第5章 函数应用 易错60题-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

第5章 函数应用 易错60题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的图象的交点个数，即可求解. 【详解】当时，令，解得或； 当时，令，则，画出函数与函数的图象， 可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3. 故选：C 2．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）设函数，且，则（    ） A．函数在内至少有一个零点 B．函数在内至少有一个零点 C．函数在内至少有一个零点 D．函数在和内各有一个零点 【答案】C 【分析】根据二次函数、零点等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数，且， 所以有两个零点， ， ， 若，则， 此时的两个零点分别在区间，则AD错误. 若，则，， 所以的两个零点，一个是，另一个在区间. 若，则的符号无法判断， 所以的两个零点分别在、， B选项错误. 综上所述，函数在内至少有一个零点，C选项正确. 故选：C 4．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 5．（22-23高一上·上海奉贤·期末）数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列四个命题： ①函数在定义域上是奇函数； ②函数的零点有无数个； ③函数在定义域上的值域是； ④不等式解集是． 以上四个命题正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】举例即可说明①错误；令，结合函数的定义，即可判断②；作差法得出，进而得出.根据取值的特殊性，即可判断③；由不等式可得，根据定义即可判断④. 【详解】设， 对于①，易知，， 所以，. 故函数在定义域上不是奇函数.故①错误； 对于②，由可得，，. 根据函数的定义可得，.故②正确； 对于③，易知. 因为恒成立， 所以，所以. 综上所述，. 所以，，即， 所以，. 但是根据定义可知，只能取整数， 所以的值域为内的部分离散的数，而不能取遍内的所有实数.故③错误； 对于④，因为， 所以由可得， ，，所以. 根据函数的定义可知，，所以不等式解集是．故④错误. 综上所述，②正确. 故选：B. 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或，即实数k的取值范围是. 故答案为： 7．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. 8．（20-21高一上·陕西渭南·期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（    ）    A．选择甲厂比较划算 B．选择乙厂比较划算 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算 D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样 【答案】C 【分析】由图象写出甲乙厂费用函数解析式，数形结合判断印制证书数量与甲、乙两厂总费用大小关系，即可判断各项的正误. 【详解】由图知：甲厂费用函数为，乙厂费用函数为， 当时，，可得；当时，，可得； 结合图象知：当或时乙厂划算；当时甲厂划算；当或时甲乙费用相同； 所以A、B、D错，C对. 故选：C 9．（22-23高三上·云南德宏·期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数． 【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数， 因为函数的定义域为， 所以当时，函数与的图象没有交点， 当时，， 所以当时，． 又函数的周期为2，所以． 当时，， 所以当时，函数与的图象没有交点， 作函数和函数在区间上的图象， 观察图象可得两函数图象有5个交点, 所以函数的零点个数为5. 故选：C. 10．（22-23高一上·北京朝阳·期末）某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（    ） A．2千克/小时 B．3千克/小时 C．4千克/小时 D．6千克/小时 【答案】C 【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可. 【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，， 令，，则，故当时，最大，此时. 故选：C 11．（21-22高三上·北京通州·期末）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（    ） （参考数据：，） A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min 【答案】B 【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得的值，即可做出判断. 【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94,   呈现越来越小的变化趋势， 故选用模型①为更符合实际的模型. 由时，，代入，得,解得. ∴. 由时,可得，解得, ∴, 由,得,∴, , 刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min, 故选:B. 12．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，则函数的零点个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，函数的零点个数等价于函数与函数的图象的交点个数，作出函数与函数的图象，数形结合可得出结果. 【详解】令，得， 则函数的零点个数等价于函数与函数的图象的交点个数， ，作出函数与函数的图象如下图所示： 由图象可知，两个函数图象的交点个数为，故函数的零点个数为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 13．（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（    ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 【答案】B 【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间． 【详解】由题意可知，当时，，则，解得， 所以， 当时，，即， 则 ， 所以茶水泡制时间大的为7 min. 故选：B. 14．（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级： 声源 与声源的距离（单位：） 声强级范围 内燃列车 20 电力列车 20 高速列车 20 设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级，即可判断A；计算可得大小关系，即可判断B，D；计算可得大小关系，即可判断. 【详解】对于：因为声强时，声强级， 所以，解得，故错误； 对于B：因为， 所以，即，故B正确； 对于C：， 所以，即，故C不正确； 对于D，， 所以，即，故D不正确． 故选：B． 15．（2023·广西·模拟预测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系（为保鲜时间，为储存温度），若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时，在常温的保鲜时间是48小时，则该食品在高温的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 【答案】A 【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可. 【详解】由题意，得，即， 于是当时，（小时）. 故选：A 16．（20-21高二下·山东青岛·期末）定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为（    ） A．1 B．3 C．2 D．2021 【答案】B 【分析】当时，作出函数，的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及，即可求出方程所有根的个数. 【详解】①当时，令，即， 在同一坐标系中作出函数，的示意图，如下图： 函数为单调增函数，为单调减函数， 可知两个图象有且只有一个交点P，横坐标记为. 即时方程有且只有一个实根， ②因为函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，方程也有一个实根， ③又∵是R上的奇函数，，∴即0也是方程的根， 综上所述，方程有3个实根. 故选：B. 17．（2021高一·全国·专题练习）设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)（    ） A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa C．9×103 Pa D．9×105 Pa 【答案】A 【分析】先求出c,再由0.90×105＝ce1 000k，求出e1 000k的值，即可求出当x=600时对应的值． 【详解】解:依题意得：1.01×105＝ce0＝c, 0.90×105＝ce1 000k， 因此e1 000k＝≈0.89， 因此当x＝600时， y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104. 故选:A. 18．（2021·湖南衡阳·模拟预测）“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时． A．72 B．36 C．24 D．16 【答案】A 【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求. 【详解】当时，；当时，， 则，整理可得，于是， 当时，． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题属于指数函数模型的实际应用，解答本题的关键在于通过所给的两组的取值计算得到所满足的等式，然后通过化简指数幂的运算求解出最终结果. 19．（20-21高一下·浙江·期末）已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（    ） A．480 B．120 C．441 D．141 【答案】C 【分析】分别考虑当的情况，利用旅游人数乘以人均消费计算出旅游日收益：当时，利用基本不等式求解出旅游日收益的最小值，当时，直接根据函数的单调性分析出旅游日收益的最小值，由此求得最终结果. 【详解】记旅游日收益为， 当时，,， 所以，所以 所以，取等号时； 当时，，， 所以，显然在上单调递减， 所以， 由上可知：旅游日收益的最小值为万元， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题属于分段函数的实际应用问题，解答本题的关键在于对的合理分类，并通过函数的单调性以及基本不等式等方法完成函数最值的分析；解答函数的实际应用问题时，一定要注意分析定义域. 20．（20-21高二上·贵州黔东南·期末）已知函数的零点在区间上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析得出函数在上为增函数，由已知条件得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于函数、在区间上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于函数的零点在区间上，则，即， 解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出所给函数在已知区间上的单调性，进而分析得出函数在区间端点处的函数值符号，列不等式组求解. 21．（18-19高一上·黑龙江·期末）已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（    ） A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，0) D．[－1，0) 【答案】D 【分析】当x>0时，f(x)有一个零点，故当x≤0时只有一个实根，变量分离后进行计算可得答案. 【详解】当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝. 因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根， ∴a＝－ex(x≤0)，函数y=－ex单调递减，则－1≤a<0. 故选：D 【点睛】本题考查由函数零点个数确定参数的取值，考查指数函数的性质，属于基础题. 22．（19-20高一·浙江·期末）已知函数是定义域为的偶函数.当时，，若关于的方程，有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则方程必有两根，作出函数的图象，可得出，，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 由于关于的方程，有且只有个不同实数根， 则关于的二次方程必有两根，其中，且，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，涉及复合型二次函数的零点问题，解决此类问题一般将函数分为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 23．（18-19高一下·云南大理·期末）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，函数和在上的图象有个不同的交点，作出两函数图象，即可数形结合求出． 【详解】作出两函数的图象，如图所示： 由图可知，函数和在上的图象有个不同的交点， 故函数和在上的图象有个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心到直线的距离为，解得，因为两点连线斜率为，所以，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题． 24．（18-19高一下·江苏盐城·期末）若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可. 【详解】解：因为， 由函数（）有两个不同的零点， 则函数在均有一个解， 则，解得：， 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题. 二、多选题 25．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上不存在零点 B．已知方程的解在内，则 C．若，则在上至少有一个零点 D．若在内有且只有一个零点，则 【答案】BC 【分析】根据特例结合零点存在性定理依次判断即可． 【详解】对A，若，则，，， 令，，，则在上存在零点0，故A错误； 对B，令，又在上单调递增，且，， 所以方程的解在内，所以，故B正确； 对C，函数在区间上的图象不间断，若，则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故C正确； 对D，若，，，又在上存在零点0，但，故D错误． 故选：BC． 26．（23-24高一下·湖南株洲·期末）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（   ）（参考数据：） A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年； B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失； C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的； D．若年后，样本中氚元素的含量为，则. 【答案】AC 【分析】分别将、、依次代入计算即可依次判断选项ABC，根据求出即可判断D，进而得解. 【详解】当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故正确； 当时，，故错误； 当时，，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确； 由题意，化简得， 将代入其中，可得，故错误. 故选：. 27．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 【答案】ACD 【分析】根据图象可直接判断A，B选项；对C，计算出采用A，B方案核算的计件工资可判断；对D，由图可知产品件数为1000时，A方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解. 【详解】从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用方案核算的计件工资为元， 因为，所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时，员工采用A方案核算的计件工资（单位：千元） 与生产的产品件数（单位：百件）的函数关系式为， 则当时，，即当某员工生产的产品件数为1000时， 该员工的计件工资最多为14200元，D正确. 故选：ACD. 28．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【分析】在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足，，即可判断近似值. 【详解】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC. 29．（20-21高一·全国·课后作业）(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（ ）      A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3 【答案】ABD 【解析】由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D. 【详解】图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵，∴每月的增长率为1，A正确. 当t=5时，y=25=32>30，∴B正确. ∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确. ∵2=，3=，6=，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题. 三、填空题 30．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可 【详解】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由解得. 故答案为：. 31．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象关于直线对称； ③恒成立； ④函数有且只有一个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】对于①，先由得，再研究其单调性；对于②，求出，判断是否成立即可；对于③，去绝对值符号化简解析式分段分析即可得解；对于④，令，去绝对值符号分段求解零点即可得解. 【详解】由题， 对于①，因为当时， ， 函数在上单调递增，故①正确； 对于②，因为， 所以直线不是函数的对称轴，故②错误； 对于③，当时，， ，， 所以恒成立，故③正确； 对于④，令，即， 当时，，整理得，，（舍去）， 时，，整理得，无解， 综上，函数有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：去绝对值符号，分和两段讨论分析即可求解. 32．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数，且时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为时，， 由图可知，， 则， 即，所以，所以， 由函数关于对称，可得， 所以， 因为，所以， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，是解决本题的关键. 33．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若函数有两个零点，则的最小值为 . 【答案】 6 60 【分析】（1）求解即可； （2）作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】（1），解得，故的零点为； （2）由题意有两个零点，作出的图象可得， 且，故，即. 故，当且仅当，即时取等号. 故答案为：6；60 34．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知关于x的等式恒成立，则 ． 【答案】 【分析】赋值法，代入，即可得出答案. 【详解】令，则由已知可得，. 故答案为：. 35．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案. 【详解】，画出函数和的图像，如图所示： 不等式恰有一个整数解，则这个整数解为， 故且，解得. 故答案为： 36．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，若方程有4个解分别为，且，则 . 【答案】10 【分析】作出函数图象，由对数函数的性质可得，有二次函数的对称性可得，代入求解即可. 【详解】作出函数的大致图象，如下：    可知，且当时，有2个解； ， 得； 当时，由有2个解，根据图象的对称性，得. . 故答案为：10. 37．（22-23高一上·黑龙江鹤岗·期末）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得方程的一个近似解为 ．（精确到0.01） 【答案】1.56 【分析】根据零点存在定理，可知零点在内，再根据二分法即可判断该方程的近似解且满足误差不超过0.005. 【详解】因为，， 根据零点存在性定理，可知零点在内， 由二分法可得零点的近似值可取为， 所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005． 故答案为：1.56 38．（22-23高一上·辽宁大连·期中）已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论为一次函数和二次函数，当为二次函数时再分类讨论存在一个零点和两个零点两种情况，一个零点时，两个零点时满足题意需用零点存在性定理求出实数的取值范围. 【详解】，函数的零点为，不满足题意； 当时，若二次函数只有一个零点，则，解得，此时的零点为，不满足题意； 若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则，解得 检验：当时，，即两个零点异号 因此当，时，函数有且只有一个零点在区间中 当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时 ，无解，故不存在两个零点在区间中； 故答案为： 39．（2023·四川绵阳·一模）已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】(-2，1) 【分析】根据函数图象与的交点即可求解. 【详解】在直角坐标系中画出的图象， 当时，至多有2个实数根，如图（1）， 当时，至多有2个实数根，如图（2）， 当时，恰好有3个实数根，如图（3）， 故的取值范围为， 故答案为： 40．（21-22高一上·上海虹口·期末）若函数有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出的图像，分，，，，讨论观察图像可得答案. 【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点 当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合； 当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点； 当时，函数零点为-2，0，有2个零点； 当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点； 综上：实数a的取值范围是 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行. 41．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 . 【答案】3 【分析】先将的零点个数转化为和的交点个数，然后画图确定交点个数. 【详解】令,则, 令, 则与的交点个数即为的零点个数, 当时,, 又, 所以是周期为1的函数, 在上单调递减,且, 所以可作出与的图象如图, 所以与有3个交点，故的零点个数为3, 故答案为：3. 42．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换. ①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为 . 【答案】 【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额； ②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元，分、两种情况讨论，计算的表达式，结合可求得的最大值. 【详解】①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分， 故该家庭该月积分卡能兑换元； ②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元. 若时，恒成立； 若时，，可得. 故的最大值为. 故答案为：①；②. 43．（20-21高一上·河北张家口·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为 . 【答案】2 【分析】将数据，，，代入公式，得到，解指数方程，即得解 【详解】将，，， 代入得， 所以， ， 所以， 即. 故答案为：2 44．（20-21高二下·北京延庆·期末）已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数的图象和直线的图象，考察有四个交点的条件，根据对称性求得的值，根据图象，结合二次方程，韦达定理计算，判定的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】如图所示，画出函数的图象和直线的图象，有四个交点，从左到右四个交点的横坐标分别是，由对称性可知. 当时，是方程,即的两个实数根， , .取得最大值，当时，直线与函数在y轴右侧的对勾函数图象相切，切点为(1,2),此时，所以函数的图象和直线的图象有4个交点时，是， 故答案为：. 45．（19-20高一上·河南开封·期中）已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围. 【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点， 由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示： ∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围. 46．（18-19高一下·上海闵行·期末）已知函数是R上的偶函数，当时，，关于x的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则 . 【答案】 【分析】作出函数的图像，结合图像可得，即，从而可得四个不同的实数根，进而可得，代入即可求解. 【详解】 当时，函数在区间和上是增函数， 在区间上是减函数，的极大值为， 极小值为， 作出函数当时的图像如图， 函数函数是R上的偶函数， 当时的图像与当时的图像关于轴对称， 故函数的图像如图所示， 将进行平移，可得当时， 两图像有且仅有四个不同的实数根， 令，可得，，， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值，考查了数形结合的思想，属于中档题. 47．（19-20高一·浙江·期末）已知函数，若方程（其中）有四个不同实数根、、、，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】作出函数与函数的图象，设，由图象知，当时，函数的图象与直线有四个交点，利用对数的运算性质得出，由二次函数的对称性得出，然后利用双勾函数的单调性可求出的取值范围. 【详解】作出函数与函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，函数的图象与直线有四个交点， 设，二次函数的图象关于直线对称，则， 且，，，， 即，则，，， 由双勾函数的单调性知，函数在区间上单调递增， ，，， 因此，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查零点代数式取值范围的求解，涉及二次函数的对称性以及对数运算法则的应用，将代数式转化为以某变量为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查函数方程思想的应用，属于中等题. 四、解答题 48．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 49．（23-24高一上·湖北武汉·期末）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 【答案】(1) (2)发车间隔为分钟时，每辆列车的日均车票收入最大，且最大值为万元 【分析】（1）当时，直接求得；当时，代入数据先求解出比例系数，则可知；由此可求y关于t的函数表达式； （2）根据反比例函数、二次函数的单调性分别求解出、时的最大值，由此可知结果. 【详解】（1）当时，，； 当时，，且当时，， 解得，，； 故. （2）当时，，当时有最大值为； 当时，，当时有最大值为， 综上所述：当发车间隔为分钟时，每辆列车的日均车票收入最大，且最大值为万元. 50．（23-24高一上·四川绵阳·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）． (1)求单株利润关于施用肥料的关系式； (2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元 【分析】（1）根据已知可知，代入表达式，即可得出答案； （2）根据二次函数的性质，得出时的最大值；根据基本不等式得出时的最大值，比较即可得出答案. 【详解】（1）依题意可得， ， 所以，． （2）当时，， 根据二次函数的性质，可知在单调递减，单调递增， 且，， 所以； 当时，. 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，，. 所以，当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元． 51．（22-23高二下·山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果； （2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可. 【详解】（1）当时，， 当时,， 所以. （2）当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 52．（22-23高一上·安徽滁州·期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议月日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本万元经计算若年产量千件低于千件，则这千件产品成本若年产量千件不低于千件时，则这千件产品成本每千件产品售价为万元，设该企业生产的产品能全部售完． (1)写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式 (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大最大利润是多少 【答案】(1) (2)当该企业年产量为千件时，所获得利润最大，最大利润是万元． 【分析】（1）根据题意列解析式 （2）根据二次函数，和基本不等式求最值 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以． （2）当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而，所以当该企业年产量为千件时，所获得利润最大，最大利润是万元． 53．（21-22高一上·江西九江·期末）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元 (1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？ (2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.问该水产养殖户会选择哪种方案？ 【答案】(1)第4年；(2)选择方案①. 【解析】(1)根据题意,求出ac,令y>0,解不等式即可; (2)分别计算两种方案的利润,进行比较即可. 【详解】解：（Ⅰ）由已知得，当时，；当时，，即，解得，， ∴. 又投资243万元，年收入共万元， ∴第年获得纯利润为， 令，即，∴， 解得，∴从第4年开始获得纯利润. （Ⅱ）方案①：年平均利润， 当，即时，取最大值36. ∴年平均利润最大时，以138万元出售该基地共获利润（万元）. 方案②：纯利润总和， 当时，纯利润总和最大，为432万元， ∴纯利润总和最大时，以30万元出售该基地共获利润（万元）， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围； (3)可以建立多个函数模型时,要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模型． 54．（21-22高一·全国·课后作业）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 /个 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①，②，③，④． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式； (3)求该商品的日销售收入（元）的最小值． 【答案】(1) (2)选②， (3)121元． 【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，代入即可得解； （2）根据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即可得解； （3）由（2）可得 分类讨论求最小值即可. 【详解】（1）由题意得，解得． （2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即． 由题表可得，， 即解得 故． （3）由（2）知 ∴ 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴当时，取得最小值，且； 当时，是单调递减的， ∴当时，取得最小值，且． 综上所述，当时，取得最小值，且． 故该商品的日销售收入的最小值为121元． 55．（21-22高二下·北京延庆·期末）已知函数． (1)设的两个零点分别为，若同号，且，求的取值范围； (2)在区间上的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式和韦达定理求解即可； （2）由二次函数开口向上，讨论对称轴与的关系即可. 【详解】（1）因为有两个零点分别为，且， 所以．                                            解得或．                                                 因为同号， 所以，即，解得． 综上或． 即的取值范围是． （2）因为二次函数的图像开口向上，对称轴为， 当，即时，， 所以，解得. 当，即时，， 所以．解得或，均舍去．                                       综上． 56．（19-20高一·浙江·期末）已知函数，其中a为实数，且． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若方程仅有一个实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数的单调减区间为，增区间；（2）且． 【解析】（1）当时，，进而可得函数的单调区间； （2）令，分别解出，由方程仅有一个实数根，列出不等式解出实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，， 则函数的单调减区间为，增区间； （2）令，当时，解得或；当时，解得； 方程仅有一个实数根，则或或， 解得且． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的单调性，考查函数与方程思想，关于分段函数的理解，需要有： 1.分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围，有不同的对应法则的函数； 2.分段函数是一个函数; 3.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集． 57．（18-19高一上·贵州贵阳·期末）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）. （1）写出奖金y关于销售利润x的关系式； （2）如果业务员小王获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【答案】(1) ;(2)22万元. 【分析】（1）根据奖励方案,可得分段函数； （2）确定,利用函数解析式,即可得到结论. 【详解】（1）∵当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励. ∴时，;时, ∴奖金y关于销售利润x的关系式; （2） ∴,解得. ∴小王的销售利润是22万元. 【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题. 58．（19-20高一下·湖北孝感·期中）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） （1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）； （2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【解析】（1）根据题意时，，求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解. （2）由（1），利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得，. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2018年的利润. （2）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 59．（18-19高一下·湖北荆州·期末）已知函数. （1）求函数在上的最小值的表达式； （2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出函数的对称轴方程，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最小值的表达式； （2）对函数分情况讨论：（i）方程在区间上有两个相等的实根；（ii）①方程在区间只有一根；（②；③.可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1），其对称轴为， 当，即时，函数在区间上单调递减，； 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ； 当时，即当时，函数在区间上单调递增，. 综上所述：； （2）（i）若方程在上有两个相等的实数根， 则，此时无解； （ii）若方程有两个不相等的实数根. ①当只有一根在内时，，即，得； ②当时，，方程化为，其根为，，满足题意； ③当时，，方程化为，其根为，，满足题意. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题考查二次函数在定区间上最值的计算，同时也考查了利用二次函数在区间上零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 60．（19-20高一上·上海浦东新·期末）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)；(2)当时，最小运输成本为696元. 【解析】(1)由题意可知，汽车的行驶时间为（小时），汽车每小时的运输成本为，从而确定全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数关系，即可. (2)由(1)可知，，根据对号函数，求解即可. 【详解】(1)因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）. 所以汽车的行驶时间为（小时） 又汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元 所以汽车每小时的运输成本为（元） 则全程运输成本 (2) 由(1)可知， 当时，函数单调递减 当时，函数单调递增 所以，当时，全程运输成本取得最小值 即最小运输成本为元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，属于中档题. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 函数应用 易错60题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）设函数，且，则（    ） A．函数在内至少有一个零点 B．函数在内至少有一个零点 C．函数在内至少有一个零点 D．函数在和内各有一个零点 4．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·上海奉贤·期末）数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列四个命题： ①函数在定义域上是奇函数； ②函数的零点有无数个； ③函数在定义域上的值域是； ④不等式解集是． 以上四个命题正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高一上·陕西渭南·期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（    ）    A．选择甲厂比较划算 B．选择乙厂比较划算 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算 D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样 9．（22-23高三上·云南德宏·期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（22-23高一上·北京朝阳·期末）某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（    ） A．2千克/小时 B．3千克/小时 C．4千克/小时 D．6千克/小时 11．（21-22高三上·北京通州·期末）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（    ） （参考数据：，） A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min 12．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，则函数的零点个数是 A． B． C． D． 13．（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（    ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 14．（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级： 声源 与声源的距离（单位：） 声强级范围 内燃列车 20 电力列车 20 高速列车 20 设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·广西·模拟预测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系（为保鲜时间，为储存温度），若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时，在常温的保鲜时间是48小时，则该食品在高温的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 16．（20-21高二下·山东青岛·期末）定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为（    ） A．1 B．3 C．2 D．2021 17．（2021高一·全国·专题练习）设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)（    ） A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa C．9×103 Pa D．9×105 Pa 18．（2021·湖南衡阳·模拟预测）“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时． A．72 B．36 C．24 D．16 19．（20-21高一下·浙江·期末）已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（    ） A．480 B．120 C．441 D．141 20．（20-21高二上·贵州黔东南·期末）已知函数的零点在区间上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（18-19高一上·黑龙江·期末）已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（    ） A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，0) D．[－1，0) 22．（19-20高一·浙江·期末）已知函数是定义域为的偶函数.当时，，若关于的方程，有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（18-19高一下·云南大理·期末）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（18-19高一下·江苏盐城·期末）若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上不存在零点 B．已知方程的解在内，则 C．若，则在上至少有一个零点 D．若在内有且只有一个零点，则 26．（23-24高一下·湖南株洲·期末）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（   ）（参考数据：） A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年； B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失； C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的； D．若年后，样本中氚元素的含量为，则. 27．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 28．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 29．（20-21高一·全国·课后作业）(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（ ）      A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3 三、填空题 30．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 31．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象关于直线对称； ③恒成立； ④函数有且只有一个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 32．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数，且时，，则的取值范围为 . 33．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若函数有两个零点，则的最小值为 . 34．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知关于x的等式恒成立，则 ． 35．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 36．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，若方程有4个解分别为，且，则 . 37．（22-23高一上·黑龙江鹤岗·期末）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得方程的一个近似解为 ．（精确到0.01） 38．（22-23高一上·辽宁大连·期中）已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 . 39．（2023·四川绵阳·一模）已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 ． 40．（21-22高一上·上海虹口·期末）若函数有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 41．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 . 42．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换. ①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为 . 43．（20-21高一上·河北张家口·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为 . 44．（20-21高二下·北京延庆·期末）已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是 . 45．（19-20高一上·河南开封·期中）已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是 . 46．（18-19高一下·上海闵行·期末）已知函数是R上的偶函数，当时，，关于x的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则 . 47．（19-20高一·浙江·期末）已知函数，若方程（其中）有四个不同实数根、、、，则的取值范围为 . 四、解答题 48．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 49．（23-24高一上·湖北武汉·期末）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 50．（23-24高一上·四川绵阳·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）． (1)求单株利润关于施用肥料的关系式； (2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 51．（22-23高二下·山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 52．（22-23高一上·安徽滁州·期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议月日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本万元经计算若年产量千件低于千件，则这千件产品成本若年产量千件不低于千件时，则这千件产品成本每千件产品售价为万元，设该企业生产的产品能全部售完． (1)写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式 (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大最大利润是多少 53．（21-22高一上·江西九江·期末）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元 (1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？ (2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.问该水产养殖户会选择哪种方案？ 54．（21-22高一·全国·课后作业）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 /个 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①，②，③，④． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式； (3)求该商品的日销售收入（元）的最小值． 55．（21-22高二下·北京延庆·期末）已知函数． (1)设的两个零点分别为，若同号，且，求的取值范围； (2)在区间上的最小值为3，求的值． 56．（19-20高一·浙江·期末）已知函数，其中a为实数，且． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若方程仅有一个实数根，求实数a的取值范围． 57．（18-19高一上·贵州贵阳·期末）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）. （1）写出奖金y关于销售利润x的关系式； （2）如果业务员小王获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 58．（19-20高一下·湖北孝感·期中）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） （1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 59．（18-19高一下·湖北荆州·期末）已知函数. （1）求函数在上的最小值的表达式； （2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围. 60．（19-20高一上·上海浦东新·期末）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$