精品解析：广东省深圳市莲花中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

莲花中学2024-2025学年第一学期期中教学质量检测 初二年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案选项用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．） 1. 下列各数中，是无理数的是 （ ） A. π B. 3.14 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数即无限不循环小数，有理数为整数和分数一一判断即可． 【详解】解：．π是无理数，故该选项符合题意； ．3.14是有理数，故该选项不符合题意； ．有理数 ，故该选项不符合题意； ．有理数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c．下列各组数中，满足a，b，c关系的是（ ） A. 4， 5， 6 B. 5， 7， 8 C. 3， 4， 5 D. 5， 10， 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理等知识点，根据勾股定理即可得到结论，解题的关键是求出的值． 【详解】∵a，b，c为直角三角形的三边， ∴， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判定，在判断最简二次根式的过程中要注意：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中任取一点，点P 关于x轴的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点P 关于x轴的对称点为，， ∴， 故选：B． 5. 已知函数是关于的一次函数，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 6. 如图，一次函数与的图象相交于点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象的交点问题．联立函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：一次函数与联立得到， ， 解得，， ∴点A的坐标为， 故选：C． 7. 已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中，为正数，为负数，则，符合题意； 故选：． 8. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．故④正确； 综上可知正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案写在答题卷指定的位置．） 9. 点在平面直角坐标系中所在的象限是第_________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点、坐标轴上点的坐标特点．本题主要考查的是各象限内点的坐标特点,各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为,据此回答即可. 【详解】解：点在平面直角坐标系中所在的象限是第三象限， 故答案为：三. 10. 是的算术平方根，是立方根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是的算术平方根，是立方根， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义是解题的关键． 11. 对于两个实数a，b（其中），定义一种新运算： 如：那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数混合运算，根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 12. 《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列二元一次方程组．由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14； 第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31， 所以可列方程为． 故答案为：． 13. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 三． 解答题（本题共7小题，共计61分． 请将答案写在答题卡指定的位置．） 14. 计算下列各式 （1）； （2）； （3）已知 求的值． 【答案】（1）0 （2）2 （3）23 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．熟练掌握运算顺序和法则法，二次根式性质，的偶次幂，零指数幂，算术平方根，立方根，平方差公式，完全平方公式，整体代入法求代数式的值，是解答本题的关键． （1）先算乘法，利用二次根式性质化简二次根式，最后相减； （2）根据的偶次幂，零指数幂，算术平方根，立方根，化简，再加减； （3）先化简条件式为，再变形结论式，代入计算即得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴原式 ． 15. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可得； （2）先去分母整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可得． 【小问1详解】 解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：将方程组整理为， 由④③得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 所以方程组的解为． 16. 如图所示， 在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． （1）请在下方坐标系中画出 关于y轴对称的 ； （2）写出点的坐标 ； （3）的面积是 ； （4）在x轴上有一点 P， 且，则点 P 的坐标为 ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图、坐标与图形等知识． （1）找到点关于y轴对称的对称点，顺次连接即可； （2）根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （3）用包含的长方形的面积减去周围直角三角形的面积即可； （4）设点 P 的坐标为，则，根据得到，解得或，即可得到点 P 的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积是； 【小问4详解】 设点 P 的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点 P 的坐标为或． 故答案为：或． 17. 根据推理提示，回答下列问题： 即 的整数部分为1，小数部分为 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识． （1）根据所给的例子估计无理数的整数和小数部分即可． （2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表示的实数． 【小问1详解】 解：∵，即 ∴的整数部分是2，小数部分是． 【小问2详解】 解：根据题意圆的半径为：， ∴点A所表示的数为：． 18. 如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． （1）求 的长; （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； 【小问2详解】 由（1）得，则 设，则 在中，根据勾股定理可得 即 解得，即 19. 【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 【答案】任务一：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场购买总费用乙商场购买总费用 任务三：结合函数图像可得： 当时，，即购买A品牌足球数量少于44个时，选择甲商场购买更合算． 当时，，即购买A品牌足球数量等于44个时，选择甲，乙商场购买都可以． 当时，，即购买A品牌足球数量大于44个时，选择乙商场购买更合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）甲商场总花费根据单价乘以数量乘以折扣即可得出答案，乙商场总花费分和两种情况，分别求解即可． （3）当甲，乙两商场总花费相等时，即可得出关于a的一元一次方程求解得出a的值，再结合函数图像即可得出哪个商场购买足球更合算． 【详解】解：任务一：设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元． 依题意得， 解得， 答：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场总花费：，即 乙商场总花费：当时， ，即； 当时，，即 综上，甲商场购买总费用， 乙商场购买总费用； 任务三：当甲，乙两商场总花费相等时， 可列方程，， 解得∶． 20. 【源于课本】 （1） 将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为∶ ． 【小组探究】 （2） 我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动． ①（平移探究） 将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式． 数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向右平移个单位长度，得到点，，其坐标分别为，，从而求出直线对应的函数表达式为： ． ②（轴对称探究） 将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ； ③（旋转探究）如图2，若一次函数的图象与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到的直线与轴交于点．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程） 【学以致用】 （3）如图2，在上述③的条件下，轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；；；②；③；（3）存在点，坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）①设直线的解析式为，利用平移规律可得出点、点的坐标，然后代入解析式构成方程组求解即可； ②找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于轴对称的点的坐标，然后代入一次函数解析式构成方程组求解即可； ③过点作交于点，过点作 轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再代入解析式构成方程组求解即可； （3）设，先确定点、的坐标，然后利用两点间距离分别表示出、、，然后根据等腰三角形的性质分三种情况求解：①当时；②当时；③当时． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①∵，， ∴将它们沿着轴向右平移个单位长度，得、， 设直线的一次函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为， 故答案为：；；； ②如图，设一次函数的图象与轴的交点为点，与轴的交点为点， 当时，；当时，，得：， ∴，， ∵一次函数的图象关于轴对称，， ∴， 设所得到的直线对应的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴所得到的直线对应的函数表达式为， 故答案为：； ③如图，过点作交于点，过点作 轴于点， ∴， ∵，， ∴，， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设旋转后的直线对应的函数表达式，，， ∴， 解得：， ∴旋转后的直线对应的函数表达式为； （3）存在．设， ∵直线：，与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，，得：， ∴，， ∴、、， ①当时，得：， ∴或， 解得：或， ∴此时点的坐标为或； ②当时，得：， ∴， 解得：， ∴此时点的坐标为； ③当时，得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离，等腰三角形的性质等知识点．熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲花中学2024-2025学年第一学期期中教学质量检测 初二年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案选项用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．） 1. 下列各数中，是无理数的是 （ ） A. π B. 3.14 C. D. 2. 我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c．下列各组数中，满足a，b，c关系的是（ ） A. 4， 5， 6 B. 5， 7， 8 C. 3， 4， 5 D. 5， 10， 13 3. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中任取一点，点P 关于x轴的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是关于的一次函数，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 6. 如图，一次函数与的图象相交于点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案写在答题卷指定的位置．） 9. 点在平面直角坐标系中所在的象限是第_________象限． 10. 是的算术平方根，是立方根，则______． 11. 对于两个实数a，b（其中），定义一种新运算： 如：那么________． 12. 《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为：________． 13. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 三． 解答题（本题共7小题，共计61分． 请将答案写在答题卡指定的位置．） 14. 计算下列各式 （1）； （2）； （3）已知 求的值． 15. 解方程组 （1） （2） 16. 如图所示， 在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． （1）请在下方坐标系中画出 关于y轴对称的 ； （2）写出点的坐标 ； （3）的面积是 ； （4）在x轴上有一点 P， 且，则点 P 的坐标为 ． 17. 根据推理提示，回答下列问题： 即 的整数部分为1，小数部分为 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 18. 如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． （1）求 的长; （2）求阴影部分的面积． 19. 【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 20. 【源于课本】 （1） 将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为∶ ． 【小组探究】 （2） 我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动． ①（平移探究） 将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式． 数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向右平移个单位长度，得到点，，其坐标分别为，，从而求出直线对应的函数表达式为： ． ②（轴对称探究） 将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ； ③（旋转探究）如图2，若一次函数的图象与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到的直线与轴交于点．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程） 【学以致用】 （3）如图2，在上述③的条件下，轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $