专题 一元一次方程中的新定义问题（35题提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 专题 一元一次方程中的新定义问题 1、 选择题 1．已知a、b为有理数，现规定一种新运算“※”，满足a※b＝3b﹣ab，若x※2＝2，则x的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D． 2．（2023春•南召县期中）数学小组定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝a+b+ab﹣1，例如：2⊗3＝2+3+2×3﹣1＝10．如果2⊗x＝5，则x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 3．规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（　　） A． B． C． D．﹣1 4．（2023秋•拱墅区期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023•淄博开学）用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．对于有理数a，b，c，d规定一种新运算：．如，那么当时，x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 7．（2023秋•随县期末）规定一种新运算：a⊗b＝a2﹣2b，若2⊗[1⊗（﹣x）]＝6，则x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 8．（2023秋•巴南区期末）若定义一种新运算m♥n，例如；1♥2＝1﹣2＝﹣1；4♥3＝4+3﹣2＝5， 下列说法： ①﹣7♥9＝﹣16； ②若1♥（2x﹣3）＝2，则x＝1或3.5； ③若﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，则x＝±1或x＝±3； ④若关于x的方程﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）与（m为常数）有相同的解，则m＝﹣3或1． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2、 选择题 9．（2024•宛城区校级开学）对于任意自然数a，b，如果有a*b＝ab+a+b，已知x*（3*4）＝119，则x＝　 　． 10．（2023秋•耒阳市校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+b．如：1⊕5＝2×1+5＝7．则方程x⊕4＝0的解是 　 ． 11．（2023秋•印江县期末）规定一种运算“*”：，则方程1*x＝x*2的解为 　 　． 12．（2023秋•长丰县期末）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共生数对”，则x＝　 ． 13．（2023秋•汾阳市期末）现定义一种新运算，对于任意有理数a，b，c，d满足ad﹣bc，若对于含未知数x的式子满足，则x＝　 　． 14．（2024•灞桥区校级一模）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 　 ． 15．（2023春•祁东县校级期中）定义一种新运算：a☆b，例如：（﹣2）☆1＝﹣2+2×1＝0，3☆（﹣1）＝3﹣2×（﹣1）＝5．若（﹣2）☆b＝16，则b的值是 　 ． 16．（2023秋•西城区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc．例如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2． （1）有理数（﹣3，2）★（﹣2，3）＝　 ； （2）当满足等式（2x﹣1，﹣3）★（x+k，k）＝5+2k的x是正整数时，整数k的值是 　 　． 三、 解答题 17．（2024•仓山区校级开学）A、B表示两个数，A*B＝（A+2B）×B，如5*4＝（5+2×4）×4＝52． （1）则1*（2*1）＝　 　． （2）如果x*（2*1）＝64，求x的值． 18．（2023秋•新宾县期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab﹣b．如：1*3＝1×32+2×1×3﹣3＝12． （1）求（﹣2）*4的值； （2）若（x﹣1）*3＝12，求x的值． 19．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3＝18． （1）求（﹣2）△3的值； （2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值． 20．（2023秋•龙马潭区月考）十八世纪最杰出的瑞士数学家欧拉，最先把关于x的多项式用符号“f（x）”表示，如果f（x）＝﹣2x﹣5．例：当x＝0时，f（0）＝﹣2×0﹣5＝﹣5． （1）当x＝﹣2时，求f（x）的值． （2）当|f（x）|＝3时，求x的值． 21．（2023秋•万年县校级月考）定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝ab﹣a+b．例如：3⊕1＝3×1﹣3+1＝1，（2a）⊕2＝（2a）•2﹣2a+2＝2a+2． （1）计算4⊕（﹣2）的值； （2）已知（2m）⊕3＝2⊕m，求m的值． 22．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3． （1）计算5※6值为 　 ． （2）若（2m）※3＝2※m，求m的值． （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 23．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与 （c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad． 例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝　 　． （2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值． 24．（2023秋•库车市校级期末）规定的一种新运算“*”：a*b＝a2+2ab，例如：3*2＝32+2×3×2＝21． （1）试求2*（﹣1）的值； （2）若（﹣3）*x＝3，求x的值； （3）若（﹣5）*x等于﹣5x+5，求x的值． 25．（2023秋•东海县月考）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为ad﹣bc．例如：5×2﹣1×3＝7． （1）计算的值； （2）已知6，求x的值． 26．（2023春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值． （2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值． 27．现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： （1）求3⊕（﹣1）的值； （2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕]的值； （3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a⊕b＝ab+2a，当a＜b时，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x的值． 28．（2024春•淅川县月考）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）判断方程5x＝﹣8 　 　（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； （2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． （3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式m﹣n的值． 29．（2023秋•梁园区校级月考）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）若方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　； （2）写出3x+5＝0的“反对方程”：　 ； （3）若关于x的方程﹣4x+m+1＝0与方程5x﹣3n﹣2＝0互为“反对方程”，求m，n的值． 30．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”． （1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 ； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值； （3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值． 31．（2023秋•雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝　 　； （2）若关于x的方程xn﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0），求n的值； （3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2（c+3）的值． 32．（2023秋•于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程2x＝4 　 　差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝　 　． （4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9（mn+n）2的值． 33．（2023秋•九龙坡区期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程αx+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方程”． （1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由； （2）若无论k取任何有理数，关于x的方程b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值． 34．（2023春•石狮市校级月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，则m＝　 　； 若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则n＝　 　． （2）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 35．（2023秋•鲤城区校级期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|； 当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|． （1）当a＝4，b＝﹣2时，求a⊙b的值． （2）已知x＞y＞0且为整数，（x﹣y）⊙（x+y﹣1）＝5，请用含x的代数式表示y． （3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，直接写出a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 专题 一元一次方程中的新定义问题 1、 选择题 1．已知a、b为有理数，现规定一种新运算“※”，满足a※b＝3b﹣ab，若x※2＝2，则x的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D． 【分析】根据定义的新运算可得：3×2﹣2x＝2，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵x※2＝2， ∴3×2﹣2x＝2， 6﹣2x＝2， ﹣2x＝2﹣6， ﹣2x＝﹣4， x＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 2．（2023春•南召县期中）数学小组定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝a+b+ab﹣1，例如：2⊗3＝2+3+2×3﹣1＝10．如果2⊗x＝5，则x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 【分析】由定义可得2+x+2x﹣1＝5，解出x即可． 【解答】解：∵a⊗b＝a+b+ab﹣1， ∴2⊗x＝2+x+2x﹣1＝5， ∴3x+1＝5， 解得x， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键． 3．规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（　　） A． B． C． D．﹣1 【分析】根据新运算得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【解答】解：（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x， （﹣3）2+2×（﹣3）×2x＝﹣3﹣2x， 9﹣12x＝﹣3﹣2x， ﹣12x+2x＝﹣3﹣9， ﹣10x＝﹣12， x， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 4．（2023秋•拱墅区期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据运算定义进行列式、求解． 【解答】解：由题意得， 2（x﹣1）﹣2+（x﹣1）＝2（x﹣1）﹣（x﹣1）+2， 解得x＝3， 故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次方程的新定义问题的解决能力，关键是能准确根据定义列出方程式并求解． 5．（2023•淄博开学）用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），可以将3※4的值为20转化为一元一次方程，然后求解即可． 【解答】解：∵x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），3※4的值为20， ∴3×4+a（3+4）+1＝20， 解得a＝1， 故选：D． 【点评】本题考查新定义、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6．对于有理数a，b，c，d规定一种新运算：．如，那么当时，x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】根据，，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可． 【解答】解：∵，， ∴2（4﹣5x）﹣3（x﹣3）＝43， ∴8﹣10x﹣3x+9＝43， ∴﹣13x＝26， ∴x＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义，列出相应的方程． 7．（2023秋•随县期末）规定一种新运算：a⊗b＝a2﹣2b，若2⊗[1⊗（﹣x）]＝6，则x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】首先根据题意，可得：1⊗（﹣x）＝12﹣2×（﹣x）＝1+2x，所以2⊗（1+2x）＝6，所以22﹣2（1+2x）＝6；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可． 【解答】解：∵a⊗b＝a2﹣2b， ∴1⊗（﹣x）＝12﹣2×（﹣x）＝1+2x， ∵2⊗[1⊗（﹣x）]＝6， ∴2⊗（1+2x）＝6， ∴22﹣2（1+2x）＝6， 去括号，可得：4﹣2﹣4x＝6， 移项，可得：﹣4x＝6﹣4+2， 合并同类项，可得：﹣4x＝4， 系数化为1，可得：x＝﹣1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 8．（2023秋•巴南区期末）若定义一种新运算m♥n，例如；1♥2＝1﹣2＝﹣1；4♥3＝4+3﹣2＝5， 下列说法： ①﹣7♥9＝﹣16； ②若1♥（2x﹣3）＝2，则x＝1或3.5； ③若﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，则x＝±1或x＝±3； ④若关于x的方程﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）与（m为常数）有相同的解，则m＝﹣3或1． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可判断； ②③均根据已知条件中的新定义，列出方程，解方程即可判断； ④根据新定义和同解方程的定义，先求出已知条件中方程的解，再把x的值代入根据新定义列出的方程方程进行解答，然后判断即可． 【解答】解：①∵m♥n，﹣7＜9， ∴﹣7♥9＝﹣7﹣9＝﹣16， 故①正确； ②∵m♥n，1♥（2x﹣3）＝2， ∴1﹣（2x﹣3）＝2或1+2x﹣3﹣2＝2， 1﹣2x+3＝2或2x﹣4＝2， 2x＝2或2x＝6， ∴x＝1或x＝3， 故②错误； ③∵m♥n，﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2， ∴﹣2﹣（﹣1+|x|）＝﹣2或﹣2﹣1+|x|﹣2＝﹣2， ﹣2+1﹣|x|＝﹣2或﹣5+|x|＝﹣2， |x|＝1或|x|＝3， ∴x＝±1或±3（舍去）， 故③错误； ∵m♥n，﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）， ∴﹣x＝﹣m+2x﹣3m﹣x或﹣x＝﹣m+2x+3m+x﹣2， ﹣x＝﹣4m+x或﹣x＝2m+3x﹣2， 2x＝4m或4x＝2﹣2m， x＝2m或x， ∵， 6（x+1）﹣2＝3（x+3）+1， 6x+6﹣2＝3x+9+1， 6x+4＝3x+10， 3x＝6， x＝2， 把x＝2分别代入x＝2m或x得： m＝1或﹣3， 故④正确， 综上可知：正确的是①④，共2个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和新定义的含义． 2、 选择题 9．（2024•宛城区校级开学）对于任意自然数a，b，如果有a*b＝ab+a+b，已知x*（3*4）＝119，则x＝　 　． 【分析】根据新定义运算，列出一元一次方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：∵a*b＝ab+a+b， ∴3*4＝3×4+3+4＝19， ∴x*19＝19x+x+19＝119， 移项、合并同类项，得20x＝100， 将系数化为1，得x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，掌握新定义运算，解一元一次方程的方法是解题的关键． 10．（2023秋•耒阳市校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+b．如：1⊕5＝2×1+5＝7．则方程x⊕4＝0的解是 　 ． 【分析】根据新定义把x⊕4＝0转化为一元一次方程求解即可． 【解答】解：∵a⊕b＝2a+b， ∴x⊕4＝0可化为2x+4＝0， 解得x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程，根据新定义把x⊕4＝0化为2x+4＝0求解是解答本题的关键． 11．（2023秋•印江县期末）规定一种运算“*”：，则方程1*x＝x*2的解为 　 　． 【分析】先根据新运算得出关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【解答】解：由题意可得： ， ， 4x+3x＝3+8， 7x＝11， x． 故答案为：x． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握新定义得出方程是解此题的关键． 12．（2023秋•长丰县期末）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共生数对”，则x＝　 ． 【分析】根据已知条件中的新定义，列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：∵（﹣x，4）是“共生数对”， ∴﹣x+4＝﹣4x﹣1， ﹣x+4x＝﹣1﹣4 3x＝﹣5， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程和新定义的含义． 13．（2023秋•汾阳市期末）现定义一种新运算，对于任意有理数a，b，c，d满足ad﹣bc，若对于含未知数x的式子满足，则x＝　 　． 【分析】根据新运算的运算法则可得3（﹣2x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣11，然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【解答】解：由题意可得， 3（﹣2x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣11， 去括号得，﹣6x+3﹣2x+2＝﹣11， 移项、合并同类项得，﹣8x＝﹣16， 化系数为1得，x＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查解一元一次方程，能根据已知新运算的运算法则列出方程是解题关键． 14．（2024•灞桥区校级一模）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 　 ． 【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于x的一元一次方程，解方程求出x即可． 【解答】解：∵a△b＝a2b+a﹣b， ∴2△x＝x+6， 22x+2﹣x＝x+6， 4x﹣x﹣x＝6﹣2， 2x＝4， x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤． 15．（2023春•祁东县校级期中）定义一种新运算：a☆b，例如：（﹣2）☆1＝﹣2+2×1＝0，3☆（﹣1）＝3﹣2×（﹣1）＝5．若（﹣2）☆b＝16，则b的值是 　 ． 【分析】根据新定义的运算，分b≥﹣2和b＜﹣2两种情况进行求解即可． 【解答】解：当b≥﹣2时，（﹣2）☆b＝﹣2+2b＝16， 解得b＝9； 当b＜﹣2时，（﹣2）☆b＝﹣2﹣2b＝16， 解得b＝﹣9， ∴b的值为±9． 故答案为：±9． 【点评】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2023秋•西城区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc．例如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2． （1）有理数（﹣3，2）★（﹣2，3）＝　 ； （2）当满足等式（2x﹣1，﹣3）★（x+k，k）＝5+2k的x是正整数时，整数k的值是 　 　． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可． 【解答】解：（1）（﹣3，2）★（﹣2，3）＝﹣3×3﹣2×（﹣2）＝﹣9+4＝﹣5； 故答案为：﹣5； （2）∵（2x﹣1，﹣3）★（x+k，k）＝5+2k， ∴k（2x﹣1）+3（x+k）＝5+2k， 2kx﹣k+3x+3k＝5+2k， （2k+3）x＝5， ∴x， ∵x是正整数， ∴2k+3＝1或5， ∴k＝±1． 故答案为：±1． 【点评】此题考查了新定义，解一元一次方程和有理数的计算，能正确利用新定义列等式是本题的关键． 三、 解答题 17．（2024•仓山区校级开学）A、B表示两个数，A*B＝（A+2B）×B，如5*4＝（5+2×4）×4＝52． （1）则1*（2*1）＝　 　． （2）如果x*（2*1）＝64，求x的值． 【分析】（1）根据新定义运算解答即可； （2）先根据新定义运算计算，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：（1）由题意，得2*1＝（2+2×1）×1＝4， ∴1*4＝（1+2×4）×4 ＝9×4 ＝36， ∴1*（2*1）＝36． 故答案为：36； （2）由（1）得2*1＝（2+2×1）×1＝4， ∴x*（2*1）＝x*4＝（x+2×4）×4＝64， 即4（x+8）＝64， ∴x+8＝16， 移项．合并同类项，得x＝8． 【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，掌握新定义运算，解一元一次方程的方法是解题的关键． 18．（2023秋•新宾县期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab﹣b．如：1*3＝1×32+2×1×3﹣3＝12． （1）求（﹣2）*4的值； （2）若（x﹣1）*3＝12，求x的值． 【分析】（1）按规定的运算程序运算求值即可； （2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值． 