精品解析：陕西省商洛市洛南中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°. 故选A. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将其方程化为标准方程，再求解即可. 【详解】解：将方程化为标准方程为， 所以其焦点坐标为. 故选：C 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径和差的关系判断圆的位置关系即可. 【详解】由，则，半径， 由，则，半径， 所以，即两圆相交. 故选：D 4. 在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ． 故选：D 5. 已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的过第一象限的渐近线斜率为，且，数形结合得到直线斜率的取值范围. 【详解】由题意知，，， 故的过第一象限的渐近线斜率为，且， 又与原点连线的斜率为0，故斜率的取值范围为． 故选：A． 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值等于 . 故选：B 7. 已知点在直线上，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将用表示，根据二次函数的性质即可得结果. 【详解】由点在直线上可知， ， 当时取得最小值5， 故选：C. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【详解】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即⊥， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 如图，已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 平面 C. 平面与平面的夹角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体性质可利用线面垂直判定定理证明平面，由线面垂直性质可知A正确；易知平面即为平面，显然与平面相交于点，即B错误；根据二面角的定义可知即二面角的平面角为，即C正确；利用等体积法即可求得点到平面的距离为，可得D正确. 【详解】连接，如下图所示： 对于A，由正方体性质可知，平面，又平面，所以； 又因为是正方形，所以， 又，且平面，所以平面； 平面，所以可得，即A正确； 对于B，平面即为平面，又平面， 即与平面相交，所以B错误； 对于C，平面平面，易知，， 所以即为平面与平面夹角的平面角，显然， 即平面与平面的夹角为，可知C正确； 对于D，易知三棱锥与三棱锥的体积相等， 设点到平面的距离为， 即，可得，所以； 即点到平面的距离为，可得D正确. 故选：ACD 10. 已知方程表示的曲线为，则（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 存在，使得表示圆 C. 当或时，曲线表示双曲线 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程分别判断各选项. 【详解】A、B选项：当时，，，当时，， 此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确； C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线， 当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确； D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则， 则椭圆的焦距，D选项错误； 故选：BC. 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交所得弦长是 B. 的最大值是 C. 圆上恰有个点到直线的距离等于 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】 如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 平行线与间的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案. 【详解】将方程两边乘以2，得， 所以两平行线间的距离为． 故答案为：． 13. 设、、，，，，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得出，可求出的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量共线的坐标表示求出、的值，可得出向量的坐标，进而可求得的坐标，结合空间向量的模长公式即可得解. 【详解】因为、、，，，，且，， 则，解得，则， 由可得，解得，，则， 所以，因此. 故答案为：. 14. 如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】运用直角三角形的判定，可得，再由内角平分线性质可得即有，，由双曲线的定义可得，运用勾股定理，化简整理，结合离心率公式解方程，即可得到． 【详解】解：由为的中点，且，， 可得， 因为是的角平分线， 即有，， 由双曲线的定义可得， 则， 即有在直角三角形中，， 即， 由，可得， 解得或， 由于，则． 故答案为：． 四、解答题（本小题共5小题，共77分） 15. （1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设求直线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设点，分析可知，线段的中点在直线上，由此可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）根据题意，设所求直线方程为， 将点的坐标代入所求直线方程可得，解得， 故所求直线方程为； （2）设点，由题意可知，，线段的中点在直线上，且直线的斜率为， 所以，，解得，故点的坐标为. 16. 在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆E经过点，且______. （1）求圆E的一般方程； （2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解， （2）根据相关点法即可求解轨迹方程. 【小问1详解】 方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆E的方程为. 方案二：选条件②. 直线恒过点. 因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即. 方案三：选条件③. 设圆E的方程为. 由题意可得，解得， 则圆E的方程为，即. 【小问2详解】 设. 因为M为线段AP的中点，所以， 因为点P是圆E上的动点，所以，即， 所以M的轨迹方程为. 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. （1）求这两条曲线的方程； （2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； （3）若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【小问1详解】 设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. 【小问2详解】 曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. 【小问3详解】 不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 19. 已知椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且. （i）试求、的关系式； （ii）证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）因为， 又点到直线的距离， 所以，的面积 ， 故的面积为. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率即可得； （2）（i）联立椭圆方程后，利用韦达定理及可得与的关系； （ii）将、表示出的面积后计算即可得. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）联立，消去，可得， ， 设、，则，， 故， 则，化简得； （ii）略 【点睛】关键点睛：本题的第二问的关键联立直线方程与椭圆方程得到韦达定理式，根据斜率之积得到，再利用点到直线距离求出三角形的高，弦长公式求出三角形的底，最后计算出面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 4. 在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 24 D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 如图，已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 平面 C. 平面与平面的夹角为 D. 点到平面的距离为 10. 已知方程表示的曲线为，则（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 存在，使得表示圆 C. 当或时，曲线表示双曲线 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交所得弦长是 B. 的最大值是 C. 圆上恰有个点到直线的距离等于 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 平行线与间的距离为________． 13. 设、、，，，，且，，则________. 14. 如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是______． 四、解答题（本小题共5小题，共77分） 15. （1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 16. 在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆E经过点，且______. （1）求圆E的一般方程； （2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 18. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. （1）求这两条曲线的方程； （2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； （3）若为两条曲线的交点，求的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且. （i）试求、的关系式； （ii）证明：的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $