5.3 一元一次方程的应用（三）行程问题（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 5.3 一元一次方程的应用（三）---行程问题 知识点 一元一次方程的应用 ★★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★★2、对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 一、相遇问题： 往往根据路程之和等于总路程列方程．S甲＋S乙＝两地距离． 二、追击问题： （1）对于同向同地不同时的问题（出发地、追及地相同，出发时间不同）S甲＝S乙先＋S乙后． （2）对于同向同时不同地的问题（两者出发地不同，但同时出发），S甲－S乙＝两出发地的距离. 三、环形跑道问题： 沿圆周运动同时同地（环形跑道问题）甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形： ①同时同地、同向而行（追及）：S快－S慢＝环形周长 ②同时同地、背向而行（相遇）：S快+S慢＝环形周长 四、火车过桥或隧道问题： 1、明确基本路程关系：在火车过桥（隧道）问题中，火车行驶的路程是桥（隧道）长与火车车身长度之和。例如，当火车完全通过一座桥时，从火车车头上桥开始，到车尾离桥结束，车尾所经过的路程就是桥长加车长。 2、不同情况的分析 ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． 3、根据等量关系列方程 ①利用速度、时间、路程关系列方程，这就需要准确理解题目中所描述的火车行驶情况，确定是火车完全通过桥（隧道）还是完全在桥（隧道）内等情况，从而确定正确的路程计算方式，进而列出方程求解． ②对于火车错车问题列方程 当两列火车错车时：●●相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘以错车时间． ●●追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间． ★★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 题型一 行程问题…… 相遇问题 解题技巧提炼 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； 1．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小狗共跑了 　 　米． 3．（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少，当两人相遇时，两车出发的时间为 　 　小时． 4．（2024•海淀区校级开学）甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发，他们计划在距A地3/5处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为 　 米/秒． 5．（2023秋•安徽月考）我国古代数学著作《九章算术》中记载以下问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？请解决上述问题． 6．（2023秋•沙坪坝区期末）甲、乙两车分别从 A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里，若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇，求甲车的速度； 7．（2023秋•硚口区月考）甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120m的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5m/s，乙的速度是3m/s． （1）经过多少时间，两人第一次相遇？ （2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？ 8．（2023春•新野县期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． （1）求甲、乙每小时各行多少千米？ （2）在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 9．（2023秋•莱芜区期末）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出发后4h两人相遇．甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地． （1）甲、乙两人的速度分别是多少？ （2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？ 题型二 行程问题…… 追击问题 解题技巧提炼 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； 1．（2023秋•南京期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（　　） A．4x﹣2＝12x B．4x+2＝12x C．4x﹣0.5＝12x D．4x+0.5＝12x 2．（2024•黑山县一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，可列方程（　　） A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 3．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过 　 　分钟后乙首次追上甲． 4．一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因为有事迟出发30min，为了赶上队伍，以6km/h的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？ 5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 6．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒． （1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？ （2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由） 7．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米． （1）乙出发多长时间后能追上甲？ （2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 题型三 行程问题…… 航行问题 解题技巧提炼 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 1．（2023•饶平县校级模拟）一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是（　　） A．18千米/时 B．15千米/时 C．12千米/时 D．20千米/时 2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回到达A地，一共用了8小时．已知此船在静水中的速度为8千米/小时，水流的速度为2千米/小时．求A、B两地之间的路程． 3．一架飞机从A城市飞往B城市，顺风需要5.5h，逆风需要6h，风速为24km/h，则A，B两城市间的距离为多少？ 4．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间的距离． 5．（2023秋•天山区校级期末）轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离． 6．（2024秋•南岗区校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 题型四 行程问题…… 环形跑道问题 解题技巧提炼 环形跑道问题： 同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长. 1．（2024•南海区开学）运动场的环形跑道长为400m，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑240m，乙平均每分钟跑280m，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到的方程是（　　） A．240x+280x＝400 B．280x﹣240x＝400 C．240x＝280x D．240x﹣280x＝400 2．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的，且甲在乙后2400m，两人同时出发，同向而行．则两人第一次相遇是在出发后（　　） A．120min B．60 min C．80min D．90min 3．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（　　） A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上 4．（2023秋•永定区期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AB边上，请问它们第2024次相遇在（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上 5．（2023秋•长兴县期末）已知甲沿周长为250米的环形跑道按逆时针方向跑步，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为5米/秒．当运动时间是50秒时，甲，乙两人第1次相遇，则甲的速度是 　 米/秒． 6．（2024•重庆开学）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是 　 米． 7．（2023•碧江区 期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米． （1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 8．（2023秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒． （1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间； （2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值． 题型五 火车过桥（隧道）问题 解题技巧提炼 不同情况的分析： ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． 1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　） A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s 2．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（　　）米． A． B．133 C．200 D．400 3．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（　　） A．190米 B．400米 C．380米 D．240米 4．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 　m． 5．（2023秋•韶关校级期末）有一火车要以每分钟600米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多5秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求两座铁桥的长分别为多少． 6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度． 小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成： 设这列火车的长度是x米，那么 （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是　 米，这段时间内火车的平均速度是　 米/秒； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是　 　米，这段时间内火车的平均速度 是　 　米/秒； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是　 ； （4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解） 题型六 火车错车问题 解题技巧提炼 当两列火车错车时： 1、相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘以错车时间． 2、追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间． 1．在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为　 　秒． 2．在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是　 　． 3．（2023•越秀区校级开学）现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 4．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米． （1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？ （2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？ 5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． （1）若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ （2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ （3）在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 题型七 方案决策问题 解题技巧提炼 方案决策问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 1．（2023春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问： （1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 2．（2023秋•播州区期末）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本定价为每本1.5元，经协商，文具店提供了两种购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案． 方案一：每本优惠售价为1.4元． 方案二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本则超过部分按定价的九折销售． 设某班购买作业本的数量为x本（x＞50）． （1）方案一所需的费用为 　 　元，方案二所需的费用为 　 　元（用含x的整式表示）； （2）购买多少本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多． 2．（2023秋•德州期末）随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量x GB． （1）张老师按第一种套餐每月需花费 　 　元，按第二种套餐每月需花费 　 　元；（用含x的代数式表示） （2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算； （3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 4．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案： 方案一：将月饼全部进行简装加工； 方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售； 方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 5．（2023秋•代县期末）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（x＞10）． （1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示） （2）试求当x取何值时，方案一和方案二的购买费用一样． （3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元． 6．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度0.5元．（注：用电度数＝功率（千瓦）×时间（小时），费用＝灯的售价+电费） 功率 使用寿命 价格 白炽灯 0.1千瓦 2000小时 3元/盏 节能灯 0.02千瓦 4000小时 35元/盏 （1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为 　 　元，一盏节能灯的费用为 　 　元；（用含x的式子表示） （2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？ （3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由． 7．（2023秋•方城县期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的90%付款． （1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． （2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． Ⅰ：若该客户按方案①购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）； Ⅱ：若该客户按方案②购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）； Ⅲ：当x＝　 　时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由） 8．（2024秋•鼓楼区校级期中）某单位在2月份组织m（m＞10）位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施： 甲旅行社给每位员工六折优惠； 乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠． （1）甲旅行社的费用为 　 元，乙旅行社的费用为 　 　元；（用含m的代数式表示） （2）若m＝15，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； （3）若该单位计划在2月份外出旅游7天，若这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出计算过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 5.3 一元一次方程的应用（三）---行程问题 知识点 一元一次方程的应用 ★★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★★2、对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 一、相遇问题： 往往根据路程之和等于总路程列方程．S甲＋S乙＝两地距离． 二、追击问题： （1）对于同向同地不同时的问题（出发地、追及地相同，出发时间不同）S甲＝S乙先＋S乙后． （2）对于同向同时不同地的问题（两者出发地不同，但同时出发），S甲－S乙＝两出发地的距离. 三、环形跑道问题： 沿圆周运动同时同地（环形跑道问题）甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形： ①同时同地、同向而行（追及）：S快－S慢＝环形周长 ②同时同地、背向而行（相遇）：S快+S慢＝环形周长 四、火车过桥或隧道问题： 1、明确基本路程关系：在火车过桥（隧道）问题中，火车行驶的路程是桥（隧道）长与火车车身长度之和。例如，当火车完全通过一座桥时，从火车车头上桥开始，到车尾离桥结束，车尾所经过的路程就是桥长加车长。 2、不同情况的分析 ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． 3、根据等量关系列方程 ①利用速度、时间、路程关系列方程，这就需要准确理解题目中所描述的火车行驶情况，确定是火车完全通过桥（隧道）还是完全在桥（隧道）内等情况，从而确定正确的路程计算方式，进而列出方程求解． ②对于火车错车问题列方程 当两列火车错车时：●●相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘以错车时间． ●●追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间． ★★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 题型一 行程问题…… 相遇问题 解题技巧提炼 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； 1．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式． 【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为： 1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键． 2．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小狗共跑了 　 　米． 【分析】根据甲的路程+乙的路程＝400求得甲乙两人相遇所用的时间，那么可得小狗跑的时间，乘以速度即为小狗跑的路程． 【解答】解：设甲乙两人相遇需要的时间为x秒． 2x+3x＝400， 解得x＝80， ∴小狗跑了80﹣6＝74秒， ∴小狗跑的路程为74×6＝444米， 故答案为444． 【点评】考查一元一次方程的应用，得到小狗跑步的时间是解决本题的突破点． 3．（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少，当两人相遇时，两车出发的时间为 　 　小时． 【分析】由题意可求得乙车的速度，设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【解答】解：由题意得：（千米/时）， 设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时， 由题意可得：（90+80）x＝340， 解得：x＝2． 答：两车出发的时间为2小时， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 4．（2024•海淀区校级开学）甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发，他们计划在距A地3/5处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为 　 米/秒． 【分析】设甲的速度为x米/秒，利用乙比计划多走的路程＝甲的速度×15×（1），可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲的速度为x米/秒， 根据题意得：15x•（1）＝36， 解得：x＝6， ∴甲的速度为6米/秒． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•安徽月考）我国古代数学著作《九章算术》中记载以下问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？请解决上述问题． 【分析】把总路程看作“1”，可得野鸭，大雁每天的速度，即可列方程解得答案． 【解答】解：设经过x天相遇，根据题意得：=1， 解得：x=， 答：经过 天相遇． 【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间=总路程，关键是由题目所给信息先分别求出二者的速度，速度=路程÷时间． 6．（2023秋•沙坪坝区期末）甲、乙两车分别从 A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里，若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇，求甲车的速度； 【分析】设甲车的速度为x公里/小时，则乙车的速度为1.5x公里/小时，根据“甲车行驶的路程+乙车行驶的路程＝A、B两地的距离”列出方程，求解即可； 【解答】解：设甲车的速度为x公里/小时，则乙车的速度为1.5x公里/小时， 根据题意得：x+2x+2×1.5x＝180， 解得：x＝30， ∴甲车的速度是30公里/小时； 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找准等量关系并列出方程是解题关键． 7．（2023秋•硚口区月考）甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120m的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5m/s，乙的速度是3m/s． （1）经过多少时间，两人第一次相遇？ （2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？ 【分析】（1）根据“两人第一次相遇时，两个人的路程和为240米”列方程求解； （2）先分别求出两个人高一来回所需的时间，再求第一次在端点相遇时的时间，再求解． 【解答】解：（1）设经过x秒，两人第一次相遇， 则：5x+3x＝120×2， 解得：x＝30， 答：经过30秒，两人第一次相遇； （2）甲经过240÷5＝48秒跑一个来回， 乙经过240÷3＝80秒跑一个来回， 48和80的最小公倍数为240， 240×5＝1200（米）， 答：两人第一次在端点相遇时，甲跑了1200米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 8．（2023春•新野县期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． （1）求甲、乙每小时各行多少千米？ （2）在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程＝速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度＝3千米，3千米﹣30分钟×甲的速度＝（3千米﹣30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算； （2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解． 【解答】解：（1）设甲的速度是x千米/分钟，乙的速度是千米/分钟，由题意得： 3﹣30x＝（3﹣30）×2， 解得x， ， 千米/分钟＝4千米/小时， 千米/分钟＝5千米/小时． 答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米； （2）相遇前：（3﹣1.5）÷（） ＝1.5 ＝10（分钟）， 相遇后：（3+1.5）÷（） ＝4.5 ＝30（分钟）． 故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立一元一次方程的模型． 9．（2023秋•莱芜区期末）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出发后4h两人相遇．甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地． （1）甲、乙两人的速度分别是多少？ （2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？ 【分析】（1）设甲的速度为x km/h，则乙的速度为（x﹣30）km/h．根据出发后4h两人相遇，相遇后乙再经1h到达A地，列方程解答； （2）设经过t h两人相距50km．分两种情况：相遇前和相遇后列方程解答即可． 【解答】解：（1）设甲的速度为x km/h，则乙的速度为（x﹣30）km/h． 根据题意，得4x+4（x﹣30）＝（4+1）x， 解得x＝40，则x﹣30＝10， 甲的速度是40km/h，乙的速度是10km/h． （2）设经过t h两人相距50km． ①相遇前相距50km时，可得40t+10t+50＝5×40， 解得t＝3； ②相遇后相距50km时，可得40t+10t＝5×40+50， 解得t＝5． 答：经过3h或5h两人相距50km． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 题型二 行程问题…… 追击问题 解题技巧提炼 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； 1．（2023秋•南京期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（　　） A．4x﹣2＝12x B．4x+2＝12x C．4x﹣0.5＝12x D．4x+0.5＝12x 【分析】根据“队伍走的路程＝通讯员走的路程”，列方程求解． 【解答】解：设通信员用多少小时可以追上队伍， 依题意可得：4x+2＝12x． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键． 2．（2024•黑山县一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，可列方程（　　） A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【分析】设快马x天可追上慢马，根据“路程＝速度×时间”关系，即可列出关于x的一元一次方程 【解答】解：设快马x天可追上慢马，由题意得， 240x＝150（x+12）， 故选：C． 【点评】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过 　 　分钟后乙首次追上甲． 【分析】设经过x分钟后乙首次追上甲，根据两人所行的路程差为100米，列出方程解答即可． 【解答】解：设经过x分钟后乙首次追上甲， 由题意得135x﹣115x＝100， 解得：x＝5． 所以经过5分钟后乙首次追上甲． 故答案为：5． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 4．一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因为有事迟出发30min，为了赶上队伍，以6km/h的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？ 【分析】首先根据题意，设该生用x小时追上了队伍，然后根据：学生甲和队伍的速度之差×x＝队伍先行的路程，列出方程，求出该生用多少时间追上了队伍即可． 【解答】解：设该生用x小时追上了队伍， 则（6﹣4）x＝4 所以2x＝2 解得x＝1 答：该生用1小时追上了队伍． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及行程问题中路程、速度、时间的关系，仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系是解答此类问题的关键． 5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 【分析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解； （2）根据题意，先求出小明此时已经行走的路程，然后求解即可． 【解答】解：（1）先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了（x+5）分钟， 由题意得：80（x+5）＝180x， 解得：x＝4， ∵180×4＝720（米）＜1000米， 所以，小明爸爸追上小明用了4分钟． （2）小明此时已经行走的路程为：180×4＝720米， ∴追上小明时，距离学校的距离为：1000﹣720＝280米． 【点评】本题考查一元一次方程的应用问题，关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解． 6．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒． （1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？ （2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由） 【分析】（1）设小亮经过x秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程即可求解； （2）设小亮经过y秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程可求解y值，即可求解追上时两人跑过的路程，进而可求解． 【解答】解：（1）设小亮经过x秒追上小明， 依题意得6x+6×3＝7.5x， 解得x＝12， 答：若小明先跑3秒，小亮经过12秒追上小明； （2）若小明先跑4秒，设小亮经过y秒追上小明， 则6y+6×4＝7.5y， 解得y＝16（秒）， ∴7.5y＝7.5×16＝120m＞100m， 故小亮不能追上小明． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 7．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米． （1）乙出发多长时间后能追上甲？ （2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 【分析】（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程＝速度×时间，结合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早出发1小时，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时， 依题意得：40x＝15（x+1）， 解得：x． 答：乙出发小时后能追上甲． （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米， 依题意得：1， 解得：y＝10． 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型三 行程问题…… 航行问题 解题技巧提炼 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 1．（2023•饶平县校级模拟）一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是（　　） A．18千米/时 B．15千米/时 C．12千米/时 D．20千米/时 【分析】本题求的是速度，时间比较明确，那么一定是根据路程来列等量关系．本题的等量关系为：逆水速度×逆水时间＝顺水速度×顺水时间． 【解答】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，则3（x﹣3）＝2（x+3） 解得：x＝15， 故选：B． 【点评】逆水速度＝静水速度﹣水流速度；顺水速度＝静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容． 2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回到达A地，一共用了8小时．已知此船在静水中的速度为8千米/小时，水流的速度为2千米/小时．求A、B两地之间的路程． 【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据时间＝路程÷速度结合该船往返共用了8小时，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设A、B两地之间的路程为x千米， 依题意，得：8， 解得：x＝30． 答：A、B两地之间的路程为30千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．一架飞机从A城市飞往B城市，顺风需要5.5h，逆风需要6h，风速为24km/h，则A，B两城市间的距离为多少？ 【分析】设A，B两城市间的距离为x km，利用速度＝路程÷时间，结合飞机的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设A，B两城市间的距离为x km， 依题意得：2424， 解得：x＝3168． 答：A，B两城市间的距离为3168km． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间的距离． 【分析】根据“一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中”可得顺水速度为20+4＝24（千米/时），逆水速度为20﹣4＝16（千米/时），设甲、乙两码头之间的距离为x千米，根据顺水从甲到乙的时间+逆水从乙到甲的时间＝12.5列出方程，求解即可． 【解答】解：∵一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中， ∴顺水速度为20+4＝24（千米/时），逆水速度为20﹣4＝16（千米/时）， 设甲、乙两码头之间的距离为x千米， 根据题意得：， 解得：x＝120， ∴甲、乙两码头之间的距离为120千米． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找出题目中的等量关系列出方程是解题关键． 5．（2023秋•天山区校级期末）轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离． 【分析】根据所用的总时间可得相应的等量关系为：顺流全程的时间+逆流全程的时间＝5，把相关数值代入即可． 【解答】解：设甲、乙两码头的距离xkm， ∴5， ∴x＝48， 答：甲、乙两码头的距离48km 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 6．（2024秋•南岗区校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【分析】（1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为x km/h，进而列方程求解即可； （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）设船在静水中的速度为x km/h，依题意得： 2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得x＝27， ∴船在静水中的平均速度为27km/h， 答：船在静水中的平均速度为27km/h； （2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h， ∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km）， ∴甲乙两码头之间的距离60km． 答：甲乙两码头之间的距离60km． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． 题型四 行程问题…… 环形跑道问题 解题技巧提炼 环形跑道问题： 同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长. 1．（2024•南海区开学）运动场的环形跑道长为400m，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑240m，乙平均每分钟跑280m，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到的方程是（　　） A．240x+280x＝400 B．280x﹣240x＝400 C．240x＝280x D．240x﹣280x＝400 【分析】设两人同时从同一地点同向而行，经过x分钟两人才能第一次相遇，根据行驶的路程差为400米列出方程即可． 【解答】解：由题意得：280x﹣240x＝400． 故选：B． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 2．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的，且甲在乙后2400m，两人同时出发，同向而行．则两人第一次相遇是在出发后（　　） A．120min B．60 min C．80min D．90min 【分析】设两人第一次相遇是在出发后xmin，利用二人的速度之差×第一次相遇所需时间＝二者之间的距离，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设两人第一次相遇是在出发后xmin， 依题意得：（8080）x＝4000﹣2400， 解得：x＝60． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（　　） A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上 【分析】首先求得乙追上甲所用的时间，然后求得甲所走的路程，从而确定被追上的位置． 【解答】解：设乙第一次追上甲需要x分钟，根据题意得：（71﹣65）x＝60， 解得：x＝10， 故甲走的路程为650米， ∵650÷90＝7…20， ∴甲此时在AB边上．或者按照乙来考虑，乙走的路程为710米， 710÷90＝7...80，也说明此时乙在AB边上， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求得乙追上甲所用的时间，难度不大． 4．（2023秋•永定区期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AB边上，请问它们第2024次相遇在（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上 【分析】设甲的速度为v，正方向ABCD的边长为a，甲、乙第2024次相遇的时间为t，则乙的度数为3v，利用路程＝速度×时间，可列出关于t的一元一次方程（v，a均当为常数），解之可求出t的值，利用甲走的路程＝甲的速度×甲走的时间，可求出甲走的路程，结合a＝505×4a+3aa，即可得出它们第2024次相遇在AD边上． 【解答】解：设甲的速度为v，正方向ABCD的边长为a，甲、乙第2024次相遇的时间为t，则乙的度数为3v， 根据题意得：vt+3vt＝2a+2023×4a， 解得：t， ∴它们第2024次相遇时甲走的路程为vt＝v•a， ∵a＝505×4a+3aa， ∴它们第2024次相遇在AD边上． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•长兴县期末）已知甲沿周长为250米的环形跑道按逆时针方向跑步，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为5米/秒．当运动时间是50秒时，甲，乙两人第1次相遇，则甲的速度是 　 米/秒． 【分析】设甲的速度是x米/秒，分乙的速度大于甲的速度及甲的速度大于乙的速度两种情况考虑，利用路程＝二者的速度之差×运动时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲的速度是x米/秒． 当乙的速度大于甲的速度时，（5﹣x）×50＝100， 解得：x＝3； 当甲的速度大于乙的速度时，（x﹣5）×50＝250﹣100， 解得：x＝8． ∴甲的速度是3米/秒或8米/秒． 故答案为：3米/秒或8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（2024•重庆开学）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是 　 米． 【分析】根据两次相遇两人的路程之和间的关系，可得出第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍，设这个圆形跑道的周长是x米，利用第二次相遇两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵第一次相遇，两人的路程之和为半个圆形跑道的周长，第二次相遇，两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长， ∴第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍． 设这个圆形跑道的周长是x米， 根据题意得：80×3+（x﹣55）x， 解得：x＝370， ∴这个圆形跑道的周长是370米． 故答案为：370． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2023•碧江区 期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米． （1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【分析】（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据两人行走的总路程为（400﹣8）或8米，可得出方程，解出即可； （2）设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据甲比乙多走（400﹣8）米，可得出方程，解出即可． 【解答】解：（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得： 8x+6x＝400﹣8， 解得：x＝28； 或：8x+6x＝8， 解得：x（不符合现实，舍去）， 答：经过28秒，两人首次相遇； （2）设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得： 8y﹣6y＝400﹣8， 解得：y＝196． 答：经过196秒后两人首次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道问题，解答本题的关键是仔细审题，理解每种情况下两人所走路程之间的关系． 8．（2023秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒． （1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间； （2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值． 【分析】（1）根据时间＝路程差÷速度差，列出算式计算即可求解； （2）分情况讨论①当a＞3时和当a＜3时，列出方程计算即可求解． 【解答】（1）设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为x秒， 根据题意，得：3x﹣x＝200， 解这个方程，得：x＝100． 答：小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间100秒． （2）①当a＞3时， 根据题意，得：80a﹣80×3＝100， 解得：a＝4.25． ②当a＜3时， 根据题意，得：80×3﹣80a＝200， 解得：a＝0.5． 答：a的值为0.5或者4.25． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题，找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 题型五 火车过桥（隧道）问题 解题技巧提炼 不同情况的分析： ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． 1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　） A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s 【分析】设列车的速度为x m/s，由题意：一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设列车的速度为x m/s， 由题意得：64x＝1000+280， 解得：x＝20， 即列车的速度为20m/s， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 2．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（　　）米． A． B．133 C．200 D．400 【分析】设火车的长为x米，根据经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，灯光照在火车上的时间是10秒和火车的速度不变，列出方程求解即可． 【解答】解：设火车的长为x米，由题意得： ， 解得：x＝200． 答：这列火车的长度是200米． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（　　） A．190米 B．400米 C．380米 D．240米 【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：米/秒，或者是米/秒，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【解答】解：设这列火车的长为x米，根据题意得： ， 解得：x＝400． 即：这列火车长为400米． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，表示出火车的速度． 4．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 　m． 【分析】设这列火车的长度为x m，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这列火车的长度为x m， 根据题意得：， 解得：x＝248， ∴这列火车的长度为248m． 故答案为：248． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•韶关校级期末）有一火车要以每分钟600米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多5秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求两座铁桥的长分别为多少． 【分析】设第一座铁桥的长为x米，则第二座铁桥的长为（2x﹣50）米，利用时间＝路程÷速度，结合过第二座铁桥比过第一座铁桥多5秒时间，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出第一座铁桥的长，再将其代入（2x﹣50）中，即可求出第二座铁桥的长． 【解答】解：设第一座铁桥的长为x米，则第二座铁桥的长为（2x﹣50）米， 根据题意得：， 解得：x＝100， ∴2x﹣50＝2×100﹣50＝150． 答：第一座铁桥的长为100米，第二座铁桥的长为150米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度． 小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成： 设这列火车的长度是x米，那么 （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是　 米，这段时间内火车的平均速度是　 米/秒； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是　 　米，这段时间内火车的平均速度 是　 　米/秒； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是　 ； （4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解） 【分析】（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）上述问题中火车的平均速度不发生变化； （4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为xm， 这段时间内火车的平均速度m/s． 故答案为：x，； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）m， 这段时间内火车的平均速度为m/s． 故答案为：（x+300）；； （3）速度没有发生变化，即火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等． 故答案为：相等； （4）根据题意得：， 解得：x＝300． 答：这列火车的长度300m． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题注意理解“完全通过”的含义，完全通过：火车所走的路程＝隧道长度+火车长度． 题型六 火车错车问题 解题技巧提炼 当两列火车错车时： 1、相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘以错车时间． 2、追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间． 1．在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为　 　秒． 【分析】若设两列车错车的时间为x秒，经分析可知：两列车错车即两辆火车一共合走了两辆火车的总车长． 【解答】解：设两列车错车的时间为x秒， 则有（50+40）x＝200+160， 解得：x＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的难点在于找到等量关系：两列车错车即两辆火车一共合走了两辆火车的总车长． 2．在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是　 　． 【分析】可设B车的速度是xm/秒，则A车的速度是（x+5）m/秒，根据等量关系：A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，列出方程求解即可． 【解答】解：设B车的速度是xm/秒，则A车的速度是（x+5）m/秒，依题意有 1.7（x+x+5）＝180+160， 解得x＝97.5， x+5＝102.5． 答：A、B两车的速度分别是102.5m/秒、97.5m/秒． 故答案为：102.5m/秒、97.5m/秒． 【点评】考查了一元一次方程的应用中的行程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（2023•越秀区校级开学）现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 【分析】设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒，先求出快、慢车的车长，再根据两车的路程之和＝两车的车长之和列方程求解即可． 【解答】解：设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒， 由题意知，快车长为：（20﹣12）×15＝120（米）， 慢车长为：（20﹣12）×9＝72（米）， ∴20x+12x＝120+72， 解得x＝6， 答：从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是求出快、慢车的车长． 4．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米． （1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？ （2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？ 【分析】（1）设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据“两列车相向行驶，从相遇到全部错开需9s”列出方程即可； （2）同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，那么甲车比乙车多行驶（144+180）m，甲车比乙车每秒多行4m，根据时间＝路程÷速度即可求解． 【解答】解：（1）设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据题意得： 9（x+x+4）＝144+180， 解得：x＝16， ∴x+4＝20， 答：甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m； （2）同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要的时间： （144+180）÷4＝81（秒）， 答：需要81秒． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程． 5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． （1）若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ （2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ （3）在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 【分析】（1）设甲车的速度为x米/秒，乙车的速度为y米/秒，由题意得等量关系：①甲车速度﹣乙车速度＝4米；②甲车9秒行驶的路程+乙车9秒行驶的路程＝160+200，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设需要a秒，由题意得：甲车a秒的路程﹣乙车a秒的路程＝160+200，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得等量关系：甲车与乙车速度差乘以b秒的路程＝乙车100秒的路程﹣乙车车身长，根据等量关系列出方程，再解即可． 【解答】解：（1）设甲车的速度为米/秒，乙车的速度为（x﹣4）米/秒，由题意得： 9x+ 解得：2 ∴乙车的速度为：22﹣4=18（米/秒） 答：甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； （2）设需要a秒，由题意得： 4a＝160+200， 解得：a＝90， 答：需要90秒； （3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得： 4b＝18×100﹣200， 解得：b＝400， 答：经过400秒甲车车头追上乙车车尾． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 题型七 方案决策问题 解题技巧提炼 方案决策问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 1．（2023春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问： （1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【分析】（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是（45x+15）人，根据“若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量，再将其代入（45x+15）中可求出这批学生的人数； （2）利用总租金＝每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及60座客车所需总租金，比较后即可得出租用4辆60座客车合算． 【解答】解：（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是（45x+15）人， 依题意得：45x+15＝60（x﹣1）， 解得：x＝5， ∴45x+15＝45×5+15＝240． 答：这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车． （2）租用45座客车所需费用为300×（5+1）＝1800（元）， 租用60座客车所需费用为400×（5﹣1）＝1600（元）． ∵1800＞1600， ∴租用4辆60座客车合算． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 2．（2023秋•播州区期末）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本定价为每本1.5元，经协商，文具店提供了两种购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案． 方案一：每本优惠售价为1.4元． 方案二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本则超过部分按定价的九折销售． 设某班购买作业本的数量为x本（x＞50）． （1）方案一所需的费用为 　 　元，方案二所需的费用为 　 　元（用含x的整式表示）； （2）购买多少本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多． 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合文具店给出的两种优惠方案，即可用含x的代数式分别表示按方案一与方案二购买各需费用； （2）根据方案一和方案二所需费用一样多列方程可解答． 【解答】解：（1）根据题意得：按方案一购买需付款1.4x元； 按方案二购买需付款50×1.5+1.5×0.9（x﹣50）＝（1.35x+7.5）（元）； 故答案为：1.4x，（1.35x+7.5）； （2）根据题意得：1.4x＝1.35x+7.5， ∴x＝150． 答：购买150本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多． 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式分别表示按方案一与方案二购买各需付款金额；（2）确定等量关系列方程． 3．（2023秋•德州期末）随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量x GB． （1）张老师按第一种套餐每月需花费 　 　元，按第二种套餐每月需花费 　 　元；（用含x的代数式表示） （2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算； （3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【分析】（1）按第一种套餐，应由月租费加流量费计算花费的钱数，为每月（50+0.4x），按第二种套餐，只有流量费，为每月0.6x元，于是得到问题的答案； （2）分别计算出当x＝200时，50+0.4x的值及0.6x的值，再将所求得的结果比较大小，即得到问题的答案； （3）若两种套餐花费一样多，则50+0.4x＝0.6x，解方程求出x的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得，按第一种套餐每月（50+0.4x）元，按第二种套餐每月0.6x元， 故答案为：（50+0.4），0.6． （2）当x＝200时，50+0.4x＝50+0.4×200＝130，0.6x＝0.6×200＝120， ∴按第一种套餐需要130元，按第二种套餐需要120元， 120元＜130元， 答：选择第二种套餐比较合算． （3）根据题意得50+0.4x＝0.6x， 解得x＝250， 答：张老师每月用250GB流量时，两种套餐花费一样多． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示选择每种套餐分别花费的钱数是解题的关键． 4．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案： 方案一：将月饼全部进行简装加工； 方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售； 方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 【分析】分别求出三种方案的获利，再比较即可． 【解答】解：方案三获利最多，理由如下： 方案一获利为：35000×20＝700000（元）， 方案二：精包装月饼为：0.6×15＝9（吨），在市场上直接销售的月饼为：20﹣9＝11（吨）， 获利为：9×75000+10000×11＝675000+110000＝785000（元）， 方案三：设x吨月饼进行精包装加工，（20﹣x）吨月饼进行简装加工， 由题意得：15， 解得：x＝2.4， 获利为：75000×2.4+35000×（20﹣2.4）＝796000（元）， ∵700000＜785000＜796000， ∴方案三获利最多． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•代县期末）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（x＞10）． （1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示） （2）试求当x取何值时，方案一和方案二的购买费用一样． （3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元． 【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）构建方程求解即可； （3）将x＝40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算． 【解答】解：（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元）， （800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）； 答：按方案一、方案二购买，分别需付款（200x+6000）元和（180x+7200）元； （2）当200x+6000＝180x+7200， 解得x＝60． 答：当x为60时，方案一和方案二的购买费用一样； （3）当x＝40时，按方案一买10台洗衣机，方案二买30电磁炉，比较省钱， 需付款8000+180×30＝13400元． 【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． 6．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度0.5元．（注：用电度数＝功率（千瓦）×时间（小时），费用＝灯的售价+电费） 功率 使用寿命 价格 白炽灯 0.1千瓦 2000小时 3元/盏 节能灯 0.02千瓦 4000小时 35元/盏 （1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为 　 　元，一盏节能灯的费用为 　 　元；（用含x的式子表示） （2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？ （3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由． 【分析】（1）由功率乘以时间，再乘以单价，加上灯的价格分别列式可得答案； （2）由费用相等建立方程，再解方程可得答案； （3）分别计算当x＝4000时，白炽灯的费用与节能灯的费用，再比较即可． 【解答】解：（1）照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为0.1×0.5x+3＝（0.05x+3）元， 一盏节能灯的费用为0.02×0.5x+35＝（0.01x+35）元； 故答案为：（0.05x+3），（0.01x+35） （2）依题意，得0.05x+3＝0.01x+35， 解得x＝800． 答：照明800小时时，使用这两种灯的费用相等； （3）购买节能灯省钱； 理由：当x＝4000时， 白炽灯的费用为4000×0.1×0.5+3×2＝206（元）， 节能灯的费用为4000×0.01+35＝75（元）， 所以购买节能灯省钱． 【点评】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式与列方程是解本题的关键． 7．（2023秋•方城县期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的90%付款． （1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． （2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． Ⅰ：若该客户按方案①购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）； Ⅱ：若该客户按方案②购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）； Ⅲ：当x＝　 　时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由） 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两种优惠方案可分别求出按两种优惠方案购买所需费用，比较后即可得出结论； （2）Ⅰ：利用总价＝单价×数量，结合优惠方案①，可用含x的代数式表示出按方案①购买所需费用； Ⅱ：利用总价＝单价×数量，结合优惠方案②，可用含x的代数式表示出按方案②购买所需费用； Ⅲ：根据两种优惠方案所付的钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）按优惠方案①所需费用为200×20+40×（30﹣20）＝4400（元）； 按优惠方案②所需费用为（200×20+40×30）×90%＝4680（元）． ∵4400＜4680， ∴按优惠方案①购买较为合算． （2）Ⅰ：若该客户按方案①购买，需付款200×20+40（x﹣20）＝（40x+3200）（元）． 故答案为：（40x+3200）． Ⅱ：若该客户按方案②购买，需付款（200×20+40x）×90%＝（36x+3600）（元）． 故答案为：（36x+3600）． Ⅲ：依题意得：40x+3200＝36x+3600， 解得：x＝100， ∴当x＝100时，两种优惠方案所付的钱数相同． 故答案为：100． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）ⅠⅡ根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；Ⅲ找准等量关系，正确列出一元一次方程． 8．（2024秋•鼓楼区校级期中）某单位在2月份组织m（m＞10）位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施： 甲旅行社给每位员工六折优惠； 乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠． （1）甲旅行社的费用为 　 元，乙旅行社的费用为 　 　元；（用含m的代数式表示） （2）若m＝15，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； （3）若该单位计划在2月份外出旅游7天，若这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出计算过程） 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合甲、乙两家旅行社给出的优惠措施，即可用含m的代数式表示出选择甲、乙两家旅行社所需费用； （2）代入m＝15，求出选择甲、乙两家旅行社所需费用，比较后即可得出结论； （3）设出发那天的日期为n，则另外六天的日期分别为n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6，根据这七天的日期之和为63的倍数，可列出关于n的一元一次方程，解之可得出n的值，结合2月有28或29天，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：甲旅行社的费用为3000×0.6m＝1800m（元）； 乙旅行社的费用为3000×0.7（m﹣1）＝（2100m﹣2100）（元）． 故答案为：1800m；（2100m﹣2100）； （2）该单位选择甲旅行社比较优惠，理由如下： 当m＝15人时，1800m＝1800×15＝27000； 2100m﹣2100＝2100×15﹣2100＝29400． ∵27000＜29400， ∴该单位选择甲旅行社比较优惠； （3）设出发那天的日期为n，则另外六天的日期分别为n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6， 根据题意得：n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6＝63a， 解得：n9a﹣3． 当a＝1时，n＝9a﹣3＝9×1﹣3＝6； 当a＝2时，n＝9a﹣3＝9×2﹣3＝15； 当a＝3时，n＝9a﹣3＝9×3﹣3＝24，n+6＝24+6＝30（不符合题意，舍去）． 答：他们可能于2月6号或15号出发． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出选择甲、乙两家旅行社所需费用；（2）代入m＝15，求出选择甲、乙两家旅行社所需费用；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$