【解答】解：（1）（﹣2）*4 ＝﹣2×42+2×（﹣2）×4﹣4 ＝﹣32﹣16﹣4 ＝﹣52； （2）由题可知，（x﹣1）*3＝12， 则（x﹣1）×32+2（x﹣1）×3﹣3＝12， 整理得：15x＝30， 解得：x＝2． 【点评】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，掌握新定义运算的运算过程是解决本题的关键． 19．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3＝18． （1）求（﹣2）△3的值； （2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值． 【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： （﹣2）△3 ＝（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+3 ＝﹣18+（﹣12）+3 ＝﹣27； （2）由题意，得x×（﹣3）2+2×x×（﹣3）+（﹣3）＝2x+2， 整理，得：9x﹣6x﹣3＝2x+2， 解得：x＝5． 【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 20．（2023秋•龙马潭区月考）十八世纪最杰出的瑞士数学家欧拉，最先把关于x的多项式用符号“f（x）”表示，如果f（x）＝﹣2x﹣5．例：当x＝0时，f（0）＝﹣2×0﹣5＝﹣5． （1）当x＝﹣2时，求f（x）的值． （2）当|f（x）|＝3时，求x的值． 【分析】（1）根据题意代入求值即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时， f（﹣2）＝﹣2×（﹣2）﹣5 ＝4﹣5 ＝﹣1． （2）当|f（x）|＝3时，即f（x）＝±3， 当f（x）＝3时有： ﹣2x﹣5＝3， x＝﹣4； 当f（x）＝﹣3时有： ﹣2x﹣5＝﹣3， x＝﹣1， ∴当|f（x）|＝3时，x的值为﹣4或﹣1． 【点评】此题考查了新定义运算，代数式求值，一元一次方程的解法，熟练掌握代数式的求值和解一元一次方程是解题的关键． 21．（2023秋•万年县校级月考）定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝ab﹣a+b．例如：3⊕1＝3×1﹣3+1＝1，（2a）⊕2＝（2a）•2﹣2a+2＝2a+2． （1）计算4⊕（﹣2）的值； （2）已知（2m）⊕3＝2⊕m，求m的值． 【分析】（1）根据题目所给的新定义进行求解即可；（2）根据题目所给的新定义建立方程6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：4⊕（﹣2）＝4×（﹣2）﹣4+（﹣2）＝﹣14； （2）∵（2m）⊕3＝2⊕m， ∴6m﹣2m+3＝2m﹣2+m， 解得m＝﹣5． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键． 22．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3． （1）计算5※6值为 　 ． （2）若（2m）※3＝2※m，求m的值． （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值； （3）“※”不满足交换律，举例即可． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： 原式＝5×6﹣5+6 ＝30﹣5+6 ＝31； 故答案为：31； （2）根据题中的新定义化简得： 6m﹣2m+3＝2m﹣2+m， 解得：m＝﹣5； （3）“※”运算不满足交换律， 例如：2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，即2※3≠3※2． 【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 23．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与 （c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad． 例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝　 　． （2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值． 【分析】（1）根据规定直接计算求值； （2）根据规定计算得方程，求解即可． 【解答】解：（1）（3，﹣2）★（1，﹣2） ＝（﹣2）×1﹣3×（﹣2） ＝﹣2+6 ＝4； 故答案为：4； （2）由题意，得（2x+1）×1﹣2（2x﹣1）＝7， 2x+1﹣4x+2＝7 ﹣2x＝4． x＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次方程及有理数的混合运算，掌握一元一次方程的解法和有理数的混合运算是解决本题的关键． 24．（2023秋•库车市校级期末）规定的一种新运算“*”：a*b＝a2+2ab，例如：3*2＝32+2×3×2＝21． （1）试求2*（﹣1）的值； （2）若（﹣3）*x＝3，求x的值； （3）若（﹣5）*x等于﹣5x+5，求x的值． 【分析】（1）根据新运算列式计算； （2）根据新运算列出方程，解出一元一次方程； （3）根据新运算列出方程，解出一元一次方程． 【解答】解：（1）2*（﹣1） ＝22+2×2×（﹣1） ＝4﹣4 ＝0； （2）（﹣3）*x＝3， （﹣3）2+2×（﹣3）x＝3， 9﹣6x＝3， ﹣6x＝3﹣9， ﹣6x＝﹣6， x＝1； （3）（﹣5）*x＝﹣5x+5， （﹣5）2+2×（﹣5）x＝﹣5x+5， 25﹣10x＝﹣5x+5， ﹣10x+5x＝5﹣25， ﹣5x＝﹣20， x＝4． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程、有理数混合运算，掌握有理数混合运算顺序及解一元一次方程步骤，理解题意列出算式或方程是解题关键． 25．（2023秋•东海县月考）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为ad﹣bc．例如：5×2﹣1×3＝7． （1）计算的值； （2）已知6，求x的值． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据已知条件和新定义，列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵ad﹣bc， ∴ ＝﹣5×3﹣2×（﹣4） ＝﹣15+8 ＝﹣7； （2）∵ad﹣bc， ∴6， 2×3﹣（x﹣1）＝6， 6﹣x+1＝6， ﹣x+7＝6， ﹣x＝﹣1， x＝1． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握有理数混合运算法则、新定义的含义和解一元一次方程的一般步骤． 26．（2023春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值． （2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值． 【分析】（1）求得方程2x﹣6＝4解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程3x+m＝0的解，利用方程解的定义解答即可； （2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣n，再利用定义列出关于n的等式解答即可． 【解答】解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”， ∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5， ∴3×（﹣5）+m＝0， ∴m＝15； （2）∵某“友好方程”的一个解为n， ∴“友好方程”的另一个解为﹣n， ∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6， ∴n＝3或n＝﹣3． ∴n＝±3． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用新定义解答是解题的关键． 27．现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： （1）求3⊕（﹣1）的值； （2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕]的值； （3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a⊕b＝ab+2a，当a＜b时，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x的值． 【分析】（1）根据a⊕b＝ab+2a，进行计算即可解答； （2）根据a⊕b＝ab+2a，进行计算即可解答； （3）分两种情况，当4≥x时，当4＜x时． 【解答】解：（1）3⊕（﹣1） ＝3×（﹣1）+2×3 ＝﹣3+6 ＝3； （2）（﹣2）⊕[（﹣4）⊕] ＝（﹣2）⊕[（﹣4）2×（﹣4）] ＝（﹣2）⊕（﹣10） ＝﹣2×（﹣10）+2×（﹣2） ＝20﹣4 ＝16； （3）分两种情况： 当4≥x时，4⊕x＝30， 4x+2×4＝30， 4x＝22， x（舍去）， 当4＜x时，4⊕x＝30， 4x﹣2×4＝30， 4x＝38， x， 综上所述：x的值为：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解材料中定义的新运算是解题的关键． 28．（2024春•淅川县月考）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）判断方程5x＝﹣8 　 　（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； （2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． （3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式m﹣n的值． 【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程； （2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可； （3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系． 【解答】解：（1）∵5x＝﹣8， ∴x， ∵﹣8﹣5＝﹣13， 13， ∴5x＝﹣8不是奇异方程； 故答案为：不是； （2）有，理由如下： ∵a＝3， ∴x＝b﹣3， ∴b﹣3， ∴b， 即b时有符合要求的“奇异方程”； （3）且由题可知：mn+m＝4，mn+n， 两式相减得，m﹣n． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键． 29．（2023秋•梁园区校级月考）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）若方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　； （2）写出3x+5＝0的“反对方程”：　 ； （3）若关于x的方程﹣4x+m+1＝0与方程5x﹣3n﹣2＝0互为“反对方程”，求m，n的值． 【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）把3x+5＝0化为3x﹣（﹣5）＝0，结合“反对方程”的定义，求解即可； （3）根据“反对方程”的定义，得到，再求解即可； 【解答】解：（1）∵方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”， ∴c＝5． 故答案为：5； （2）∵3x+5＝0， ∴3x﹣（﹣5）＝0， ∴3x+5＝0的“反对方程”为﹣5x﹣3＝0． 故答案为：﹣5x﹣3＝0； （3）将﹣4x+m+1＝0写成﹣4x﹣（﹣m﹣1）＝0的形式， 将5x﹣3n﹣2＝0写成5x﹣（3n+2）＝0的形式， ∵﹣4x﹣（﹣m﹣1）＝0与方程5x﹣（3n+2）＝0互为“反对方程”， ∴， 解得：， ∴m，n的值分别是﹣6，﹣2； 【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义运算，掌握“反对方程”的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 30．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”． （1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 ； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值； （3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值． 【分析】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值； （2）将x＝n代入方程可得﹣2n＝mn+n，由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值； （3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可． 【解答】解：（1）解方程3x+k＝0得： x， ∵3x+k＝0是“恰解方程”， ∴x＝3﹣k， ∴3﹣k， 解得：k， 故答案为：； （2）∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”， ∴x＝﹣2+mn+n， ∴n＝2+mn+n， ∴mn＝2， ∵x＝n， ∴﹣2n＝mn+n， 解得：n， 把n代入mn＝2， 解得：m＝﹣3； （3）解方程3x＝mn+n得： x， ∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”， ∴x＝3+mn+n， ∴3+mn+n， ∴mn+n， ∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n ＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n ＝2mn+2n ＝2（mn+n） ＝2×（） ＝﹣9． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键． 31．（2023秋•雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝　 　； （2）若关于x的方程xn﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0），求n的值； （3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2（c+3）的值． 【分析】（1）先分别解方程2x＝5x﹣12、3（x﹣1）＝x+1，再根据“a﹣稻香方程”的定义即可求解； （2）解关于x方程xn﹣1，再根据“m﹣稻香方程”的定义进行计算可以得解； （3）依据题意，先解方程ax+b＝1和ax+c﹣1＝0，再根据“3﹣稻香方程”的定义，求出x，b，c，即可求解． 【解答】（1）解：2x＝5x﹣12， ∴﹣3x＝﹣12． ∴x＝4． 又3（x﹣1）＝x+1， ∴x＝2． ∵方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”， ∴a＝4﹣2＝2． 故答案为：2． （2）解：解关于x方程xn﹣1，得x， 解关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3，得x， 关于x的方程xn﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0）， ∴m． 整理得﹣4mn＝5m， 又m＞0， ∴﹣4n＝5． ∴n． （3）解：∵a≠0， ∴关于x方程ax+b＝1的解是x，关于x方程ax+c﹣1＝0的解是x， ∵关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”， ∴3． ∴3a+b＝c． ∴6a+2b﹣2（c+3）＝2（3a+b）﹣2c﹣6＝2c﹣2c﹣6＝﹣6． 【点评】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关键． 32．（2023秋•于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程2x＝4 　 　差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝　 　． （4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9（mn+n）2的值． 【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出3（mn+m）＝16，9（mn+n）2＝16，然后代入代数式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）∵方程2x＝4的解为x＝2＝4﹣2， ∴方程2x＝4是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程4x＝ab+a是“差解方程”， ∴x＝ab+a﹣4， 解方程4x＝ab+a，得， ∴， ∴3ab+3a＝16，即3（ab+a）＝16． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程4x＝mn+m是“差解方程”， ∴x＝mn+m﹣4， 解方程一元一次方程4x＝mn+m得 ∴， 整理得3（mn+m）＝16， ∵一元一次方程﹣2x＝mm+m是“差解方程”， ∴x＝mn+m+2， 解方程一元一次方程﹣2x＝mm+m得 ∴， 整理得9（mn+n）2＝16， ∴3（mn+m）﹣9（mm+n）2 ＝16﹣16 ＝0． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． 33．（2023秋•九龙坡区期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程αx+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方程”． （1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由； （2）若无论k取任何有理数，关于x的方程b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值． 【分析】（1）分别求出x﹣2＝3﹣x的解为x，y+2＝3（y+1）的解为y，再由定义判断即可； （2）根据可得|x+3|＝1，求出x＝﹣2或x＝﹣4，当x＝0时（a﹣4）k＝2b+4，根据题意求出a＝4，b＝﹣2，则a+b＝2；当x＝﹣4时，（a﹣4）k＝10+2b，根据题意求出a＝4，b＝﹣5，则a+b＝﹣1． 【解答】解：（1）x﹣2＝3﹣x的解为x， y+2＝3（y+1）的解为y， ∵|（）|＝3， ∴方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是“差3方程”； （2）3y+5＝y﹣1的解为y＝﹣3， ∵关于x的方程b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”， ∴|x+3|＝1， 解得x＝﹣2或x＝﹣4， 当x＝﹣2时，﹣3b＝2k﹣1， ∴（a﹣4）k＝4+2b， ∵k取任何有理数， ∴a＝4，b＝﹣2， ∴a+b＝2； 当x＝﹣4时，﹣6b＝2k﹣1， ∴（a﹣4）k＝10+2b， ∵k取任何有理数， ∴a＝4，b＝﹣5， ∴a+b＝﹣1； 综上所述：a+b＝2或a+b＝﹣1． 【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值的运算，弄清定义是解题的关键． 34．（2023春•石狮市校级月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，则m＝　 　； 若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则n＝　 　． （2）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到y+1的值，从而求得方程的解． 【解答】解：（1）∵方程4x﹣2＝x+10的解为x＝4， 方程3x+m＝0的解为， 而方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是互为“美好方程”， ∴， ∴m＝9； ∵“美好方程”的一个解为n，则另一个解为1﹣n， 依题意得1﹣n﹣n＝5或n﹣（1﹣n）＝5， 解得n＝2或n＝3． 故答案为：9；2或3； （2）解：关于x的方程的解为x＝﹣2m， 方程的解为x＝5m+4， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴﹣2m+5m+4＝1， ∴m＝﹣1； （3）解：方程的解为x＝﹣2022， ∵关于x的方程和是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为x＝2023． ∵关于y的方程就是， ∴y+1＝x＝2023， ∴y＝2022． ∴关于y的方程的解为：y＝2022． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 35．（2023秋•鲤城区校级期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|； 当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|． （1）当a＝4，b＝﹣2时，求a⊙b的值． （2）已知x＞y＞0且为整数，（x﹣y）⊙（x+y﹣1）＝5，请用含x的代数式表示y． （3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，直接写出a的值． 【分析】（1）先求出2+（﹣4）的结果，判断奇数还是偶数，根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可； （2）先求出x﹣y与+﹣1的和，判断奇数还是偶数，根据已知条件中的新定义，列出算式，然后根据x＞y＞0且为整数，判断2﹣1和2+1的正负，从而得出x与y的关系式，变形即可用含x的代数式表示y； （3）先求出a+a的结果，判断其奇数还是偶数，然后分两种情况讨论：当a为奇数和当a为偶数时，分别通过新定义，进行计算推导即可． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，a+b＝2+（﹣4）＝﹣2，为偶数， ∴a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b| ＝2|2+（﹣4）|+|2﹣（﹣4）| ＝2|﹣2|+|6|＝2×2+6 ＝4+6 ＝10； （2）∵（x﹣y）+（x+y﹣1）＝x﹣y+x+y﹣1＝2x﹣1，是奇数， ∴（x﹣y）⊙（x+y﹣1）＝2×|x﹣y+x+y﹣1|﹣|x﹣y﹣（x+y﹣1）|＝5， ∴2×|2x﹣1|﹣|﹣2y+1|＝5，即2×|2x﹣1|﹣|2y﹣1|＝5， ∵x＞y＞0且为整数， ∴2x﹣1＞0，2y﹣1＞0， ∴2（2x﹣1）﹣（2y﹣1）＝8， ∴4x﹣2﹣2y+1＝5 ∴4x﹣2y＝6， ∴2y＝4x﹣6， ∴y＝2x﹣3； （3）∵a+a＝2a，为偶数， ∴a⊙a＝2|a+a|+|a﹣a|＝4|a|，是偶数， 分两种情况讨论： 当a为奇数时： （a⊙a）⊙a＝4|a|⊙a＝2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|， ①当a为负奇数时， 2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|＝﹣6a+5a＝﹣a， ∴﹣a＝180﹣5a， ∴4a＝180， a＝45＞0（舍去）； ②当a为正奇数时， 2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|＝2×|4a+a|﹣|4a﹣a|＝10a﹣3a＝7a， ∴7a＝180﹣5a， 12a＝180， a＝15； 当a为偶数时： （a⊙a）⊙a＝4|a|⊙a＝2|4|a|+a|+|4|a|﹣a| ①当a为负偶数时， 2|4|a|+a|+|4|a|﹣a|＝2|﹣4a+a|+|﹣4a﹣a|＝2|﹣3a|+|﹣5a|＝﹣6a﹣5a＝﹣11a， ∴﹣11a＝180﹣5a， ﹣6a＝180， a＝﹣30＜0， ②当a为正偶数时， 2|4|a|+a|+|4|a|﹣a|＝2|4a+a|+|4a﹣a|＝2|5a|+|3a|＝10a+3a＝13a， ∴13a＝180﹣5a， 18a＝180， a＝10＞0， 综上可知：a的值为15或﹣30或10． 【点评】本题是新定义题型，主要考查了有理数的混合运算，绝对值，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握分类讨论的解题思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 $$