精品解析：广东省梅州市广东梅县东山中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

东山中学2027届高一第一学期中段考试试题 命题人：高一数学组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得，所以. 故选：C. 2. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入点坐标求出解析式再代入值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即， 所以，则. 故选：D. 3. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项. 【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确. 故选：. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，因为，则有， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，且， 所以，故D错误. 故选：D. 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. 设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是， 故选：B. 7. 已知函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得的值域为，分和讨论即可求解. 【详解】由题意得的值域为， 当时，的值域为，符合题意， 当时，，解得； 综上：的取值范围为. 故选：. 8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式，求即可. 【详解】，， 是定义在(0,+∞)上的单调函数，则为定值， 设，则，， 解得或（舍去），得， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， 对于A，，则，即， 解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，A正确； 对于B，，则，解得，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为9，B错误； 对于C，由选项B知，，， 所以当时，取得最小值，C正确； 对于D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D错误. 故选：AC 11. 关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是（） A. 的最小值为6 B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集中整数解最少3个 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据条件关系可得,根据基本不等式可判断A的正误,利用配方法可判断B的正误;根据所求得的可判断CD的正误. 【详解】即为, 而关于的不等式成立的必要不充分条件是, 故, 所以,故. 对于A,因为, 当且仅当,即时等号成立; 故的最小值为6,故A正确; 对于B,因为,故,故的解集为,故B正确; 对于的解为, 因为,故不等式的解中至少有整数,故C错误; 对于D,因为,故,故,故D正确; 故选:ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据新定义确定集合中元素，即可得解. 【详解】由题意，的取值分别为， 故， 所以所有元素之和为. 故答案为：30 13. 已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 可得和是方程的两个根，且， 则，解得，所以函数， 要使得函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可． 【详解】令，则问题转化为，时恒成立， 即，恒成立， 而函数， 当时，， ，即为所求． 所以的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，. （1）若集合A中恰有一个元素，求实数的值； （2）若，求. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）即方程只有一个实数根，由判别式等于0可得答案； （2）由题可得，据此可得及集合B，后由题意可得答案. 【小问1详解】 由题意，即只有一个实数解， 【小问2详解】 由题意知， 得 的根为或， 又 得 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）设全集，求集合； （2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得， 又不等式的解集为，则. 由，等价于，解得， 又不等式的解集为，则， 所以，则； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 18. 已知是二次函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出函数的解析式； （2）由（1）可得出函数的表达式，对参数的取值范围进行分类讨论，再由二次函数性质即可得出最小值的表达式； （3）将不等式恒成立问题转化为恒成立即可，利用单调性求得其最大值，再由题意可知满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. 【小问2详解】 由题意得， 则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 【小问3详解】 在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 19. 对于数集，定义点集，若对任意，都存在使得，则称数集是“正交数集”. （1）判断以下三个数集是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）； （2）若，且是“正交数集”，求的值； （3）若“正交数集”满足：，求的值（需说明理由） 【答案】（1）是正交数集，不是正交数集 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据“正交数集”的定义对三个集合逐一验证，从而确定正确答案. （2）根据“正交数集”的定义列方程，从而求得的值； （3）先证：若集合为正交数集，则至少要有一对相反数，由此可得，再用反证法证明3为最小正数，从而求得的值. 【小问1详解】 是正交数集，不是正交数集. 下面补充说明理由： 对于，则， 则， ， 所以是正交数集. 对于， 则， 对于，在中，不存在符合题意的点， 所以不是正交数集. 对于， 则， ， ， ， ， 所以是正交数集. 【小问2详解】 若，且是正交数集， 则对于有序数对能使得其满足条件的有序数对只能为或. 若为，则有，解得与矛盾，舍去； 故只能是，于是有，解得， 经检验符合题意. 【小问3详解】 先证：若集合为正交数集，则至少要有一对相反数， 对于，且，有序数对， 故，使得， 所以，故集合A中至少有一对相反数. 因为且是唯一负数，故， 下证3为最小正数： 反证法：若3不为最小正数，则， 对于有序数对是最大正数，则与之相匹配的有序数对设为， 故有，即， 与是最大正数相矛盾，故3为最小正数， 综上所述， 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东山中学2027届高一第一学期中段考试试题 命题人：高一数学组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 11. 关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是（） A. 的最小值为6 B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集中整数解最少3个 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为______． 13. 已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，. （1）若集合A中恰有一个元素，求实数的值； （2）若，求. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）设全集，求集合； （2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 18. 已知是二次函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 对于数集，定义点集，若对任意，都存在使得，则称数集是“正交数集”. （1）判断以下三个数集是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）； （2）若，且是“正交数集”，求的值； （3）若“正交数集”满足：，求的值（需说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $