精品解析：云南省昆明市官渡区第一中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

官渡区第一中学初三年级 2024-2025 学年上学期期中考试 数学试卷 （试卷满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共30分） 1. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. 4 C. 9 D. 6 3. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. y= 4. 已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 5. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标是（﹣1，1） B. 对称轴是直线x＝1 C. 当x>1时，y随x的增大而减小 D. 该图象与x轴有两个交点 7. 用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（　　） A. （x+3）2＝18 B. （x﹣6）2＝45 C. （x﹣3）2＝18 D. （x+6）2＝45 8. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A. 60° B. 45° C. 35° D. 30° 9. 每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（　　） A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 11. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定 13. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 15. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共8分） 16. 关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________． 17. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为______． 18. 某飞机着陆后靠惯性滑行的路程米与时间秒满足关系式，那么该飞机着陆后滑行到停止的时间为__________秒． 19. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．注意：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图所示，的三个顶点在格点上，分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转度的； （3）求（2）中，点旋转到经过的路径长． 22. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量为28.8万辆． （1）求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； （2）按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 23. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 24. 如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 25. 某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 26. 如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求的长． 27. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； （3）是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 官渡区第一中学初三年级 2024-2025 学年上学期期中考试 数学试卷 （试卷满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共30分） 1. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. 4 C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解，求代数式的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键． 根据一元二次方程解的定义将a代入一元二次方程，再用整体法求解即可． 【详解】解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线的解析式是． 故选：B． 4. 已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交d＜r；②直线l和⊙O相切d＝r；③直线l和⊙O相离d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】如图， 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d1＝3＝r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2＜3＝r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 故选D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 5. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 6. 关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标是（﹣1，1） B. 对称轴是直线x＝1 C. 当x>1时，y随x的增大而减小 D. 该图象与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式由一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质来判断． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1， ∴A选项错误，B选项正确， ∵抛物线开口向上，顶点为（1，1）， ∴抛物线与x轴无交点，D选项错误， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴x>1时，y随x增大而增大，C选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数y＝ax2+bx+c的性质，关键是将函数解析式转化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 7. 用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（　　） A. （x+3）2＝18 B. （x﹣6）2＝45 C. （x﹣3）2＝18 D. （x+6）2＝45 【答案】C 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵x2﹣6x﹣9＝0， ∴x2﹣6x＝9， ∴x2﹣6x+9＝18， ∴（x﹣3）2＝18． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 8. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A. 60° B. 45° C. 35° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可求解． 【详解】如图，连结OC， ∵， ∴∠BDC=∠AOB=×60°=30° 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 9. 每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转． 故选D． 10. 如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（　　） A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠AOC=65°，由∠AOB=30°，即可求∠BOC的度数． 【详解】∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD， ∴∠AOC＝65°， ∵∠AOB＝30° ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35° 故选B． 【点睛】此题考查旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 11. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，即可列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮传染后患流感的人数是：1+x， 第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x）， 因此可列方程，1+x+x（1+x）=121． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 12. 如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 13. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 14. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 15. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④，特殊点结合对称轴判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； 由图象，当时，，故③错误； 当时，函数有最大值，当时，， ∴， ∴，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同， ∴， ∵， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共8分） 16. 关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】k≥﹣4 【解析】 【详解】分析：根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 详解：∵关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根， ∴△=42-4×1×（-k）=16+4k≥0， 解得：k≥-4． 故答案为k≥-4． 点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 17. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，直角三角形两锐角互补及圆内接四边形对角互补，根据圆内接四边形对角互补求出，再结合直径所对圆周角是直角即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ． 18. 某飞机着陆后靠惯性滑行的路程米与时间秒满足关系式，那么该飞机着陆后滑行到停止的时间为__________秒． 【答案】60 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质求出二次函数对称轴，即可得出答案． 【详解】由题意知 当t=- = =60（秒）时，s取得最大值， 即飞机着陆后滑行到停止的时间为60秒． 故答案为60秒 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数对称轴是解题关键． 19. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．注意：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程，理解相关知识是解答关键． （1）先求出判断根的情况，再用求根公式求解； （2）先移项，再利用公因式，再利用两个因式的积为零，它们分别为零来求解． 【小问1详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【小问2详解】 解： ， ， 或， 解得，． 21. 如图所示，的三个顶点在格点上，分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转度的； （3）求（2）中，点旋转到经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示：即为所求： （2） 如图所示：，即为所求： （3）点旋转到经过的路径长为 【解析】 【分析】（1）分别作出的三个顶点关于原点成中心对称的对称点，再顺次连接即可． （2）分别作出的三个顶点绕点逆时针旋转度的点，再顺次连接即可． （3）由题意可得旋转到经过的路径长为：以为圆心，和为半径，圆心角为的扇形弧长，再由勾股定理可得，代入弧长公式即可． 【小问1详解】 解：∵的三个顶点分别为，，， ∴的三个顶点分别为，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得旋转到经过的路径长为：以为圆心，和为半径，圆心角为的扇形弧长， 结合网格和图形，由勾股定理可得， ∴， ∴点旋转到经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查关于原点中心对称，旋转作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量为28.8万辆． （1）求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； （2）按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】（1）从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率 （2）2024年该品牌新能源汽车销售量为34.56万辆 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握原始量、终止量、增长次数的关系，列一元二次方程，列算式，是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量的年平均增长率为x ，根据2021年的销售量为20万辆，2023年的销售量为28.8万辆，列方程解答； （2）根据2023年的销售量为28.8万辆，平均年增长率，列式计算． 【小问1详解】 解：设这两年新能源汽车销售量的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或者（舍去）． 答：从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率． 【小问2详解】 解：（万辆）， 答：2024年该品牌新能源汽车销售量为34.56万辆． 23. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 24. 如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，... 在和中， ，，， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质就可以证明； （2）先证出是等边三角形，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． 25. 某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）与的函数关系式为 （2）当为时，日销售利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：当为时，日销售利润最大，最大利润元． 26. 如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 27. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； （3）是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点D的坐标为 （3）存在，点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可； （3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图：连接，过点D作于点E， 设， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ， 令，则， ， ． ， ． ， 设， ， ∴， ∴当时，面积取得最大值， 此时， 的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点，使得，理由如下： 当D在上方时，如图： ∵， ∴， 令中，， 即， 解得：或， ∴； 当D在下方时，设交x轴于K，如图： ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴ ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $