内蒙古赤峰市元宝山区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

元宝山区第一中学高二上学期数学期中考试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：统计、概率、空间向量、直线和圆） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最低气温与最高气温为正相关 B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 C. 最低气温低于的月份有4个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 6. 如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 方程表示的曲线是（ ） A. 轴上方的半圆 B. 轴下方的半圆 C. 轴左侧的半圆 D. 轴右侧的半圆 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 10. （多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上存在一点，使得平面 D. 若，则平面与平面不平行 11. 若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 线段的最小值为 C. 的最小值为 D. 当最小时，直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线与间的距离为______ 13. 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只． 14. 如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算） 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 18. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 19. 如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形． （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 元宝山区第一中学高二上学期数学期中考试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：统计、概率、空间向量、直线和圆） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】160000 【14题答案】 【答案】0 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），中位数. （2） 【16题答案】 【答案】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面， 以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 依意得，，，， 所以，， 因为，所以， 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 解法二：底面是正方形，， 底面，且平面，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，E为中点，， ，平面，平面， 平面，平面，， 由已知，且，平面，平面， 所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或. 【18题答案】 【答案】（1） 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【19题答案】 【答案】（1）证明：，平面，平面． 平面， 由，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，平面， 平面； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $