精品解析：河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年 八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 4. 解分式方程去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是( ) A. ∠B＝∠C B. ∠D＝∠E C. ∠BAC＝∠EAD D. ∠B＝∠E 6. 如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点，则不符合的点是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则．其逆命题是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 9. 如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　） A. B. C. D. 10. 根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 11. 如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 12. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题共4个小题，每空2分，共10分） 13. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 14. 若，则的立方根为____． 15. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数_______． 16. 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1）______． （2）的面积为______． 三、解答题（本题共7个大题，共54分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分为 ，小数部分为 ； （2）的整数部分为 ，小数部分为 ； （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 20. 嘉嘉和淇淇准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得，，，求池塘的长度． 21. 小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数． （1）小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______； （2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明． 22. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 23. 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． （3）当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 2. 已知要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即得答案． 【详解】要使分式有意义，则，所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，属于应知应会题型，熟知分式的分母不为0是解题的关键． 3. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等． 4. 解分式方程去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的基本性质解决此题． 【详解】解： 去分母，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 5. 如图，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是( ) A. ∠B＝∠C B. ∠D＝∠E C. ∠BAC＝∠EAD D. ∠B＝∠E 【答案】C 【解析】 【详解】解：∠BAC=∠EAD， 理由是：∵∠BAC=∠EAD， ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ACD和△ABE中， ∵AC=AB， ∠CAD=∠BAE， AD=AE， ∴△ACD≌△ABE(SAS)， 选项A，选项B，选项D的条件都不能推出△ACD≌△ABE,只有选项C的条件能推出△ACD≌△ABE． 故选C. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能正确运用定理进行推理是解此题的关键,注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS． 6. 如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点，则不符合的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得必须使点到的距离等于点到的距离，结合图形，即可求解． 【详解】要使与全等， 必须使点到的距离等于点到的距离， 即个单位长度， 所以点的位置可以是三个， 故选：B． 7. 下列命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则．其逆命题是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了真假命题、逆命题、不等式的性质等知识． 写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； 若，则或的逆命题是若或，则，逆命题是真命题； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； ∴逆命题是真命题的有②，共1个； 故选：A． 8. 已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了二次根式的加法，也考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边． 先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 【解答】解：∵， ∴只能是腰长为， ∴等腰三角形的周长． 故选：B． 9. 如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴即， ∴． 故A、B、D都可得到，无法得到C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 10. 根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 11. 如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴．故①正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵， ∴． ∴；． ∵， ∴；故②正确； 在和中， ∵平分， ∴． 又∵ ∴． ∴． 又由（2）知， ∴；故③正确； 连接． ∵是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴垂直平分． ∴ 在中，是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：C． 12. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 二、填空题（本题共4个小题，每空2分，共10分） 13. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可完成解答． 【详解】由于三角形具有稳定性，所以这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一特性是关键． 14. 若，则的立方根为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可．本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根为， 故答案为：． 15. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是证明，利用三角形外角性质和内角和定理求解． 先证明，得到，再结合三角形外角性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1）______． （2）的面积为______． 【答案】 ①. ②. 64 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上截取，连接，根据“”证明即可； （2）由，求出的长，再由面积公式求得即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；64． 三、解答题（本题共7个大题，共54分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）利用完全平方公式，平方差公式计算即可； （2）根据负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后将的值代入化简后的式子计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当时， 原式 ． 19. 阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分为 ，小数部分为 ； （2）的整数部分为 ，小数部分为 ； （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． （1）估算的大小，然后进行解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （3）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分，从而求出，然后求出，最后求出的相反数即可． 【小问1详解】 ∵， ∴的整数部分是3，小数部分是 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分是； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是：． 20. 嘉嘉和淇淇准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得，，，求池塘的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本体主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，根据平行线的性质和全等三角形的判定得出，从而得出，求出，根据，得到结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴池塘的长为． 21. 小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数． （1）小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______； （2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明． 【答案】（1）， （2） 解：小强说的有道理， 理由如下： ∵， 当x是大于3的正整数时， ∴， ∴， ∴， 故小强说的有道理． 【解析】 【分析】（1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【小问1详解】 解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键． 22. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）元 （2）①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 23. 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． （3）当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图1，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 解：， 理由：如图2，作交的延长线于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算，掌握三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）理由：如图2，作交的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）如图3，点D在的延长线上，作交的延长线于点F，则，根据全等三角形 的判定和性质定理得到，得到，求得，设，则，得到，如图4，点D在线段上，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在的延长线上时，作交的延长线于点F，如图3， 则， ∴ 又∵，即 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ， ∴， ∴ 的值为； 当点D在线段上时，如图4， 由（1）知：， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $