求解即可. 【详解】在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，S，h是变量，，a是常量. 故选C. 【点睛】本题考查了常量与变量，根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 3．球的体积V与半径R之间的关系式为V=R3，下列说法正确的是（　　） A．变量为V，R，常量为，3 B．变量为V，R，常量为，π C．变量为V，R，π，常量为 D．变量为V，R3，常量为π 【答案】B 【详解】试题解析：中,变量为V,R,常量为，π. 故选B. 巩固训练 1．对圆的周长公式的说法正确的是(   ) A．r是变量，2是常量 B．C，r是变量，2是常量 C．r是变量，2，C是常量 D．C是变量，2，r是常量 【答案】B 【分析】根据函数定义中的常量与变量的定义回答即可． 【详解】圆的周长公式为C＝2πr， 变量是C、r，常量是2、π. 故选B． 【点睛】本题考查了常量与变量，根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 2．长方形一条边的长度为厘米，其周长为20厘米，面积为平方厘米，则与之间的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据长方形周长公式，用含的代数式将另一边长表示出来，再根据长方形面积公式求解即可．本题考查函数关系式，熟练掌握长方形的周长和面积公式是本题的关键． 【详解】解：∵长方形一条边的长度为厘米，其周长为20厘米， ∴它的另一条边长为（厘米）， ． 故答案为： 3．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)10；5；2 (2) (3)或14或时，为等腰三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：当，点P在上时，当，点P在上时，当时，点P在点B上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：当，点P在上时，过点P作， 则， 根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为，则： ， ∴， 根据题意可知：四边形，为长方形， ∴，， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时， 当时，点P在点B上，如图所示： 此时． 综上分析可知：或14或时，为等腰三角形． 题型二　函数解析式 4．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的常量与变量、列函数关系式，根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解． 【详解】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是，． 故选：B． 5．如图，要围成一个长方形场地，场地的一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆的总长恰好为24米．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的关系式，正确地理解题意找出等量关系是列出函数关系式的关键． 根据长方形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：设边的长为x米，边的长为y米， 篱笆的总长恰好为24米． ， 即， 故选：B． 6．在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的关系式，由表知开始时温度为，再每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度T与时间t的关系式． 【详解】解：∵开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：， 故选：A． 巩固训练 1．银行存款，一年定期年利率为r，取款时还要上交的利息税，某人存一年定期x元，到期后所得本金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列函数关系式，根据本息和=本金+利息=本金+本金×利率即可得出 【详解】解：根据题意得：， 故选：C 2．按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是 【答案】/ 【分析】本题考查的是探究规律，函数的表示方法．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键． 根据所给图形总结规律解答即可，不算左右两侧的椅子，则每张餐桌有4把椅子，再加左右两侧的椅子即可． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 由此类推，可得出． 故答案为． 3．某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，设甲种礼品盒的数量为盒，乙种礼品盒的数量为盒． (1)求关于的函数关系式； (2)若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？ 【答案】(1) (2)甲种礼品盒的数量至少要15盒 【分析】本题考查列函数关系式，一元一次不等式的实际应用： （1）根据甲种礼品盒中茶叶的罐数加上乙种礼品盒中茶叶的罐数之和为120罐，列出函数关系式即可； （2）根据120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）由题意，得：， 由（1）知：， ∴， 解得：； 答：甲种礼品盒的数量至少要15盒． 题型三　求自变量的取值范围 7．函数中自变量的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，分式有意义，二次根式有意义．分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0，由此可解． 【详解】解：由题意知，，， 即且， 因此自变量的取值范围是且， 故选A． 8．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 9．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．根据被开方数需要大于等于0，分母不能为0，列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：C． 巩固训练 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数的自变量的取值范围，二次根式的性质，解不等式，正确记忆函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负是解题关键．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且． 故选：D． 2．函数 中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【答案】(1)； (2)，且． 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． （1）当函数表达式的二次根式时，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解； （2）当函数表达式分母是分式，分子是二次根式时，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解， 【详解】（1）解：， ， 解得： 自变量的取值范围为； （2）解：， ，， 解得：，， 自变量的取值范围为，且． 题型四　求函数值 10．当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入中计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：D． 11．当时，函数的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求函数值，将代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：当时，； 故选：A． 12．已知变量s与t之间的关系式是，则当时，s的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】 本题考查求函数值，将代入求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ， 故选：B． 巩固训练 1．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．将自变量代入该函数解析式进行计算求解． 【详解】解：当自变量时， 因变量， 故选：D． 2．已知函数，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了函数值的概念，关键是根据的值判断出相应的解析式，代入求值即可． 【详解】解：由题意可得，， 把代入 解得， 故答案为：． 3．如图所示，某种型号的自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形并补全下表： 链条节数 2 3 6 链条长度/ (2)如果x节链条的总长度是，那么y与x之间的关系式为 (3)如果该自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)80节这样的链条安装到自行车上后总长度是厘米 【分析】此题主要考查了函数关系式，根据题意得出x节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图形找出规律分别计算长度即可； （2）由（1）写出表示链条节数的一般式； （3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 6节链条的长度为：． 填表如下： 链条节数 2 3 6 链条长度/ （2）解：由（1）可得x节链条长为：； ∴y与x之间的关系式为：； （3）解：∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短， ∴这辆自行车链条的总长为厘米， 答：80节这样的链条安装到自行车上后总长度是厘米． 题型五　函数图象 13．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查函数的定义，函数图象，对于自变量的每一个确定的值都有唯一的确定值与其对应，则是的函数，根据函数的定义解答即可． 【详解】根据函数的定义，选项A图象表示是的函数，B、C、D图象中对于的一个值有多个值对应，故选：A． 14．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则下列  图象中能近似地刻画汽车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，读懂题意是解题的关键，根据汽车前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点，逐一判断即可． 【详解】解：由题意知，汽车前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点， 则符合题意得图象为D选项， 故选：D． 15．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断． 【详解】解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数． 故选：C 巩固训练 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此，选项B中的图象，表示是的函数，故B符合题意； 选项A、C、D中的图象，不表示是的函数，故A、C、D不符合题意． 故选：B． 2．如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y （填“是”或“不是”）x的函数． 【答案】是 【分析】本题考查了函数的定义，熟悉定义是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 3．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【答案】(1)50 (2)1 (3)10，50 (4)0.5小时 【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程， （1）观察图象可得结论； （2）观察图象可得结论； （3）根据路程除以时间可得答案； （4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米． 故答案为：50； （2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发． 故答案为：1； （3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米， 所以段路程中的平均速度是（千米/小时）； 乙的平均速度是（千米/小时）． 故答案为：10，50； （4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得， ， 解得， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲． 题型六　正比例函数的定义 16．已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数叫做正比例函数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得. 故选：A 17．已知关于x的函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数定义可得，且，，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且，， 解得：，， ∴； 故选C． 18．已知函数是正比例函数，那么的取值是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：由正比例函数的定义可得：且， 解得：， 故选：B． 巩固训练 1．如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的概念，根据正比例函数定义可得且，再解即可，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：， 故选：． 2．已知与成正比例，当时，，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k的值是解题的关键． 根据题意设，把时，代入求出k的值，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 把时，代入可得，解得， ∴， ∴ 故答案为：． 3．已知是关于的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式； （1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解； （2）将代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， 正比例函数的解析式为：， （2）把代入得： ， 解得：． 题型七　正比例函数的图象与性质 19．已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误； B、把代入，得，B选项错误； C、因为，所以y随x的增大而增大，C选项错误； D、 因为，所以图象经过第一、三象限， D选项正确． 故选D． 20．已知点，均在正比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，利用正比例函数的增减性得出的符号，进而求出m的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数图象上有两点，， 当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：B． 21．正比例函数，若的值随值增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象及性质，根据正比例函数图象与系数的关系列出关于的不等式，然后解不等式即可，熟练掌握正比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵的值随值增大而减小， ∴，解得：， 故选：． 巩固训练 1．已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，故该选项不符合题意； B、当时，，图象不经过点，故该选项不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意； D、，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，求出函数分别过两点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：当过点时，则：， ∴； 当过点时，则：， ∵正比例函数的图象与线段有公共点， ∴或； 故答案为：或． 3．已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 题型八　根据反比例函数的定义求参数 22．在反比例函数中，自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故选：C． 23．关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 【答案】D 【分析】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：，故A错误； ，图象位于一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B错误； 反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误； 将代入，得，即，故D正确， 故选：D 24．已知函数是反比例函数，则的值为（　　） A． B． C．或 D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得出且，然后求解即可，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选：． 巩固训练 1．若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，先根据反比例函数的定义求出n可能的值，再根据反比例函数的性质确定答案． 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴反比例函数的图象一支位于第一象限， 则， ∴． 故选：B． 2．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 3．已知函数． (1)若y是x的正比例函数，则m的值为________； (2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，将一般式转化为的形式成为解题的关键． （1）根据（k是不等于零的常数）是正比例函数，据此即可解答； （2）根据一般式转化为的形式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且，解得或． 故答案为：或． （2）解：∵是反比例函数， ∴且，解得， ∴， ∴故y关于x的函数表达式为． 题型九　求反比例函数值 25．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 26．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 27．已知y与x成反比例，且当时，，那么当时，y的值为（　　） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数，根据待定系数法，即可求出反比例函数表达式，再将代入反比例函数表达式中，就可以求出y的值．解题的关键是明确题意，求出函数关系式． 【详解】解：设反比例函数表达式为，将代入中， 得， 解得 ∴反比例函数表达式为 再将代入中得 ． 故选：D． 巩固训练 1．点在反比例函数上，下列说法错误的是（  ） A． B．函数的图象位于第二、四象限 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．反比例函数有两条对称轴 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、∵在反比例函数上， ∴，所以A选项的说法正确，不合题意； B、∵， 反比例函数的图象位于第二、四象限，所以B选项的说法正确，不合题意； C、∵， 反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以C选项说法错误，符合题意； D、反比例函数有两条对称轴为直线和直线，所以D选项的说法正确，不合题意； 故选：C 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的关系式； (2)画出反比例函数的图像； (3)当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的取值范围为 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，画函数图象，以及已知反比例函数自变量范围求函数值取值范围，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据画函数图象步骤，列表、描点、连线画出图象即可； （3）根据（2）中图象与数据，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 故该反比例函数的关系式为； （2）解：根据题意列表如下： 根据表格数据画函数图象如下： （3）解：由（2）可知，当时，的取值范围为． 题型十　反比例函数的增减性 28．在反比例函数图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查反比例函数图象的性质，根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到，解可得k的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：A． 29．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大． 反比例函数中，则每一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数中， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：B． 30．已知点，都在双曲线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式．分别将A，B两点代入双曲线解析式，表示出和，然后根据列出不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：将点，两点分别代入双曲线，得 ， ， ∵， ， 解得， 故选：C． 巩固训练 1．已知、两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 先判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的符号，进而可得出结论． 【详解】解：、两点在双曲线上，且， ∴双曲线分居在第一、第三象限， ，解得． 故选：C． 2．已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 3．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，；或． 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 题型十一　已知双曲线分布的象限求参数范围 31．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 32．若反比例函数（k是常数）的图象在第二、第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可知，求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ， ， 故选：D． 33．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：B． 2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为： 3．已知反比例函数，当为何值时： (1)函数的图象在第二、四象限？ (2)在每个象限内，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，解得； （2）∵在每个象限内，随的增大而减小， ∴，解得． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 题型十二　反比例函数的k值意义 34．如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，，且反比例函数图象在第一象限，即， ∴， 解得，， 故选：C ． 35．如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k值几何意义是关键． 设与x轴交于点，连接，根据，， 且，可得 ，再利用，，继而求出值． 【详解】解：设与x轴交于点，连接， ∵ ， ， 且， ， 又∵， ， ， 反比例函数在第二象限， . 故选：B. 36．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 巩固训练 1．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，作轴于，轴于，由题意得到，，根据，得到，解得即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有、两点，它们的横坐标分别为2和3， ，， 作轴于，轴于，则， ∴， ， 解得， 故答案为：． 3．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 题型十三　求反比例函数解析式 37．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键． 根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解． 【详解】解：底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为10， ， ． 故选：C． 38．如图，反比例函数的图象的一个分支上有一点，平行于轴，交轴于点，的面积是，则反比例函数的表达式是（　　）    A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，由轴可得为直角三角形，进而由的面积是，得到，即得或，再根据函数的图象位于第一象限可得，即可得到，据此可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形， ∵的面积是， ∴， ∴或， ∵函数图象的一个分支位于第一象限， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为， 故选：． 39．如图，某个反比例函数的图象（仅有这一支）经过点，则它的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，由反比例函数图象上点的坐标代入求得值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由函数经过点， 得， 反比例函数解析式为． 故选：D． 巩固训练 1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如表所示： 体积 压强 则可以反映与之间的关系的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是根据表格的信息，得该函数是反比例函数，设解析式为，把，代入，得到，即可． 【详解】解：由表格可得，得该函数是反比例函数， ∴设解析式为， ∴， 把，代入， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 3．已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 题型十四　实际问题与反比例函数 40．甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：， 所以， 故与之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：D． 41．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于， 故选：B． 42．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令，则， ∴， ∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为， 设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：， 解得：， ∴此时， ∴水温与通电时间的函数关系式为， 上午10点到共30分钟，， ∴当时，， 即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 2．如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键．设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 3．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 题型十五　反比例函数与几何综合 43．已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，矩形的性质和用待定系数法求反比例函数的解析式． 先求得对角线的交点坐标，再求得反比例函数的解析式，求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】解：四边形为矩形， 对角线的交点坐标， 反比例函数的解析式为， 点是与的交点， ， ． 故选：B． 44．如图，在平面直角坐标系中，过的图象上点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B、D两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为、、、，若，则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ， ，， ， ， ． 故选B． 45．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，，轴，点A在函数的图象上．若，则k的值为（   ）    A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，根据等腰直角三角形的性质可证，可得，四边形是矩形，，设，根据可求出点的坐标，由此即可求解，掌握反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，   故选：D ． 2．如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，若的面积为，则 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，三角形中线的性质，根据三角形中线可得，再根据，且，由此即可求解． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点在反比例函数图象上，， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 3．如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，D两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； (要求：不写作法，保留作图痕迹) (3)线段与（2）中所作的垂直平分线分别与交于点两点．求点M的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-基本作图，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作于点．构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解； （2）根据要求作出图形； （3）求出点的坐标，再利用中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型十六　函数的三种表示法 46．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的重量x（）间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式，根据表格可得到函数的关系式，再根据关系式即可判断． 【详解】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间函数关系式为， ∴A，C正确；B错误； 所挂物体质量为时，弹簧长度，故D正确， 故选：B． 47．一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量等于原蓄水量加注水量得出函数关系式即可，理解题意、明白等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水， ∴蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为， 故选：D． 48．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（    ） A．乙前4秒行驶的路程为48米 B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 D．两车到第3秒时行驶的路程相等 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．结合速度与时间的变化图象，作出判断即可． 【详解】解：A．根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为米，正确，不符合题意； B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加米/秒，正确，不符合题意； C．根据图象得：在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确，不符合题意； D．∵在0到8秒内甲的速度每秒增加米/秒， ∴第3秒时甲的速度为：米/秒， ∵第3秒时乙的速度为：米/秒， ∴第3秒时两车到第3秒时速度相同，但是行驶的路程不相等，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 【答案】D 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费，故本选项叙述正确，不符合题意； B、所缴电费随用电量的增加而增加，故本选项叙述正确，不符合题意； C、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 2．一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了变量间的关系，理解题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据题意，经过时间，燃烧掉的长度为，剩下的蜡烛长度等于原始长度减去燃烧掉的蜡烛长度即得解． 【详解】解：根据题意得，经过，燃烧掉的长度为，蜡烛原始长度为， 经过，燃烧后蜡烛的长度． 故答案为：． 3．小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是_____米/分？在超市逗留了_____分钟？ (2)求小敏从超市回家时，离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的关系式，并求小敏是几点几分返回到家的？ 【答案】(1)300；30 (2)，小敏是8点55分返回到家的 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，从函数关系式和自变量的值： （1）根据小敏从家去超市的路程为3000米，花费的时间为10分钟，结合速度路程时间可求出小敏去超市的速度，再根据函数图象可求出逗留的时间； （2）先求出从超市返回家中的速度，进而列出对应的函数关系式并求出函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小敏从家去超市的路程为3000米，花费的时间为10分钟， ∴小敏去超市途中的速度是米/分， 由函数图象可知，在第10分钟到第40分钟小敏离家的路程不变，即此时间段为小敏在超市的时间， ∴小敏在超市逗留了分钟， 故答案为：300；30； （2）解：由函数图象可知，小敏从超市回家的速度 为米/分， ∴， 当时，， ∴第55分钟小敏返回到家中， ∴小敏是8点55分返回到家的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！65 学科网（北京）股份有限公司 $$