精品解析：福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

福建师大附中2024－2025学年上学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：刘文清 审核：周裕燕 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 5 已知，，，则 A. B. C. D. 6. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选页符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的实数，，都有； ②对任意的实数，都有； ③． 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 12 若幂函数在上为增函数，则实数_____． 13. 二次不等式的解集为，则的值为_______. 14. 函数的单调减区间是_________． 15. 设函数，若表示不超过x的最大整数，则函数的值域是________． 16. 已知函数为奇函数，，与的图像有8个交点，分别为，则________． 四、解答题：本题共6小题，共67分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设集合 （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）求方程的解集. 19. 已知函数． （1）试判断函数在区间上单调性，并用函数单调性定义证明； （2）若，使成立，求实数的范围． 20. 某小家电配件的生产厂家生产出的小家电配件，以每件7元的价格全部售出．经市场调研，生产这类配件，每月需要投入固定成本为1万元，每生产x万件配件，还需再投入资金万元在月产量不足6万件时，（万元）；在月产量不小于6万件时，（万元）．已知月产量是7万件时，需要再投入的资金是56万元． （1）试将生产厂家生产这些小家电的月利润（万元）表示成月产量x（万件）的函数；（注：月利润＝月销售收入－固定成本－再投入成本） （2）月产量为多少万件时，这个生产厂家生产这些配件获得利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知函数为奇函数． （1）求实数k的值； （2）若对任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求实数t的取值范围． 22. 已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． （1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； （2）集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ （3）试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建师大附中2024－2025学年上学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：刘文清 审核：周裕燕 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知， 在上单调递减， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 故选：C. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由求解的取值集合得答案． 【详解】∵函数的定义域为， 则由，解得 ∴函数的定义域为 故选：D． 4. 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意首先求出的取值范围，再根据充分不必要的含义求解即可. 【详解】由题意，不妨设， 因为，且有一个正实数根和一个负实数根， 所以的图像开口向下，即， 故 对于选项ABCD，只有C选项：是的充分不必要条件. 故选：C. 5. 已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，， 因为幂函数在R上单调递增，所以， 因为指数函数在R上单调递增，所以， 即b<a<c. 故选：A. 6. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论． 【详解】的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法． 确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项． 7. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 8. 已知，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，，，， 易知函数，为增函数. 函数，与函数图象，如下图所示： 由图可知，. 又，，所以. 综上，. 故选：B 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选页符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数式和对数式的运算规则，化简各算式验证选项. 【详解】，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意实数，，都有； ②对任意的实数，都有； ③． 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】赋值法，上奇函数的性质，数形结合即可. 【详解】由题知，函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的实数，，都有； ②对任意的实数，都有； ③． 令， 所以，故A正确； 因为函数是定义在上的奇函数，必有，故B正确； 设，则， 且， 因为，对于任意的实数，都有， 所以， 所以， 所以函数在上单调递增，故C正确； 可作满足题意的图象（不唯一），如图 故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 12. 若幂函数在上为增函数，则实数_____． 【答案】4 【解析】 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求得的值. 【详解】是幂函数，所以， 解得或. 当时，，在上递增，符合题意. 当时，，在上递减，不符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 13. 二次不等式的解集为，则的值为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】由二次不等式与二次方程的关系可得，从而得解. 【详解】二次不等式的解集为， 则，且的两个根为和. 所以，解得 所以 【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题. 14. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 15. 设函数，若表示不超过x的最大整数，则函数的值域是________． 【答案】 【解析】 【分析】分离常数可得，进而结合指数函数求出的取值范围，进而结合的定义即可求解. 【详解】函数，即， 因为，所以， 则，即， 则， 又表示不超过x的最大整数， 所以函数的值域是. 故答案为：. 16. 已知函数为奇函数，，与的图像有8个交点，分别为，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得. 【详解】为奇函数， 函数关于点对称， ， 函数关于点对称， 与图象的8个交点关于点对称， ，，，， 可得， 同理可知， 则. 故答案为：16. 四、解答题：本题共6小题，共67分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设集合 （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据条件判断A、B包含关系，进而求解，注意情形. 【小问1详解】 由是的充分不必要条件，则，则 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，满足题意； 当时，，解得； 综上： 18. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）求方程的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可； （2）根据题意先求时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可. 【小问1详解】 因为函数为定义在上的偶函数，当时，， 所以任取，则，此时， 所以 【小问2详解】 当时，令， 即， 令，则，解得或， 当时，， 当时，， 根据偶函数对称性可知，当时，符合题意的解为，， 综上，原方程的解集为 19. 已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）若，使成立，求实数的范围． 【答案】（1）单调递减；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用定义法结合函数单调性即可； （2）将能成立问题转化为最值问题，结合单调性求解最值. 【小问1详解】 在区间上单调递减,证明如下： 设， 则 ∵，∴，，， ∴，∴ 所以，在区间上单调递减． 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递减， 所以，当时，取得最小值，即， 又，使成立，∴只需成立， 即，解得． 故实数范围为． 20. 某小家电配件的生产厂家生产出的小家电配件，以每件7元的价格全部售出．经市场调研，生产这类配件，每月需要投入固定成本为1万元，每生产x万件配件，还需再投入资金万元在月产量不足6万件时，（万元）；在月产量不小于6万件时，（万元）．已知月产量是7万件时，需要再投入的资金是56万元． （1）试将生产厂家生产这些小家电的月利润（万元）表示成月产量x（万件）的函数；（注：月利润＝月销售收入－固定成本－再投入成本） （2）月产量为多少万件时，这个生产厂家生产这些配件获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）月产量为3万件时，这个生产厂家生产这些配件获得的利润最大，最大利润为8万元 【解析】 【分析】（1）由求出的值，然后分和两种情况讨论，根据月利润的计算公式可得出函数的解析式； （2）分和两段分别求出函数的最大值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 因为月产量是7万件时，需要再投入的资金是56万元， 所以，解得. 所以当时，； 当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，此时（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 因为，所以当月产量为3万件时，这个生产厂家生产这些配件获得的利润最大，最大利润为8万元. 21. 已知函数为奇函数． （1）求实数k的值； （2）若对任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）求得和在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为x∈R，为奇函数，所以， 所以，，经检验，满足题意， 故. 【小问2详解】 因为任意的x2∈，存在x1∈，使成立， 所以在[t,+)上的最小值小于或等于在[1,2]的最小值， 易知＝ex﹣e﹣x在R上为增函数，所以在[t,+)上也为增函数， 所以的最小值为f(t)＝et﹣e﹣t， 令m＝|x﹣t|，当t≤1时，m＝|x﹣t|在x＝1处取小值为1﹣t，所以的最小值为e1﹣t， 所以et﹣e﹣t≤e1﹣t，即(et)2≤1+e，所以，所以； 当1＜t＜2时，m＝|x﹣t|在x＝t处取小值为0，所以的最小值为e0＝1，et﹣e﹣t≤1， 即，令k＝et，k＞0，则k2﹣k﹣1≤0，解得， 即，解得＜＝1，与t＞1矛盾，故舍去； 当t≥2时，m＝|x﹣t|在x＝2处取小值为t﹣2，所以的最小值为et﹣2，et﹣e﹣t≤et﹣2，即， 所以与t≥2矛盾，故舍去． 综上所述，t的范围为：． 下证＝ex﹣e﹣x在R上为增函数： 在上任取，则， 又当时，，，故，即， 故＝ex﹣e﹣x在R上为增函数. 22. 已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． （1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； （2）集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ （3）试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 【答案】（1）答案见解析 （2）4950 （3）充分不必要条件 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$