人教A版高中数学选修2-2：2.3 数学归纳法（9份打包）

2.3数学归纳法 周村区实验中学 申臻臻 普通高中课程标准实验教科书 数学·选修2-2（A版） 教学目标 1.了解两种归纳法：完全归纳法和不完全归纳法。 2.掌握用数学归纳法证明等式的方法和步骤。 3.掌握“归纳——猜想——证明”的方法技巧。 重难点 数学归纳法的操作和应用 问题情境一: 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d ? 完全归纳法 不完全归纳法 在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么 a1=a1=a1+0d, a2 =a1+d =a1+1d, a3 =a2+d =a1+2d, a4 =a3+d =a1+3d, …… an=? 归纳 an=a1+(n1)d 1.unknown 数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例： 费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。 问题情境二: 数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例： 费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。 欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。 问题情境二: 不完全归纳法 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法. （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难） （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） （一）归纳法: （1）完全归纳法：考察______对象，得到一般结论的推理方法 （2）不完全归纳法:考察____对象，得到一般结论的推理方法 归纳法分为___________和_____________ 优点：考查全面，结论正确; 缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查. 优点：考查对象少，得出结论快; 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确. 全体 完全归纳法 不完全归纳法 部分 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 问题情境三: 5.unknown 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题； （2）验证前一问题与后一问题有递推关系. （相当于能推倒第一块骨牌） （相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌） 问题情境三: （二）数学归纳法的框图表示 n=k+1 ① ②假设 n=k(k≥n0) （三）典例探究 类型一 用数学归纳法证明等式 例1 ：用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明： 证明： 证明中的几个注意问题 （1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定. 例:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应是多少? 方法技巧 答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5. （2）在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真） 例:如下证明对吗？ （找准起点，奠基要稳） 例:如下证明对吗？ 　右边＝ 那么，当n=k+1时，有 即n=k+1时，命题成立。 根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。 既然不对，如何改正？ （用上假设，递推才真） 证明：①当n=1时，左边＝ 　　等式成立。 ②假设n=k时，有 (3)明确变形目标（写明结论，才算完整） 变式训练：用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 注：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 类型二 归纳——猜想——证明 例2 已知数列 那么n=k+1时 左= =右 证明：① ② 【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节 变式训练： 课堂小结 2.用数学归纳法证明等式 ①找准基础，奠基要稳。 ②用上假设，递推才真。 ③写明结论，才算完整 3.归纳——猜想——证明 当堂检测 1.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为(　　) A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 2.用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)，“从k到k+1”左端增乘的代数式为__________. C 2(2k+1) 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2)，而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想an=( ) B 拓展提升 【证明】(1)当n=2时，左边= ，不等式成立. (2)假设n=k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即 则当n=k+1时， 所以当n=k+1时，不等式也成立.